Шпоры / шпоры / Шпорки1

1. Общие сведения о дискретных устройствах. Релейный элемент. Дискретное устройство. Дискретный автомат. Классификация дискретных устройств.

Простейшим элементом дискретного действия является реле или релейный элемент. Релейным элементом (РЭ) называется устройство, в котором при плавном или скачкообразном изменении входного сигнала выходной сигнал изменяется скачком. Любой релейный элемент состоит из реагирующего органа (РО) и исполнительного органа (ИО), которые выполняют различные функции. РО служит для восприятия входного сигнала, ИО – для формирования выходного сигнала. Названные органы могут быть или явно выражены, или объединены друг с другом. Примером четкого разделения органов служит электромагнитное реле, у которого обмотка является реагирующим органом, а контакты – исполнительными. Условимся, что высокому уровню входного сигнала будет соответствовать символ «1», а низкому – символ «0». При изменении состояния ИО меняется его проводимость и уровень выходного сигнала. Высокому значению выходного сигнала будет соответствовать символ «1», а низкому – «0». Совокупность взаимодействующих между собой релейных элементов образует дискретное (релейное) устройство ДУ (РУ), которое можно рассматривать как ориентированный (n, m)-полюсник с n входами и m выходами. В дискретном устройстве, как и в релейном элементе, можно выделить: a) реагирующую (управляющую) часть – приемные элементы, непосредственно реагирующие на поступающие извне воздействия; b) исполнительную (управляемую) часть – исполнительные элементы (цепи), создающие сигналы на выходах ДУ; c) промежуточную часть – элементы, зависящие как от входных сигналов, так и друг от друга и осуществляющие, как правило, запоминание поступающих сигналов и их последовательностей. Схематично дискретный автомат может быть изображен «черным ящиком» с n входами x₁, x₂, …, x_n и m выходами z₁, z₂, …, z_m. Входы x₁, x₂, …, x_n образуют множество (алфавит) входов (входных сигналов) дискретного автомата X = {x₁, x₂, …, x_n}, выходы z₁, z₂, …, z_m – множество (алфавит) выходов (выходных сигналов) автомата Z = {z₁, z₂, …, z_m}.В дискретных устройствах (автоматах) в качестве промежуточной части могут присутствовать специальные релейные элементы, которые способны сохранять свое состояние или выходной сигнал после того, как входной сигнал, вызвавший переход в это состояние, перестал действовать. Для вторичного изменения состояния элемента или возврата в исходное состояние требуется новое входное воздействие. Обычный же релейный элемент при снятии входного воздействия скачком возвращается в исходное состояние. Такие специальные релейные элементы называются элементами памяти (ЭП). Типичными представителями элементов памяти являются широко применяемые в дискретных устройствах триггеры различных типов.Классификация ДУ: 1) контактные и бесконтактные. 2) С памятью (послед. схемы) и без памяти (комбинационные).

2. Задание дискретных устройств алфавитами и состояниями. Такты. Автоматы Мили и Мура.

Для описания ДУ нужно задать 3 множества (X={x₁, x₂, …, x_n} –входной набор, Z={z₁, z₂, …, z_n} – выходной набор, А={а₁, а₂, …, a_n}) и 2 функции (1) Функция перехода: a(t+1)=f[a(t), x(t)]). 2) Функция выхода: z(t)=f[a(t), x(t)]). Такт – отрезок времени, в котором состояние автомата не меняется. Кроме того, на множестве состояний автомата фиксируют одно из внутренних состояний a₀ в качестве начального. Переменную t в записи часто опускают, применяя упрощенную форму записи: Автоматы, функция выхода которых задается в таком виде, называются автоматами Мили. Выходной сигнал автомата Мили определяется состоянием автомата и значением входного сигнала в тот же момент времени. На практике часто встречаются автоматы, выходной сигнал которых в момент времени t однозначно определяется состоянием автомата в этот же момент времени и не зависит от значения входного сигнала. Такие автоматы называются автоматами Мура. Для автомата Мура Как следует из приведенных формул, выходной сигнал z(t) автомата Мура в момент времени t зависит от входного сигнала x(t – 1) в момент времени t – 1, так как

3. Понятие о математическом описании дискретных устройств. Таблица состояний. Аналитическая и символическая формы записи условий функционирования комбинационных ДУ.

Для того чтобы задать (описать) дискретное устройство (автомат), необходимо математически описать все его элементы, т.е. определить алфавит внутренних состояний, входной и выходной алфавиты, функции переходов и выходов, а также выделить начальное состояние, в котором автомат находится в начальный момент времени. Заметим, что для математического описания дискретного устройства без памяти (комбинационного автомата) достаточно задать множества (алфавиты) входных и выходных наборов, а также однозначное соответствие между входными и выходными наборами (функцию выходов) Наиболее употребительными являются следующие формы задания автоматов: с помощью таблиц – табличный способ; с помощью графов – графический способ; с помощью символов – аналитический способ. Все указанные способы эквиваленты друг другу. Если ДА задан каким-либо одним способом, то не составляет труда перейти к любому другому способу.

Аналитический способ. Перейдем к аналитическому способу задания ДУ от задания дискретного устройства без памяти (комбинационного автомата) с помощью таблицы состояний. Таблица состояний строится для задания однозначного соответствия между комбинациями (наборами) входных сигналов и комбинациями (наборами) выходных сигналов ДУ без памяти. Сущность описания ДУ без памяти (комбинационного автомата) с помощью таблицы состояний состоит в следующем.

Если имеется n входных сигналов, каждый из которых может принимать одно из двух значений – 0 или 1, то число возможных комбинаций (наборов) входных сигналов N может быть определено по формуле N = 2ⁿ. Таблица, имеющая N строк и n + m столбцов, в которой для каждой строки указаны наборы значений входных сигналов и наборы значений выходных сигналов, полностью описывает функционирование комбинационного автомата. Рассмотрим пример таблицы состояний (табл.1.3). Каждому входному сигналу a, b, c присваивается определенный разряд двоичного счисления: 2⁰, 2¹, 2² и т.д. (эти цифры указываются в таблице над символами входных сигналов), т.е. устанавливается база. Порядок присвоения разрядов – справа налево (правый разряд – самый младший): c → 2⁰ = 1; b → 2¹ = 2; a → 2² = 4. Эти двоичные разряды называются весами входных сигналов. Тогда каждая строка таблицы состояний (каждая комбинация значений входных сигналов) характеризуется некоторым десятичным числом, называемым весовым состоянием (ВС), представляющим собой сумму весов входных сигналов, значение которых в данном наборе равно 1. Весовые состояния проставляются в специальном правом столбце таблицы.

4. Табличный и графический способы задания (описания) ДУ на примере автоматов Мили и Мура.

Табличный способ. ДА могут задаваться (описываться) таблицами различным образом. Рассмотрим самый общий случай табличного способа на примере автоматов Мили и Мура. Обычно функции переходов и выходов автомата Мили задаются таблицей переходов-выходов. В клетку таблицы переходов-выходов, находящуюся на пересечении столбца с буквой a_i и строки с буквой x_j записывается в числителе состояние автомата в которое он переходит из состояния a_i при подаче на вход сигнала x_j, а в знаменателе – выходной сигнал который формируется при таком переходе. Автомат, заданный, определен на множестве входных сигналов X = (x₁, x₂), множестве внутренних состояний A = (a₀, a₁, a₂, a₃), из которых a₀ – начальное состояние, и на множестве выходных сигналов Z = (z₁, z₂, z₃). По таблицам переходов-выходов можно найти выходную реакцию автомата на любую комбинацию входных сигналов. Функцию переходов и выходов автомата Мура и можно задать отмеченной таблицей переходов, которая строится так же, как и таблица переходов-выходов автомата Мили для переходов, но символу каждого внутреннего состояния a_i ставится в соответствие строго определенное значение выходного символа z_k. Отмеченная таблица переходов отражает то свойство автомата Мура, что выходной сигнал зависит только от состояния автомата в этот момент времени независимо от пути, по которому он пришел в это состояние. В практике встречаются и другие виды таблиц, описывающих функционирование данного конкретного ДА (таблицы состояний, таблицы включений, кодированные таблицы переходов и т.д.), однако все они являются частными случаями рассмотренных таблиц переходов-выходов.

Графический способ. Этот способ задания дискретных автоматов основан на использовании направленных графов. Граф произвольного дискретного автомата представляет собой комбинацию вершин и ребер, изображаемых на рисунках кружочками и соединяющими их стрелками соответственно. Вершины отождествляются с состоянием автомата, а ребра – с входными сигналами. Если входной сигнал x_i вызывает переход автомата из состояния a_j в состояние a_k, то на графе автомата этому сигналу соответствует обозначенная буквой x_i стрелка, соединяющая вершину, соответствующую состоянию a_j, с вершиной, соответствующей состоянию a_k. При этом, разумеется, не исключается случай, когда вершины a_j и a_k совпадают. Для задания функции выходов автомата Мили ребра графа (стрелки) обозначаются не только входными, но и соответствующими им выходными сигналами. Если, например, обозначенная входным сигналом x_i стрелка соединяет вершину a_j с вершиной a_k, то ей приписывается выходной сигнал и она обозначается на графе x_i/z_m. Это означает, что если на автомат, находящийся в состоянии a_j, будет подан входной сигнал x_i, то на выходе появится выходной сигнал z_m и автомат перейдет в состояние a_k. В случае автомата Мура, когда выходные сигналы зависят только от внутреннего состояния, в котором находится автомат, и не зависят от входных сигналов, принято обозначать выходными сигналами не ребра (стрелки), а вершины графа. Таким образом, на графе автомата Мура каждая вершина имеет два обозначения: одно, показывающее состояние автомата, и другое – выходной сигнал, который отмечает данное состояние автомата независимо от того, каким путем (по какому ребру) пришел автомат в это состояние. Граф автомата, благодаря введенным на нем обозначениям вершин и ребер, полностью задает автомат при условии, что каким-то образом, например, индексом a₀, отмечена вершина графа, соответствующая начальному состоянию этого автомата.

5. Логические функции и способы их задания. Наборы переменных. Основные операции алгебры логики.

Логической, или двоичной, переменной называется величина, которая может принимать только два значения: 0 или 1. Логические переменные обозначаются буквами латинского алфавита. Логической функцией (функцией алгебры логики, переключательной функцией) называется функция, которая, как и ее аргументы (логические переменные), может принимать лишь одно из двух возможных значений: 0 или 1. Логические функции выражают зависимость выходных переменных от входных. В релейно-контактных устройствах значение 1 соответствует состоянию ИО и РО «включено», а значение 0 – состоянию «выключено». Логические функции в зависимости от числа входных переменных делятся на функции одной переменной, двух переменных и многих переменных. Различные комбинации значений входных переменных в логических функциях называются наборами. Логические функции могут быть заданы: словесным описанием; таблицами соответствия (истинности); весовыми состояниями (номерами) рабочих, запрещенных и условных наборов (символическая форма); формулами (аналитическими выражениями). При словесном описании логической функции должны быть указаны характерные ее свойства и перечислены совокупности рабочих, запрещенных и условных наборов. Основными операциями алгебры логики являются: логическое сложение (дизъюнкция); логическое умножение (конъюнкция); логическое отрицание (инверсия).Логическое сложение (дизъюнкция) обозначается символом V («+», ИЛИ). Логическая сумма обозначает сложное суждение, состоящее из простых суждений, объединяемых союзом ИЛИ. Логическая сумма равна 1, если хотя бы одно из слагаемых равно 1.Логическое умножение (конъюнкция) обозначается символом ^ («·», &, И). Логическое произведение обозначает сложное суждение, состоящее из простых суждений, объединяемых союзом И. Логическое произведение равно 1, если все сомножители равны 1. Логическое отрицание (инверсия) обозначается символом «–». Логическое отрицание представляет собой суждение, противоположное данному, и читается с частицей НЕ: (НЕ x).

6. Таблицы соответствия (истинности), полные и сокращенные, для полностью и не полностью определенных логических функций.

Для задания логической функции таблицей соответствия строится специальная таблица, число строк которой равно числу различных наборов переменных (2ⁿ), а число столбцов равно n + 1. Первые n столбцов обозначаются символами переменных, от которых зависит функция, а последний n + 1 столбец – символом функции. В каждую строку такой таблицы записывается набор значений переменных и соответствующее ему значение функции. Для полностью определенных функций в столбце значений стоят только 1 или 0. Для не полностью определенных функций в строках, соответствующих условным наборам, будем проставлять знак ~. С целью уменьшения объема таблиц соответствия в связи с тем, что число строк 2ⁿ очень быстро растет с увеличением числа переменных n, применяются сокращенные таблицы. Для полностью определенных функций сокращенные таблицы включают в себя только рабочие или только запрещенные наборы. С целью сокращения таблицы соответствия не полностью определенной функции можно опустить либо единичные, либо нулевые, либо условные наборы. Например, логическую функцию, заданную таблицей соответствия, можно представить одной из сокращенных таблиц соответствия. При задании функции сокращенной таблицей соответствия целесообразно выбирать вариант таблицы, содержащей минимальное количество строк. Более компактным табличным способом задания логических функций является использование двухвходовых таблиц соответствия. При построении такой таблицы количество переменных, от которых зависит функция, разбивается на две примерно равные части (группы). Для образования групп переменных определяются всевозможные наборы их значений. Столбцы и строки таблицы в произвольном порядке обозначаются наборами переменных первой и второй групп. Каждая клетка такой таблицы соответствует одному набору значений переменных, и в ней представлено значение функции на этом наборе. Общее количество клеток такой таблицы соответствует числу всевозможных наборов значений переменных.