Прямые называются директрисами гиперболы. – левая директриса,

– правая директриса.

Директрисы гиперболы обладают тем же свойством, что и директрисы эллипса

(18)

т. е. отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.

Для гиперболы важную роль играют также прямые

(19)

которые являются ее асимптотами, т. е. прямыми к которым график гиперболы неограниченно близко приближается, но не пересекает их. Заметим, что асимптоты гиперболы совпадают с диагоналями прямоугольника (если их продолжить)

Следует отметить, что если уравнение гиперболы имеет вид (14), т. е. ее фокусы находятся на оси Оу, то изменятся формулы для вычисления фокальных радиусов, эксцентриситета, директрис. Так – эксцентриситет, – уравнения директрис.

25. Угол между прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.

26. Комплексные числа и действия над ними.

27. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

28. Угол между двумя прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.

29. Понятие квадратичной формы. Знакоопределенность квадратичных форм

Квадратичной формой от п переменных называется сумма (функция) вида ,

где – вещественные числа (коэффициенты), .

Матричная запись квадратичной формы ,

где – матрица квадратичной формы, .

Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если для всех значений переменных, не равных нулю одновременно.

Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы А были положительны, т. е.

(критерий Сильвестра).

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы главные миноры матрицы чередовали знак с минуса на плюс, т. е. .

Примеры

17. Выяснить, является ли квадратичная форма положительно или отрицательно определенной:

.

Р е ш е н и е. Запишем матрицу квадратичной формы:

.

Найдем главные миноры:

,

.

Согласно критерию Сильвестра, квадратичная форма положительно определенная.