Приклади розв’язування задач

Задача 1.Від двох когерентних джерелS₁іS₂( = 0,8 мкм) промені падають на екран. На екрані спостерігається інтерференційна картина. Коли на шляху одного з променів перпендикулярно до нього помістили мильну плівку (n = 1,33), інтерференційна картина змінилась на протилежну. При якій найменшій товщині плівки це можливо?

Дано: =0,8 мкм n =1,33 –––––––––– dmіn–?

d M E l2 l1 S2

S₁

Розв'язання

Зміна інтерференційної картини на протилежну означає, що на тих ділянках екрану, де спостерігались інтерференційні максимуми стали спостерігатись інтерференційні мінімуми. Такий зсув інтерференційної картини можливий при зміні оптичної різниці ходу пучків світлових хвиль на непарне число половин довжин хвиль, тобто:

₂ – ₁ = (2k + 1)/2, (1)

де ₁ – оптична різниця ходу пучків світлових хвиль після внесен­ня плівки ₂ – оптична різниця ходу тих же пучків до внесення плівки; k = 0, 1, 2, 3, ...

Найменша товщина плівки d_mіn і, отже, найменша різниця ходу, яку вона вносить змінюючи інтерференційну картину на протилежну, відповідає k = 0. При цьому формула (1) набуде вигляду

₂ – ₁ = /2. (2)

Запишемо вирази для оптичних різниць ходу ₁ і ₂. З малюн­ка видно, що

₁ = l₁ – l₂ ,

₂ = [(l₁ – d_mіn) + nd_mіn] – l₂ = (l₁ – l₂ ) + d_mіn (n–1).

Підставивши співвідношення для ₁ і ₂ у формулу (2), отримаємо:

d_mіn(n–1) = або d_mіn = .

Обчислимо:

d_mіn = мкм = 1,21 мкм.

Задача 2. Знайти показник заломлення рідини, що заповнює простір між скляною пластинкою і плоскоопуклою лінзою, що лежить на ній, якщо при спостереженні у відбитому світлі ( = 0,6 мкм) радіус сьомого кільця

Дано:  R = 0,6 мкм r7 = 1,5 мм R = 1,5м ––––––––––– n B O1 A C –?

Н

O

ьютона r₇ дорівнює 1,5 мм. Радіус кривини лінзи R = 1,5 м. Показник заломлення рідини менший від показника заломлення скла.

Розв'язання

Місце дотику лінзи і скляної пластинки у від­битому світлі буде темним, оскільки проміжок в цій точці d <<  і промені відбиті від прилеглої до пластинки поверхні лінзи і від самої пластинки, мають різницю фаз  (при відбиванні від більш густого середовища (пластинки) фаза хвилі змінюється на  ).

Отже, перше кільце (k = 1) світле, друге – темне і т.д.

В задачі йдеться про світле кільце. Його порядковий номер зі спо­стереження світлих кілець – четвертий.

Припустимо, що його радіус відповідає АС (див. малюнок). Промені, відбиті від лінзи і пластинки в точках В і С, мають різницю ходу 2[ВС]. Згідно з умовою інтерференційного максимуму,

 = k. (1)

В даному випадку

 = 2[ВС]n + /2, (2)

оскільки при відбиванні в точці С фаза змінюється на  (хвиля затримується на /2).

З прямокутного трикутника ОВО знайдемо ([ВС] = [АО₁]):

(R – AO₁)² + [O₁B]² = R

R² – 2R [AO₁] + [AO₁]²+ [O B]² = R² або

[O B]² – 2R [AO₁] + [AO₁]² = 0.

Врахуємо, що [О₁В] = [АС] = r_k , а [АО₁]² – величина другого порядку малості і її значенням знехтуємо. Тому, враховуючи формули (1) і (2), одержимо:

або

звідки

. (3)

Обчислимо:

Задача 3. На тонкий скляний клин перпендикулярно до його гра­ні падає паралельний пучок променів з довжиною хвилі l = 600 нм. Відстань між двома сусідніми темними інтерференційними смугами у відбитому світлі b = 0,4 мм. Визначити кут  між поверхнями кли­ну. Показник заломлення скла клину n = 1,5.

Дано: 1 2 = 60010–9м b 1 2 C = 0,4 мм n k+1 F k А  = 1,5 – D В –––––––––––  – ?

Розв'язання

Промені 1 і 1', інтерферуючи, утворюють поблизу поверхні інтерференційні смуги, паралельні ребру клина. Нехай АС = b – відстань між двома сусідніми інтерференційними смугами. Оптичну різницю ходу променів 1 і 1', 2 і 2' можна визначити, використовуючи вирази для різниці ходу в плоскопаралельній пластинці. Для товщин d_k і d_k+1, що відповідають точкам А і С на малюнку, маємо:

₁ = 2d_k n cos і – /2 ,

₂ = 2d_k+1 n cos і – /2 . (1)

Оскільки кут падіння і = 0 , соs і = 1, то

₁= 2d_kn – /2 ; ₂ = 2d_k+1n – /2 . (2)

Для темних смуг (інтерференційний мінімум):

 = (2k + 1) /2 , (3)

де k = 1,2, ...

Тому з (2) і (3) одержимо

₁ = 2d_kn – /2 = (2k + 1)l/2 ; (4)

₂ = 2d_k+1n – /2 = [2(k+1)+1]l/2 . (5)

Віднявши від рівняння (5) рівняння (4), одержимо:

2n(d_k+1 – d_k ) = 

або

d_k+1 – d_k = CF = /(2n). (6)

З трикутника AFC

sіn    = .