69_3_12

Реакції опор визначаємо з рівнянь рівноваги стержня: ∑ Fx = 0; HC = 0;

Перевірка:

∑ Fz = 0; q (2 + 4) − P − RB −VC = 0 ;

8 6 −10 − 8,17 − 29,83 = 48 − 48 = 0.

Рис. 2.5

31

3.Позначаємо характерні перерізи (В – Е) вздовж осі стержня

(рис. 2.5).

4.Обчислюємо величини та визначаємо знаки внутрішніх зусиль у зазначених перерізах стержня:

а) поперечна сила:

QD = P = 10 кН;

QBлів = QD = 10 кН;

QBпр = QВлів + RВ = 10 + 8,17 = 18,17 кН; QЕ = QВпр − q 2 = 18,17 − 8 2 = 2,17 кН; QС = −VC = −29,83 кН.

б) згинальний момент:

M D = 0 ;

M B = P 2 = 16,34 кНм;

M Eлів = P (2 + 2)− q 2 2 = 10 4 − 8 2 1 = 40,34 ; 2

M Епр = М Елів + М = 40,34 + 15 = 55,34 кНм;

MC = 0 .

Оскільки поперечна сила в межах ділянки Е – С змінює знак, необхідно визначити координату перерізу, в якому Q(x) = 0, а згинальний момент набуває екстремального значення:

5.За визначеними ординатами будуємо епюри (рис. 2.5).

6.Правильність побудови епюр перевіряємо за диференціальними

залежностями між qz (x), Q та M :

1) на ділянці D – B розподілене навантаження відсутнє ( q = 0 ), тому тангенс кута нахилу дотичної до епюри Q також рівний 0 і епюра Q обмежена відрізком прямої, паралельної базі (Q = const ); оскільки Q = const , епюра M у межах цієї ділянки обмежена відрізком прямої;

32

2) на ділянках B – E та E – C q = const , отже тангенс кута нахилу дотичної до епюри Q постійний і дорівнює q , тобто епюра обмежена відрізками прямих, нахилених до бази; оскільки Q змінюється за лінійним законом, тобто змінним є тангенс кута нахилу дотичної до епюри M , то епюра M у межах цих ділянок обмежена квадратною параболою;

3) перевіряємо перерізи в точках прикладення зосередженого навантаження. У цих точках епюри мають стрибок, абсолютна величина якого дорівнює величині зосередженого навантаження:

QDпр − QDлів = 10 − 0 = 10 = P ;

QBпр − QBлів = 18,75 −10 = 8,75 = RВ ; QDпр − QDлів = 0 − (− 29,83) = 29,83 = VD ; M Dпр − M Dлів = 55,34 − 40,34 = 15 = M .

ПРИКЛАД 2.4 Горизонтальний консольний стержень

1.Викреслюємо в масштабі розрахункову схему стержня і вказуємо величини діючих навантажень та числові значення лінійних розмірів

(рис. 2.6).

2.Опорні реакції в защемленні не визначаємо, а внутрішні зусилля визначаємо з умов рівноваги частини стержня з боку вільного краю.

Прикладені під кутом до осі стержня зосереджені сили розкладаємо на складові, проектуючи їх на вісь стержня (вісь х) та на перпендикуляр до осі (вісь z):

P1x = P1 cos30o = 15 cos 30o = 13 кН ;

P1z = P1 sin 30o = 15 sin 30o = 7,5 кН;

P2x = P2 sin 30o = 20 sin 30o = 10 кН;

P2z = P2 cos 30o = 20 cos 30o = 17,3 кН .

3.Позначаємо характерні перерізи (1 – 4) вздовж осі стержня

(рис. 2.6).

4.Обчислюємо величини та визначаємо знаки внутрішніх зусиль у зазначених точках стержня:

33

Q3лів = Q2 = −7,5кН;

Q3пр = Q3лів + P2 = −7,5 +17,3 = 9,8кН; Q3пр = Q4 = 9,8кН;

в) згинальний момент:

M1 = 0 ;

M 2лів = −P1z 4 = −7,5 4 = −30 кНм;

M 2пр = M 2лів + М = −30 + 18 = −12 кНм;

M 3 = −P1z 6 + М = −7,5 6 + 18 = −27 кНм;

M 4 = −P1z 9 + М + P2 z 3 = −7,5 9 + 18 + 17,3 3 = 2,4 кНм.

5.За визначеними ординатами будуємо епюри (рис. 2.6).

6.Правильність побудови епюр перевіряємо за диференціаль-ними

залежностями між qz (x), Q та M :

1) розподілене навантаження на стержень відсутнє ( q = 0 ), тому тангенс кута нахилу дотичної до епюри Q також рівний 0 і епюра Q по всій довжині стержня обмежена відрізками прямих, паралельних базі (Q = const ); оскільки Q = const , епюра M обмежена відрізками прямих; 2) перевіряємо перерізи в точках прикладення зосередженого навантаження. В цих точках епюри мають стрибок, абсолютна величина

якого дорівнює величині зосередженого навантаження:

M2пр − M2лів = −12 − (− 30) = 18 = M .

ПРИКЛАД 2.5 Стержень на трьох шарнірних опорах

1. Викреслюємо в масштабі розрахункову схему стержня і вказуємо величини діючих навантажень та числові значення лінійних розмірів

(рис. 2.7).

35

RC = 12,45 кН.

Перевірка:

∑ Fz = 0; RB + RC sin30o + RD sin30o = q 1,3 + P

2,75 +12,45 sin 30o +12,45 sin 30o = 4 1,3 +10 15,2 −15,2 = 0.

Прикладені під кутом до осі стержня опорні реакції розкладаємо на складові, проектуючи їх на вісь стержня (вісь х) та на перпендикуляр до осі (вісь z):

RCx = RDx = RC cos 30o = 12,45 cos30o = 10,78 кН; PCz = RDz = RC sin 30o = 12,45 sin 30o = 6,225 кН .

3.Позначаємо характерні перерізи (В – Е) вздовж осі стержня

(рис. 2.7).

4.Обчислюємо величини та визначаємо знаки внутрішніх зусиль у зазначених перерізах стержня:

а) поздовжня сила:

N B = 0;

NCлів = N В = 0 ;

NСпр = RCx = 10,78 кН ; N E = NCпр = 10,78 кН;

N Dлів = N E = 10,78 кН ;

NDпр = NDлів − RDx = 10,78 −10,78 = 0.

б) поперечна сила:

QB = RB = 2,75кН;

QCлів = QВ − q 1,3 = 2,75 − 4 1,3 = −2,45кН; QCпр = QСлів + RCz = −2,45 + 6,225 = 3,775 кН;

QEлів = QСпр = 3,775кН;

QЕпр = QЕлів − Р = 3,775 −10 = 6,225кН;

QDлів = N Eпр = 6,225 кН;

QDпр = QDлів − RDz = 6,225 − 6,225 = 0 .

37

в) згинальний момент:

Оскільки поперечна сила в межах ділянки В – С змінює знак, необхідно визначити координату перерізу, в якому Q(x) = 0, а згинальний момент набуває екстремального значення:

M D = 0 ;

M E = RDz 1 = 6,225 кНм.

5.За визначеними ординатами будуємо епюри (див. рис. 2.7).

6.Правильність побудови епюр перевіряємо за диференціальними

залежностями між qz (x), Q та M :

1) на ділянці В – С q = const , отже тангенс кута нахилу дотичної до епюри Q постійний і дорівнює q , тобто епюра обмежена відрізком прямої, нахиленої до бази; оскільки Q змінюється за лінійним законом, тобто змінним є тангенс кута нахилу дотичної до епюри M , то епюра M у межах цієї ділянки обмежена квадратною параболою;

2) на ділянці С – D q = 0 , тому тангенс кута нахилу дотичної до епюри Q також рівний 0 і епюра Q обмежена відрізками прямих, паралельних базі (Q = const ); оскільки Q = const , епюра M у межах цих ділянок обмежена відрізками прямих;

3) перевіряємо перерізи в точках прикладення зосередженого навантаження. У цих точках епюри мають стрибок, абсолютна величина якого дорівнює величині зосередженого навантаження:

38

ПРИКЛАД 2.6 Шарнірно-консольний стержень з проміжним шарніром

1. Викреслюємо в масштабі розрахункову схему стержня і вказуємо величини діючих навантажень та числові значення лінійних розмірів

(рис. 2.8).

2. Оскільки шарнірне з’єднання дозволяє частинам стержня вільно повертатись одна відносно одної, момент у шарнірі (переріз С) рівний нулю. З цієї умови можна визначити опорну реакцію в шарнірно-рухомій опорі D, склавши суму моментів відносно точки С усіх сил з правого боку від С:

Рис. 2.8

39

4. Обчислюємо величини та визначаємо знаки внутрішніх зусиль у зазначених точках стержня:

а) поперечна сила:

QE = −P = −13 кН;

QDпр = −P + q 2 = −13 + 4 2 = −5 кН, QDлів = QDпр + RD = −5 + 5 = 0;

QC = QDлів + q 3 = 0 + 4 3 = 12 кН;

QF = QB = QC = 12 кН.

б) згинальний момент:

M E = 0 ;

5.За визначеними ординатами будуємо епюри (рис. 2.8).

6.Правильність побудови епюр перевіряємо за диференціаль-ними

залежностями між qz (x), Q та M :

1) на ділянці С – Е q = const , отже постійний тангенс кута нахилу дотичної до епюри Q і епюра обмежена відрізком прямої, нахиленої до бази. У точках D та Е прикладені зосереджені сили, яким відповідає стрибок на епюрі Q :

QEпр − QEлів = 0 − (−13) = 13 = P ;

QDпр − QDлів = − 5 − 0 = 5 = RD .

На ділянці В – С q = 0 , тобто епюра Q обмежена відрізком прямої, паралельної базі (Q = const );

40