Методология науч. исслед / Бабиюк Основы научных исследований

Основы научных исследований

y

2

x

Рисунок 6.3 – Корреляционное поле 1 – экспериментальная регрессионная зависимость;

2 – теоретическая регрессионная зависимость;

связи. В данном случае ломаную линию можно аппроксимировать прямолинейной или криволинейной зависимостями.

Если на корреляционном поле провести плавную линию, которая равноудалена от средних точек, то получим теоретическую регрессионную зависимость. Такую зависимость называют парной или однофакторной. В общем случае парная зависимость может быть аппроксимировала линией, параболой, логарифмической, степенной и показательной функциями, полиномом и др.

Линейная регрессия, или линейная форма связи между случайными переменными, занимает особое место в корреляционном анали-

зе. При такой связи у(х) есть линейная функция

где а0 и а1 – коэффициенты регрессии; х – независимая случайная переменная.

Параметры в уравнении регрессии (коэффициенты регрессии) определяются по способу наименьших квадратов, т.е. при построении теоретической регрессионной зависимости оптимальной будет такая функция, у которой соблюдается условие

202

Обработка и обобщение результатов исследований

где уi – фактические ординаты поля;

у(х) – среднее значение ординаты с абсциссой х.

В случае линейной регрессии за теоретическое значение принимается величина, получаемая по формуле (6.13), т.е. ищется такая прямая линия, сумма квадратов отклонений измеренных значений уі от которой была бы минимальной:

i=1

Как известно, минимум функции можно найти, приравняв к нулю ее первую производную. Запишем выражения (6.15) в виде

Q=å(y-a0 -a1x)2 =Qmin ,

найдем частные производные функции Q по a0 и a1 , приравняем их нулю и составим систему нормальных уравнений

Зависимость (6.13) является частным случаем более общей нелинейной зависимости

Коэффициенты регрессии а0, а1, …аk в (6.18) определяются аналогично по способу наименьших квадратов, в результате чего получим:

Основы научных исследований

Вычислив коэффициенты системы (6.19), ее можно решить любым известным методом.

В общем случае тесноту связи оценивают по отношению к общей дисперсии σ 2у , т.е. рассматривают отношение

где y(x) – теоретическая функция регрессии; μy – условное генеральное среднее;

М [] – математическое ожидание; σ 2у – полная дисперсия;

ηТ2 – теоретическое корреляционное отношение.

Критерием близости корреляционной зависимости между х и у линейной функциональной зависимости является коэффициент корреляции, который показывает степень линейности связи между х и у:

где n – число измерений.

Коэффициент корреляции является частным случаем теоретического корреляционного отношения (6.20), когда связь между переменными х и у линейна. Значение коэффициента корреляции всегда меньше единицы. При r =1 переменные х и у связаны функциональной линейной связью.

На практике часто возникает потребность в установлении связи между у и многими параметрами х1, х2,…,хn. Многофакторные теоретические регрессии аппроксимируют полиномами первого или второго порядка. Уравнение регрессии определяет систематическую составляющую, а ошибки разброса – случайную. В этом случае для изучения связи между переменными используют несколько видоизмененный метод, а уравнение связи составляется между зависимой случайной величиной у и n переменными х. Для простоты рассуждений ограни-

204

Основы научных исследований

экспериментальных исследований. Методы оценки адекватности основаны на использовании доверительных интервалов, позволяющих с заданной доверительной вероятностью определить значения оцениваемого параметра.

В практике оценки адекватности применяют различные статистические критерии, наиболее употребляемым является критерий Фишера. В этом случае для адекватности необходимо рассчитать экспериментальное (опытное) значение критерия Фишера (Кф.э) и сравнить с теоретическим (табличным) (Кф..т), принимаемым при требуемой доверительной вероятности Рд (обычно 0,95). При этом, если Кф.э < Кф.т , то модель адекватна, если Кф.э > Кф.т , то модель неадекватна.

Экспериментальный критерий вычисляют по формуле:

Кф.э = Да , (6.25)

Дср

где yі.т – теоретическое значение функции для каждого измерения; уі.э – экспериментальное значение функции;

yі.э – среднее экспериментальное значение функции из m серий измерений;

n – количество измерений в одном опыте (в одной серии);

d – число коэффициентов уравнения теоретической регрессии; Значение Кф.т принимается по таблице для заданной довери-

тельной вероятности и числа степеней свободы.

При проведении экспериментов очень часто результаты обрабатываются в виде тех или иных законов распределения. В таких случаях возникают две основные задачи:

а) определение вида вероятностного закона, т.е. аппроксимации

206

Основы научных исследований

количественных и качественных факторов и признаков. О таких объектах говорят, что они являются многомерными (изображаются точкой в многомерном пространстве). Для их описания используются специальные методы исследования, основанные на положениях теории информации, распознавания и прогнозирования.

В качестве примера рассмотрим методологию прогнозирования многопараметрических процессов и явлений, предложенную Фрумкиным Р.А., которая базируется на теории последовательного анализа А. Вальда. Методология предусматривает выполнение следующих этапов исследований:

–выбор объекта исследований и установление градации уровней прогнозируемых состояний;

–сравнение распределений факторов и оценка существенности их различий;

–разбивку упорядоченного ряда на диапазоны и выделение информационных признаков;

–расчет отношений правдоподобия, прогностических коэффициентов и информативности факторов;

–разработку распознающих систем, выбор уровня ошибок и прогностических порогов;

–проверку распознающих систем и оценку их эффективности. Методология демонстрируется на примере прогнозирования по-

тенциальной выбросоопасности углепородного массива на шахтах «Луганскуголь». В этом случае необходимо знать два подлежащих распознаванию состояния массива: приводящее (А1) и не приводящее (А2) к развязыванию внезапного выброса в той или иной ситуации. После проведения наблюдений (15-20 для каждого процесса) производится сравнение факторов х1, х2, х3…хn, характерных для А1 и А2.

Сравнение факторов произведем на примере начальной скорости газовыделения (х1), для этого величины х1 размещены для каждого события в возрастающем порядке с выделением значения, относящегося к А1 и А2 (табл.6.6).

208

Основы научных исследований

Таблица 6.7 – Распределение условных вероятностей начальной скорости газовыделения

Поскольку в процессе прогнозирования отношения правдоподобия для независимых факторов перемножаются, то удобнее использовать их логарифмы, умноженные на 100, называемые прогностическим коэффициентом. Коэффициент со знаком плюс говорит о большем правдоподобии гипотезы А1. Чем больше абсолютная величина коэффициента, тем больше он несет информации о преобладании вероятности одного из прогнозов. Однако информативность фактора нельзя определить только по величине прогностического коэффициента. Она зависит также от частоты попадания в данный диапазон. Поэтому формула для определения информативности фактора имеет вид:

где Ixj – информативность j-го фактора.

210