- •Действия с матрицами: умножение на число, сложение, вычитание, умножение матриц. Свойства операций над матрицами.
- •Определители 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей.
- •Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей с помощью формул разложения.
- •Обратная матрица и ее вычисление.
- •Ранг матрицы. Вычисление ранга с помощью элементарных преобразований.
- •Системы линейных алгебраических уравнений. Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных алгебраических уравнений.
- •Формулы Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •Скалярные и векторные величины. Линейные операции с векторами.
- •Понятие базиса на плоскости и в пространстве. Ортонормированные базисы на плоскости и в пространстве. Координаты вектора в базисе.
- •Скалярное произведение. Координатная форма скалярного произведения.
- •Векторное произведение. Координатная форма векторного произведения.
- •Смешанное произведение. Координатная форма смешанного произведения.
- •Уравнение прямой (на плоскости), уравнение плоскости, заданных точкой и нормальным вектором.
- •– Каноническое уравнение эллипса с центром в точке
- •Парабола и ее основные свойства.
- •Гипербола и ее основные свойства.
- •Прямые называются директрисами гиперболы. – левая директриса,
-
Уравнение прямой (на плоскости), уравнение плоскости, заданных точкой и нормальным вектором.
Будем предполагать, что на плоскости задана прямоугольная система координат .
Нормальным вектором прямой называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой прямой.
Уравнение прямой, заданной точкой и нормальным вектором :
. (3.1)
Общее уравнение прямой:
, . (3.2)
Частные случаи общего уравнения прямой:
1) – прямая проходит через начало координат;
2) , – прямая параллельна оси ;
3) , – прямая параллельна оси ОХ;
4) – уравнение оси ОY;
5) – уравнение оси ОХ.
-
Общее уравнение плоскости, общие уравнения прямой в пространстве, общее уравнение прямой на плоскости.
-
Уравнение прямой (на плоскости), уравнение плоскости в отрезках.
-
Уравнения прямой на плоскости и в пространстве, проходящей через 2 заданные точки.
-
Уравнение прямой на плоскости и в пространстве, заданной точкой и направляющим вектором.
-
Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки.
-
Расстояние от точки до прямой и от точки до плоскости.
-
Эллипс и его основные свойства.
Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть заданная постоянная величина, равная 2а, а > 0, большая, чем расстояние между фокусами 2с, с > 0.
Пусть фокусы эллипса лежат на оси Х, причем т. е. – межфокусное расстояние эллипса.
Пусть – произвольная точка эллипса. Величины называются фокальными радиусами точки М эллипса.
По определению эллипса: r1 + r2 = 2a, а > c. Из прямоугольных треугольников, по теореме Пифагора, имеем:
(2)
Умножим (2) на
(3)
Сложим уравнения (2) и (3):
(4)
Возведем (4) в квадрат:
Пусть
(5)
(5) – каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат. Соответственно, уравнение
– Каноническое уравнение эллипса с центром в точке
Числа а и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Заметим, что а > , если а < , то фокусы эллипса будут на оси Оу, если а = , то эллипс превращается в окружность.
Точки , называются вершинами эллипса. Отметим, что эллипс целиком расположен внутри прямоугольника:
Так как
(6)
Эксцентриситетом эллипса называют отношение межфокусного расстояния 2с к длине большой оси 2а.
(7)
Следовательно, причем когда т. е. имеем окружность.
При стремящемся к 1 эллипс становится более вытянутым вдоль оси Ох.
Выразим фокальные радиусы точки через эксцентриситет. Из (4):
(8)
Из (3):
Значит, подставив координаты точки эллипса в уравнения (8), получаем фокальные радиусы точки М.
Прямые называются директрисами эллипса.
– левая директриса,
– правая директриса.
Заметим, что директрисы эллипса обладают следующим важным свойством:
(9)
т. е. отношение расстояния ri от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию di от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса.