Лабораторна робота № 35 Визначення індуктивності короткого соленоїда Теоретичні відомості

Навколо будь-якого провідника зі струмом існує магнітне поле. Власне магнітне поле контура створює магнітний потік Ф через поверхню S, обмежену цим контуром. При зміні струму І, що тече через контур буде змінюватися також магнітний потік Ф, що його перетинає і, отже, у контурі буде індукуватися ЕРС. Виникнення електрорушійної сили індукції в колі в результаті зміни струму в колі одержало назву явища самоіндукції. Електрорушійна сила індукції в цьому випадку називається ЕРС самоіндукції і позначається Е_с.

За законом Біо-Савара-Лапласа магнітна індукція В пропорційна силі струму, що викликав поле. Тому струм у контурі І та створюваний ним магнітний потік через контур Ф зв’язані прямо пропорційною залежністю:

(1)

Коефіцієнт пропорційності L називається індуктивністю контура.

Залежність Ф від І буде лінійною тільки в тому випадку, якщо відносна магнітна проникність середовища, в якому знаходиться контур, не залежить від напруженості поля, тобто за відсутності феромагнетиків. В іншому випадкує складною функцієюІ (через ), і оскільки, залежністьФ від І буде також складною. За незмінної сили струму І магнітний потік Ф може змінюватися за рахунок зміни форми і розмірів контура.

Зі сказаного випливає, що індуктивність L залежить від геометрії контура (тобто його форми і розмірів) і від магнітних властивостей (від ) середовища, що оточує контур. Якщо контур жорсткий і поблизу від нього немає феромагнетиків, індуктивністьL буде постійною величиною, що дорівнює:

(2)

За одиницю індуктивності в СІ приймається індуктивність такого провідника, в якого при силі струму в ньому І = 1 А виникає магнітний потік Ф = 1 Вб. Цю одиницю називають генрі (Гн):

Обчислимо індуктивність соленоїда. Візьмемо соленоїд такої довжини, щоб його можна було практично вважати нескінченним. При протіканні через його витки струму І всередині соленоїда збуджується однорідне поле, магнітна індукція якого , де– число витків на одиницю довжини соленоїда. Потік через кожний виток буде, а повний магнітний потік, зчеплений із соленоїдом(– потокозчеплення), дорівнює:

, (3)

де – довжина соленоїда,S – площа його поперечного перерізу.

З іншого боку, для соленоїда з N витків:

. (4).

Порівнюючи (3) і (4), одержуємо для індуктивності дуже довгого соленоїда такий вираз:

, (5)

де об’єм соленоїда.

Отже індуктивність соленоїда пропорційна квадрату числа витків, що припадає на одиницю довжини соленоїда, об’єму соленоїда та магнітній проникності речовини, з якої виготовлено осердя.

При зміні сили струму в контурі виникає ЕРС самоіндукції Е_с, величина якої дорівнює:

(6)

Якщо не залежить від зміни струму (тобто феромагнетик відсутній), вираз дляЕ_с має вигляд:

. (7)

Під дією електрорушійної сили самоіндукції з'являється індукційний струм, що за законом Ленца протидіє зміні струму в колі – сповільнює його зростання чи зменшення. За формулою (7) ЕРС самоіндукції, а, отже, й індукційний струм, прямо пропорційні індуктивності контура. Таким чином, індуктивність контура є мірою його інертності стосовно зміни струму.

Таким чином, при зростанні електричного струму в контурі виникає ЕРС самоіндукції, що протидіє збільшенню струму. За законом Ома струм І в контурі з опором R та індуктивністю дорівнює:

, де Е та Е_с – відповідно ЕРС джерела струму та самоіндукції.

Оскільки то.

Робота, яка виконується джерелом струму, дорівнює:

(9)

Вираз називають власною енергією струмуІ в контурі з індуктивністю L. Ця енергія є не що інше, як енергія його магнітного поля. Можна показати, що власна енергія струму в довгому соленоїді пропорційна об’єму його магнітного поля, тобто магнітне поле має енергію, яка дорівнює власній енергії струму, що його породжує.

Повна енергія W_m магнітного поля дорівнює:

, (10)

де – енергія магнітного поля, що міститься в об’єміdV.

Отриманий результат дозволяє дати таке (енергетичне) означення індуктивності: індуктивність контура чисельно дорівнює подвоєній енергії магнітного поля, що створюється струмом одиничної сили, який тече поцьому контуру.

Для експериментального визначення індуктивності соленоїда необхідно виміряти сумарний потік магнітної індукції Ф, що пронизує витки соленоїда. Оскільки напруженість магнітного поля уздовж осі соленоїда не є величиною постійною, підрахунок сумарного магнітного потоку, що пронизує його витки, пов’язаний з певними труднощами. Розглянемо нескінченно малу ділянку соленоїда , на якій напруженість магнітного поля можна вважати постійною. Магнітний потік, що пронизуєвитків, розміщених на ділянці, дорівнює. Очевидно, що. Отже,.

Повний магнітний потік являє собою суму елементарних магнітних потоків , тобто:

(11)

де і – поперечний переріз соленоїда і число витків на одиницю його довжини відповідно.

Якщо залежність напруженості від координатиxсиметрична відносно центра соленоїда, то формулу (11) можна спростити:

. (12)

Формула (12) справедлива при припущенні, що напруженість магнітного поля в площині витка має одне і те ж значення.

Залежність напруженості від координати x визначена експериментально в лабораторній роботі № 34 і оформлена у вигляді таблиці і графіка. Тому інтеграл, що стоїть в правій частині (12), можна визначити, використавши метод чисельного інтегрування. Існує декілька способів чисельного інтегрування функцій, заданих таблично або графічно. Розглянемо один з найпростіших.

Нехай функція неперервна і диференційована в інтерваліі необхідно обчислити інтеграл. Відомо, щочисельно дорівнює площі під кривою на інтервалі . Для її визначення розіб'ємо весь інтервал нарівних частин (Рис. 1). Нехай, тоді. Очевидно, що сумарна площа під кривою, а отжедорівнює сумі площ , і т.д., тобто:

.

Ділянки, розділені інтервалами, можна розглядати як трапеції, площі яких дорівнюють:

,

де – значення функції на границях і- го інтервалу.

Отже,

,

,

......

.

Склавши всі значення площ, отримаємо загальну формулу, що дає наближене значення інтеграла:

(13)

Ця формула дає добре наближення при достатньо малих , тобто при великому числі точок поділу.

Формула (13) називається формулою трапецій, що пояснюється її геометричним змістом.

Для експериментального визначен-ня індуктивності соленоїда необхідно виміряти сумарний потік магнітної індукції, що пронизує витки соленоїда. Очевидно, що для таких вимірювань вимірювальна котушка повинна охоплювати весь соленоїд і мати довжину, яка дорівнює довжині соленоїда. Тому для вимірювання індуктивності соленоїда на його обмотку намотано додаткову котушку , що містить витків на одиницю довжини.

Повторюючи міркування, якими користувалися при виведенні формули (12), можна довести, що магнітний потік, який пронизує котушку :

. (14)

Якщо до котушки підключити балістичний гальванометр, то при замиканні або розмиканні ключа SA через його рамку пройде певна кількість електрики, яка дорівнює:

, (15)

де – опір кола котушки. Але , деС_g – балістична постійна гальванометра.

Отже,

(16)

Підставимо значення інтеграла, що стоїть в лівій частині формули (16) у формулу (15), отримаємо формулу для обчислення магнітного потоку соленоїда:

. (17)

Відповідно індуктивність соленоїда:

(18)