1.5 Оптимізація, її методи та застосування

Задача оптимізації – це знаходження на допустимій множині оптимального значення цільової функції . Розв'язати оптимізаційну задачу–це знайти її оптимальний розв'язок чи встановити, що його немає. Методами розв'язування оптимізаційних задач називають методи математичного програмування. Оптимізаційна модель є двох видів: задачі максимізації та мінімізації.

Задача оптимізації – це тобто задача про знаходження екстремуму (мінімуму

або максимуму) дійсної функції у певній області. Зазвичай, розглядається область, що належить і задана набором нерівностей й рівностей.

Постановка задачі оптимізації наступна: у певному просторі деяким засобом виокремлюється певна непуста множинаточок даного простору, що називається припустимою множиною. Потім фіксується певна дійсна функція, яка задана у всіх точкахдопустимої множини. Вона є цільовою функцією. У задачі оптимізації потрібно знайти точкуу множині, для якої функціяприймає екстремальне (мінімальне чи максимальне) значення. Перший випадок– це коли для всіх точок множинизадовольняється нерівність, а другий випадок – нерівність .

На практиці можливими є дві головні постановки оптимізаційних задач.

В першій – задача розглядається у звичайному просторі кінцевої розмірності. Точками допустимої множини є кортежідійсних чисел, а цільовою ж функцією є дійсна функція від дійсних аргументів. Дана задача є задачею оптимізації функцій.

Друга постановка оптимізаційної задачі – у якості припустимої множини виступає певна множина функцій дійсних змінних, а цільовою функцією має бути певний функціонал, що ставить у відповідність кожній функції деяке дійсне число . Ця задача називається варіаційною задачею чи задачею оптимізації функціоналів.

В результаті оптимізації знаходиться найкращий варіант.

Методи оптимізації використовуються для пошуку розрахунку оптимальної геометричної конструкції, оптимальної технології, найкращого часу для технологічного процесу та подібних задач.

Параметрична оптимізація

Багатокритеріальна (векторна) оптимізація

Однокритеріальна оптимізація

Однопараметрична оптимізація

Багатопараметрична оптимізація

Безумовна оптимізація

Оптимізація з умовами-математичне програмування

Схоластичне програмування

Динамічне програмування

Нелінійне програмування

Опукле програмування

Неопукле програмування

Дискретне програмування

Квадратичне

програмування

Лінійне програмування

Цілочислове

програмування

Геометричне

програмування

Кусково-лінійне програмування

Сепарабельне програмування

Рис. 1.1 – Класифікація задач оптимізації

1.5.1 Багатокритеріальна оптимізаціясистеми

Багатокритеріальна оптимізація є процесом одночасної оптимізації кількох чи більше конфліктуючих між собою цільових функцій в певній області визначення.

Задачі багатокритеріальної оптимізації застосовуються в різних галузях техніки й науки.

Задачу багатокритеріальної оптимізації формулюють наступним чином:

,

де цецільових функцій. 

Вектор розв'язків належить до не порожньої області визначення .

Задача багатокритеріальної оптимізації здійснює пошук вектору цільових змінних, що буде задовольняти накладеним обмеженням й оптимізувати векторну функцію, котрої елементи відповідають цільовим функціям. Дані функції створюють математичний опис критерію задовільності й, майже завжди, взаємно конфліктують. Тож, «оптимізувати» – це знайти розв'язок, при якому значення цільових функцій стали б прийнятними для постановки задачі.

При розробленні методів розв'язання багатокритеріальних задач потрібне вирішення ряду специфічних проблем.

1. Проблема нормалізації. Окремі критерії, як правило мають різні масштаби та одиниці виміру, при цьому є неможливе їх безпосереднє порівняння. До єдиного і безрозмірного вигляду критерії зводять за допомогою операції нормування. Найпоширеніший спосіб нормування – це замінення абсолютних значень критеріїв їх відносними величинами

чи значеннями відхилення від оптимальних значень критеріїв

.

2. Проблема врахування пріоритету критеріїв виникає, якщо у критеріїв різна значимість. У цьому випадку потрібно віднайти математичне визначення пріоритету й ступінь його впливу на вирішення задачі.

3. Проблема визначення області компромісу виникає при вирішенні багатовимірних нелінійних задач, тому для їх вирішення необхідно застосовувати методи, що гарантують ефективне рішення.

Методи вирішення задач багатокритеріальної оптимізації можна поділити на чотири групи:

• методи, основані на згортанні критеріїв;

• методи, які застосовують обмеження на критерії;

• методи цільового програмування;

• методи, основані на знаходженні компромісного рішення.

З вихідної багатокритеріальної задачі у відповідності з обраним методом, формується задача. До складу якої входить один критерій, а до вихідної системи обмежень додається одне або кілька додаткових обмежень.

Усі складні задачі прийняття рішень є багатоцільовими, тому що при виборі кращого варіанту потрібно врахувати багато різних вимог й серед них зустрічаються ті, що суперечать одна одній. Тож часто багатоцільову задачу намагаються звести до одноцільової.

На сьогоднішній день цілі багатокритеріальних задач можуть знаходитися у таких відношеннях:

• Цілі кооперуються. Система розглядається із використанням однієї цілі, а інші досягаються одночасно.

• Цілі конкурують. У даному випадку одна з цілей досягається лише за рахунок іншої.

• Цілі залежно нейтральні. Система розглядається й характеризується незалежно.

Тож існують процедури вирішення такого роду багатокритеріальних задач:

Рис.1.2 Структура процедур рішення багатокритеріальних задач

Як відомо, дані методи переплітаються один із одним, тож дана структура не є закінчена повністю, а лише дає змогу краще пізнати шлях розв'язання проблеми.

Очевидно, що не має універсального способу розв’язку багатокритеріальних задач математичного програмування. Тому, вибір й коректне використання будь-якого із представлених способів лишається за суб’єктом прийняття рішень. Завданням математичного програмування є забезпечення необхідною кількістю науково обгрунтованої інформації, на підставі якої відбувається вибір управлінського рішення.