Методология науч. исслед / Бабиюк Основы научных исследований

Основы научных исследований

подобия Ньютона и его втором законе механики. Эта теорема форму-

лируется следующим образом: для подобных явлений можно найти

определенную совокупность параметров, называемых критериями подобия, которые равны между собой.

Рассмотрим пример. Пусть два тела, имеющие массы m1 и m2, перемещаются с ускорениями соответственно а1 и а2 под действием

Распространяя результат для n подобных систем, получим критерий подобия:

Критерий подобия условились обозначать символом П, тогда результат вышеприведенного примера запишется:

Таким образом, в подобных явлениях соотношение параметров (критерии подобия) равны между собой и для этих явлений справедливо П = idem. Обратное утверждение также имеет смысл. Если критерии подобия равны, то явления являются подобными.

Найденное уравнение (4.32) называется критерием динамического подобия Ньютона, оно аналогично выражению (4.29), полученному с помощью метода анализа размерностей, и является частным случаем критерия термодинамического подобия, основанного на законе сохранения энергии.

91

Основы научных исследований

Благодаря П-теореме возможно уменьшить число переменных размерных величин до ( m - k ) безразмерных величин, что упрощает анализ данных, планирование эксперимента и обработку его результатов.

Обычно, в механике, в качестве основных единиц принимаются три величины: длину, время и массу. Тогда при исследовании явления, которое характеризуется пятью параметрами (включая, безразмерную константу), достаточно получить взаимосвязь между двумя критериями.

Рассмотрим пример приведения величин к безразмерному виду, используемый обычно в механике подземных сооружений. Напряженное деформированное состояние пород вокруг выработки предопределяется весом вышележащей толщи γН, где γ – объемный вес пород, Н

– глубина расположения выработки от поверхности; прочностной характеристикой пород R; сопротивлением крепи q; смещениями контура выработки U; размерами выработки r; модулем деформации Е.

Вобщем виде зависимость можно записать следующим образом:

U = f (γH; R; q; E; r).

Всоответствии с П-теоремой система за п параметров и одной определяемой величины должна дать (п +1− k) безразмерных комби-

наций. В нашем случае время не принимается во внимание, следовательно, получаем четыре безразмерные комбинации.

Ur ; gRH ; Rq ; Eq ,

из которых можно составить более простую зависимость:

Третья теорема подобия. Эта теорема сформулирована акад. В.Л. Кирпичевым в 1930 г. следующим образом: необходимым и

достаточным условием подобия является пропорциональность схожих параметров, составляющих часть условия однозначности, и равенство критериев подобия изучаемого явления.

Два физических явления подобны, если они описываются одной и той же системой дифференциальных уравнения и имеют подобные

93

Основы научных исследований

–выбирают систему единиц измерений. В этой системе выбирают независимые параметры. Число независимых параметров равно k;

–составляют матрицу размерностей выбранных параметров и рассчитывают детерминант этой матрицы. Если параметры независимы, то детерминант не будет равен нулю;

–находят комбинации критериев, используя метод анализа размерностей, их число в общем случае равно k–1;

–определяют коэффициенты пропорциональности между критериями с помощью эксперимента.

Критерии механического подобия. В горной науке наибольшее применение находят критерии механического подобия. При этом считают, что другие физические явления (термические, электрические, магнитные и др.) не влияют на изучаемый процесс. Чтобы получить необходимые критерии и постоянные подобия используют закон динамического подобия Ньютона и метод анализа размерностей.

В качестве основных единиц принимаются длина, масса и время. Все остальные характеристики рассматриваемого процесса будут находиться в зависимости от этих трех основных единиц. Следовательно, механическое подобие устанавливает критерии для длины (подобие геометрическое), времени (подобие кинематическое) и массы (подобие динамическое).

Геометрическое подобие двух подобных систем будет иметь место, если все размеры модели изменены в Сl раз по отношению к системе, имеющей реальные размеры. Иначе говоря, отношение расстояний в натуре и на модели между любой парой аналогичных точек есть величина постоянная, называемая геометрическим масштаб:

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента пропорциональности Cl2 , отношение объемов – Cl3 .

Условие кинематического подобия будет иметь место, если аналогичные частицы систем, перемещаясь по геометрически подоб-

95

Методы теоретических исследований

ным траекториям, проходят геометрически подобные расстояния за отрезки времени tn в натуре и tm на модели, которые отличаются ко-

Условие динамического подобия будет иметь место, если, кроме условий (4.36) и (4.37), еще и массы аналогичных частиц подобных систем отличаются одна от другой коэффициентом пропорциональности:

Коэффициенты Cl , Ct, и Cm названы коэффициентами подобия. Имея динамическое подобие, очень легко установить зависимо-

сти между всеми характеристиками любой механической системы. В самом деле:

Следовательно, коэффициенты подобия различных величин могут быть выражены через коэффициенты динамического подобия Сl, Ct и Cm

Иногда удобно выражать коэффициенты подобия, используя вторичные единицы измерения. Например, масса в условии (4.38) может быть представлена в виде произведения объема на плотность. Тогда,

Основы научных исследований

Так как условие геометрического подобия нами уже определено, то условие динамического подобия может быть дано отношением плотностей подобных систем

Представляя в выражении (4.41) массы частиц в виде плотности и объема, получим:

Зависимости (4.44) представляют собой различные формы математической записи одного и того же закона динамического подобия.

Заменим в (4.41) коэффициенты пропорциональности соответствующими отношениями:

Анализ критерия (4.46) показывает, что в случае геометрического масштаба моделирования Cl = ln / lm , чтобы обеспечить механиче-

ское подобие модели и натуры, возможны три условия:

sm ¹sn и gm =gn ; sm =sn и gm ¹ gn ; sm ¹sn и gm ¹ gn .

Первое условие соответствует наиболее простой механической модели, которая воспроизводит явление, соблюдая геометрическое подобие и сохраняя его физическую природу. Количественно модели-

97

Основы научных исследований

– от сдвига (t0 )m = llm × gm (t0 )n; tgjm = tgjn .

n gn

При использовании теории подобия удобно оперировать критериями подобия, которые обозначаются двумя латинскими буквами фамилии ученых. Рассмотрим некоторые критерии подобия.

Подобие механических систем динамического характера выражают критерием Ньютона:

Ne= f =idem . r×v2 ×l2

Изучая потоки жидкостей, применяют критерий Рейнольда, который является показателем отношения сил инерции к силам трения:

Re= vu×l =idem,

где u – динамическая вязкость.

Критерий Эйлера Eu характеризует соотношения давления и сил инерции:

Eu= ρ×Pv2 =idem ,

где P – падение давления при движении жидкости в трубопроводе вследствие трения.

Подобие сил тяжести характеризует критерий Фруда:

Fr = gv×2l =idem.

Временное подобие характеризует критерий гомохронности:

Ho= vt×l =idem .

Критерий Фурье характеризует скорость выравнивания тепла в теле:

Fо=αl×2T =idem,

где α – коэффициент температуропроводности.

Все приведенные, а также и другие критерии, являются безразмерными и независимыми друг от друга, поэтому их сочетание дает

99