Методология науч. исслед / Бабиюк Основы научных исследований

Основы научных исследований

моделью Максвелла состоит из суммы двух членов, один из которых связан с напряжением уравнением упругости Гука, а производная второго связана с напряжением с помощью уравнения вязкости Ньютона. Модель Максвелла представляет собой последовательное соединение двух простых механических элементов (Гука и Ньютона). В этом случае математическая модель, соответствующая физической модели (рис. 4.3), принимает вид:

где η = Е0 t0;

Е0 – мгновенный модуль упругости;

t0 – время релаксации, в течение которого напряжения уменьшаются в е раз;

ε0 = s/Е0 – начальная деформация.

Решая (4.3) при ε = const, получим уравнение релаксации

где σ0 = Е0·ε – начальные напряжения.

Рассмотренные математические модели явлений ползучести и релаксации описываются функциональной зависимостью, т.е. когда одному значению аргумента соответствует одно значение функции.

Вероятностная модель. В природе часто встречаются процессы, когда одному значению аргумента соответствует несколько значений функции, вследствие действия на явление случайных факторов. Рассмотрим модель вероятностного распределения сыпучего, вытекающего из бункера через сито в ящик с вертикальными перегородка-

ми (рис. 4.4).

Наблюдения показывают, что распределение сыпучего в ящике подчиняется нормальному закону, являющемуся математической мо-

71

Основы научных исследований

Количество щебня xij, транспортируемое на объект Аj из карьера Вi, взаимосвязано с другими величинами системой уравнений

Всистеме (4.7) первое уравнение означает количество щебня, транспортируемое из карьеров В1 и В2 на объект А1; второе – на объект А2; третье – на объект А3. Четвертое уравнение означает количество щебня, доставляемое на объекты А1, А2, А3 из карьера В2 и т.д.

Вэтой системе, состоящей из 5 уравнений, имеется 6 неизвестных, поэтому задача имеет много решений. Требуется определить наиболее выгодный вариант (экономичный) перевозки щебня. В этом случае с помощью линейного программирования (численный метод) находят функцию, которая удовлетворяет условию

Уравнения (4.7) и (4.8) представляют собой математическую модель, позволяющую оптимизировать транспортный поток. Схема решения задачи изображена на рис. 4.5.

Кибернетическая модель. Интерес представляет кибернетическая модель «черного ящика» (рис. 4.6), описывающая систему неиз-

Рисунок 4.6 – Модель «черного ящика»

73

Основы научных исследований

Силу тока на входе и выходе электрической сети вычисляют аналогично:

Таким образом, меняя силу тока І1 и І2 и сопротивление R, можно изучить реакции опор балки в зависимости от значения Р1 и Р2.

l

Модели-подобия. Используя модель подобия нет необходимости непосредственно, например, измерять высоту копра Нк, для этого достаточно использовать простейшую модель – треугольник и теорему о подобии треугольников. А высоту можно определить путем измерения расстояния к копру (рис. 4.8):

где kр – критерий подобия, равный kр = z/l.

Аналогичный прием используются и в более сложных моделях подобия. Однако при этом учитывается не только геометрическое подобие, но и кинематическое и механическое.

Имитационная модель. При решении задач о напряженнодеформированном состоянии пород вокруг выработки, когда математическую модель невозможно преобразовать к конечному виду, а упрощения приводят к грубым результатам, рационально использовать численные методы (например, метод конечных элементов), которые особенно эффективны в связи с применением вычислительных машин.

75

Основы научных исследований

ЛЕКЦИЯ 7

4.3 Аналитические методы исследований

В научных исследованиях очень часто используют аналитические методы, которые позволяют установить математическую зависимость между параметрами изучаемого явления или процесса в явном виде, глубоко её проанализировать и установить точные количественные связи между аргументами и функциями.

Стремясь упростить исследуемую модель и получить простое решение поставленной задачи, широко применяют элементарные функции и уравнения, особенно линейные (y = аx, у = a + bx), например, прямолинейная огибающая кругов Мора. Для исследования процессов по принципу «ценного механизма» (разрушение, растворение, перемешивание и др.) используют экспоненциальные (у = е-х), параболические (у = х2) и показательные (у = ах) функции. Чтобы изучить колебательные и периодические процессы применяют тригонометрические функции.

Элементарные функции непрерывны, что позволяет их дифференцировать и интегрировать, а также оптимизировать путем нахождения экстремумов. Например, производительность труда Р шахтостроительной организации зависит от годового объема работы V в виде:

Методы теоретических исследований

При анализе формы и размеров инженерных конструкций пользуются методами элементарной, начертательной и аналитической геометрий, а также векторным анализом.

Для теоретического анализа функций одной переменной используют дифференциальные уравнения. Уравнения первого порядка имеют вид:

f (x, y, dydx ) = 0 – запись в неявном виде;

(4.15)

dydx = f (x, y) – запись в явном виде.

Часто применяют дифференциальные уравнения второго, третьего и более высших порядков:

Общее решение таких уравнений представляет собой семейство кривых на плоскости. Кривая f (x,y) будет решением уравнения (4.15), если она в каждой точке касается вектора поля направления dy/dx. Поэтому каждое такое уравнение имеет множество решений (кривых):

где С1, С2,…, Сn – постоянные интегрирования.

Для нахождения частного решения необходимо задать начальные условия, число которых равно порядку уравнения. Это позволяет определить вначале постоянные С1, С2,…, Сn, а затем и частные решения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения применяются при решении задач о напряженном состоянии массива, равновесии конструкций, распределении масс, уплотнении грунтов, предельном состоянии пород и др.

78

Основы научных исследований

Например, в результате исследований установлено, что после БВР скорость оседания пыли из движущегося по выработке воздуха

По мере удаления от источника вследствие осаждения пыли концентрация ее будет уменьшаться по экспоненциальному закону.

Большое распространение при решении прикладных задач получили дифференциальные уравнения в частных производных, например,

Общее решение этих уравнений зависит уже не от произвольных постоянных, а от произвольных функций. В них искомые решения представляют собой функции нескольких независимых переменных. Суть решения задачи сводится к тому, чтобы найти соотношение между переменными, установить функциональные зависимости

u = f (x,y) или u = f (x,t),

79