Методология науч. исслед / Бабиюк Основы научных исследований

Основы научных исследований

Методы рационального планирования эксперимента позволяют одновременно изучить влияние на исследуемый объект ряда факторов (многофакторный эксперимент). Они основаны на математической теории, которая определяет оптимальные условия эксперимента, в том числе и при неполном значении физической сущности явления. Для этого математические методы используют не только на стадии обработки результатов измерений, но также при подготовке и проведении опытов. Это позволяет с помощью эксперимента исследовать и оптимизировать сложные процессы и системы, обеспечивая высокую эффективность и точность определения исследуемых факторов.

При планировании экспериментальных исследований обычно предусматривается решение таких вопросов:

–определение величины и количества интервалов между экспериментальными точками;

–установление числа опытов при фиксированных параметрах на различных участках области изменения независимых переменных;

–разработку плана и последовательности проведения опытов. Решение этих задач часто усложняется необходимостью учета

ряда специфичных обстоятельств, связанных с используемой техникой, с сущностью явления и глубиной его изучения, с реальными возможностями постановки и проведения опытов. Однако в настоящее время установлены некоторые общие положения, которые необходимо соблюдать при рациональном планировании экспериментальных исследований. Так, например, теория математического планирования эксперимента основывается на ряде концепций, которые обеспечивают успешную реализацию задач исследования. К ним относятся концепции рандомизации, последовательного проведения эксперимента, математического моделирования, оптимального использования факторного пространства и ряд других.

Принцип рандомизации заключается в том, что в план эксперимента вводят элемент случайности. Для этого эксперимент составляют так, чтобы факторы, трудно поддающиеся контролю, учитывать статистически и исключать как систематические ошибки.

При последовательном проведении эксперимента его выпол-

131

Основы научных исследований

лей, оценка которых производится по критерию Фишера. Так как степень полинома, адекватно описывающего процесс, предсказать невозможно, то сначала пытаются описать явление линейной моделью, а затем (если она неадекватна) повышают степень полинома, т.е. проводят эксперимент поэтапно.

Оптимальное использование факторного пространства за-

ключается в том, что состояние объекта в каждом опыте определяется по результату одновременного оптимального варьирования n – факторов в m – мерном пространстве. Это позволяет добиться значительного увеличения точности расчета коэффициентов полученной модели и уменьшения трудоемкости эксперимента.

Классические и факторные планы проведения эксперимен-

тальных исследований. При планировании экспериментальных исследований, прежде всего, необходимо установить число независимых переменных, влияющих на изучаемый параметр. Обычно число независимых переменных равно 3, 4, 5 и более. Планирование таких многофакторных экспериментов осуществляется с использованием классических и факторных планов.

Классический план можно считать универсальным, так как его применяют при любых экспериментальных исследованиях. Факторный план является более точным и менее трудоемким, однако он ограничивается изучением определенных процессов и явлений, поэтому имеет ограниченное применение.

Рассмотрим подробнее эти планы. При классическом планировании эксперимента все независимые переменные, кроме одной, например Х, фиксируются, а переменная Х варьируется во всем диапазоне изменения. Затем задаются новые значения независимым переменным Y, Z, и вновь варьируется Х и т.д. Если число интервалов равно ρ, то в этом случае необходимо сделать опыты на k; p уровнях (здесь k – число опытов при всех фиксированных параметрах на одном уровне).

Если известно, что зависимая переменная W является той или иной функцией независимых переменных, то объем эксперимента удается немного сократить. Например, если

133

Основы научных исследований

Рисунок 5.2 – Латинские квадраты двухфакторного (а) и

трехфакторного (б) экспериментов

все сочетания А, В, С будут присутствовать в квадрате. Если разместить уровни фактора С так, чтобы в каждой стороне и столбце встречались все его уровни, то, усредняя данные по строкам и рядкам, будем иметь средние, постоянные значения фактора С, что не должно исказить влияние факторов А и В на изучаемый параметр (рис. 5.2,б).

Далее можно добавить к этому плану еще и четвертый фактор, чтобы в каждой строке и каждом столбце такого плана были бы все пять уровней третьего и следующих факторов и одновременно не один уровень третьего и следующих факторов не встречались вместе по всей таблиц более одного раза. Таким образом, избежать большого объема экспериментальных исследований можно лишь в том случае, если спланировать сочетания различных факторов так, чтобы при минимальном числе опытов наиболее равномерно охватить всю площадь таблицы возможных сочетаний влияющих факторов.

Планирование экстремальных экспериментов. Наиболее широко используют планы экстремального эксперимента, позволяющие описать модель с помощью полинома и оптимизировать иссле-

137

Методы экспериментальных исследований

дуемый объект. Эти планы представляют собой систему опытов, содержащую возможные неповторяющиеся комбинации выбранных факторов при заданных уровнях их варьирования. Метод позволяет изучать влияние многих факторов на исследуемый процесс в некоторой области факторного пространства, лежащего в окрестности выбранной точки с координатами (Z01, Z02,…, Z0n). Полученный полином k-й степени (функция отклика) для математического описания процесса можно использовать также для его оптимизации, т.е. определять параметры, при которых явление или процесс будет протекать наиболее эффективно.

Экстремальный эксперимент основан на том, что исследуемую непрерывную функцию y = f (Z1, Z2,…, Zn), имеющую все производные в заданной точке с координатами Z01, Z02,…, Z0n, можно разложить в ряд Тейлора:

у = β0+ β1Z1+ β2Z2 +…+ βnZn+ β12Z1Z2+…+

где β0 – значение функции отклика в начале координат Z01,

Z02,…, Z0n;

где a0, ai, aij, aii – коэффициенты регрессии;

хі – кодированная переменная, введенная в целях упрощения арифметических расчетов и равная

хi= (zi– z0i) /∆ zi; ∆ zi= (zimax– zimin) / 2; z0i=(zimax+ zimin) / 2.

Следовательно, хi является относительной величиной, максимальному значению zimax соответствует хi=+1, а минимальному zimin соответствует хi=–1.

Коэффициенты регрессии уравнения (5.29) вычисляют методами математической статистики и представляют они собой приближен-

138

Основы научных исследований

ную оценку коэффициентов β0, βi, βj и т.д. в уравнении (5.27), поэтому уравнение (5.29) описывает исследуемый объект только с определенной степенью точности.

Уравнение (5.29) широко используется для получения математической модели объектов исследования, хотя оно и не содержит информации о механизме явлений и его физико-химических свойствах. В математической теории эксперимента разработаны оптимальные планы получения уравнения типа (5.29). Определение коэффициентов регрессии и анализ уравнения производят с помощью ЭВМ.

Планы оптимального эксперимента реализуются в такой последовательности (рис. 5.1):

–оценка информации и определение n факторов, наиболее существенных для исследуемого процесса;

–использование математической модели в виде линейной функции отклика;

–анализ выбранной модели;

–нахождение экстремума в области n-мерного фактора пространства путем использования полинома k-й степени;

–если модель неадекватна, то в качестве модели выбирают полиномы более высокого порядка.

Планирование экстремального эксперимента с целью описа-

ния исследуемого объекта. Планирование эксперимента начинается со сбора, изучения и анализа имеющих данных об объекте. В результа-

те определяют выходной параметр у и входные – zi. Выходной параметр (переменная состояния объекта) должен иметь количественную характеристику, т.е. измеряться с достаточной степенью точности и однозначно характеризовать объект исследования. Входные параметры

zi должны иметь границы изменения (zimax–zimin), причем при различных комбинациях факторов zi переменная состояния объекта у не должна выходить из области допустимых значений. Между фактором zi и значение у необходимо однозначное соответствие. Факторы zi между собой взаимно независимы. В целях упрощения вычислений удобно пользоваться относительными переменными хi, ∆zi, z0i. Значениям zimax

иzimin соответствует хi=+1 и хi=–1.

139