6. Влияние дискретности на неустойчивость поведения систем
Использование уравнения Ферхюльста
В 1838 г. Ферхюльст предложил логическую модель, с помощью которой предсказывают множество сложных процессов в развитии человеческого общества и физических процессах.
Это основное уравнение для описания самоорганизующихся систем.
K- предельная емкость среды, т.е. можно ассоциировать с предельной численностью популяции.
Для этого уравнения существует для точки равновесия: N = 0 – неустойчивая, N=K – устойчивая.
Это уравнение распространяется на N-мерный случай, когда мы имеем множество взаимодействующих систем.
С помощью такой системы моделировалась динамика мирового рынка основных энергетических ресурсов.
i
– номер рассматриваемого энергоресурса;
-его
объем;
соответствующие
показатели (константы).
Влияние дискретности на развитие неустойчивостей
аналогии между математическими моделями
взаимодействия в различных сферах
деятельности. При математическом
моделировании физических процессов
предпочтение отдается дифференциальной
форме записи, когда пространство и время
меняются непрерывно.
В социальной сфере дискретность изменения событий отражается в разностных уравнениях, где результат предыдущего действия, является начальным значением последующего действия.
Но в определенных случаях переход от непрерывной формы записи к дискретной пожжет повлиять на асимптотическое поведение системы.
Сравнение на ур-ии Ферхюльста
y' = r (1-y) y это линейное диф. ур-ние 1-го рода (Ферхюльста), явл. характерным для нелинейной динамической системы, имеющей ограничения на мах зн-ие.
Таким уравнением описывают: изменение численности насекомых в условиях ограниченности питательной среды; рост концентрации электронов в полупроводнике под действием лазерного излучения при насыщении числе разрешенных состояний; св-ва турбулентных потоков.
Независимо от значения параметра r функция y асимптотически стремится к 1 – нормированному мах значению.
Асимптотическое поведение динамической системы с ограниченным ресурсом при непрерывном изменении события.
Уравнение, записанное в разностной форме yn+1 = yn (1+r) – r*yn2 дает аналитическое решение, пока параметр r не начинает превышать 1. Но если r>2 изначально детерминированный процесс становится хаотичным.
Определяющим в данном превращении является вклад членов с положительной обратной связью. Для наглядной демонстрации введем в слагаемые выражения (2) разные коэффициенты r1, отвечающий за положительную обратную связь и r2, отвечающий за отрицательную обратную связь yn+1 = yn (1+r1) – r2*yn2 и будем изменять их значения.
Получаем, что если r1 > 2 , то увеличение r2 может только замедлить развитие флуктуации и снизит уровень, относительно которого система флуктуирует, но не стабилизировать процесс.
Влияние роста r2 на ход процесса при различных r1.