10. Скалярные и векторные величины. Линейные операции с векторами.

Вектором называется направленный отрезок где точка А – начало вектора, точка В – конец вектора. Если начало и конец вектора в явном виде не указаны, то вектор будем обозначать и т. д.

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым вектором и обозначается .

Длиной (модулем) вектора называется длина его направленного отрезка и обозначается , .

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным или ортом.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Два вектора и называются равными , если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Свободный вектор – это вектор, который можно переносить параллельно самому себе в любую точку пространства (плоскости).

Произведением вектора на число называется вектор , длина которого ; направление совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если .

Суммой двух векторов и называется вектор (рис. 1) и обозначается .

Разностью двух векторов и называется вектор и обозначается (рис. 2).

Векторы, лежащие в одной плоскости или на параллельных плоскостях, называются компланарными.

Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве (прямо-угольной) называется совокупность трех упорядоченных взаимно перпендикулярных осей координат ОХ, ОY, OZ с общим началом в точке О. Орты координатных осей ОХ, ОY, ОZ обозначают соответственно. Векторы образуют декартовый прямоугольный базис в пространстве.

11. Понятие базиса на плоскости и в пространстве. Ортонормированные базисы на плоскости и в пространстве. Координаты вектора в базисе.

Базисом на плоскости называется упорядоченная пара любых некомпланарных векторов этой плоскости.

Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка любых некомпланарных векторов.

Векторы , в пространстве образуют базис тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из их координат,

не равен нулю: .

Если – базис на плоскости, то любой вектор этой плоскости единственным образом представляется в виде линейной комбинации векторов т. е. .

Числа называют координатами вектора в базисе и записывают .

Если – базис в пространстве, то любой вектор единственным обра-зом представляется в виде линейной комбинации векторов , т. е. . Числа называют координатами вектора в базисе и записывают .

Координатами точки М в заданной системе координат называют координаты ее радиус-вектора . В этом случае пишут или

Любой вектор в пространстве единственным образом представляется в виде линейной комбинации векторов т. е. . Числа называют декартовыми прямоугольными координатами вектора и записывают .

Линейные операции над векторами в координатной форме: пусть , , тогда , .

Длина вектора вычисляется по формуле

. (2.1)

Если вектор задан координатами точек и , то

.