разовавшегося Р; *-количество Н, образовавшегося из О; 19- общее количество образовавшегося Н.
Расчет проводится от тех вершин, для которых количества известны, к другим вершинам. В начале известны количества А в вершинах 1 è 2 (5 и 1 моль). Отсюда количество А в вершине 3 равно 4 молям.
Дальнейший расчет ведем от вершины 12. Поскольку из С образовалось 2 моля Е, расход С составил также 2 моля (вершина 11). Вместе с 2 молями оставшегося С (вершина 10) получаем в вершине* количество образовавшегося С, составляющее 4 моля. Теперь переходим из вершины à в вершину 13; при расходовании 2 молей С, наряду с веществом Е, образуется 2 моля Н.
Следующий этап-расчет количеств А и В, пошедших на образование 4 молей С. По стехиометрии на это затрачено 2 моля А (вершина 4) и 4 моля В (вершина 8). Следовательно, количество В, оставшегося к моменту *, равно 6-4=2 молям (вершина 7).
Переходим к расчету образования и превращения О. Из количеств в вершинах 3 è 4 следует, что на образование О затрачено 2 моля А (вершина 5). По стехиометрии из них образовалось *моля О - вершина 14. Далее расчет приходится вести от вершины 18. Поскольку общее количество образовавшегося Н равно 5 молям (вершина 19), а из С образовалось 2 моля Н (вершина 13), то в вершине 18 имеем 3 моля образовавшегося Н. На эту реакцию израсходовано 3 моля О (вершина 16). Одновременно по стехиометрии образовалось 6 молей Е (вершина 17). Наконец, сопоставив вершины 14 è 16, найдем, что из 4 молей образовавшегося О не вступил в реакцию и остался 1 моль (вершина 15). Окончательно: св=2 моль/л; со=1 моль/л; с,у=6 моль/л. Применение линейной алгебры для решения стехиометрических задач. Для многостадийных реакций нахождение инвариантов удобно производить методами линейной алгебры.
Условно рассмотрим выражение (9.2) как систему из ï уравнений с ò неизвестными À!. Пусть Ь1, 62, ..., ига-какое-либо решение этой системы, т. е. при подстановке в систему (9.2) вместо Да чисел Ь, она обращается в тождество. Тогда сумма
6*1 + Ü2à2 + ' ' + Üòåò (9 7)
яьляется инвариантом данной системы реакций.
Уравнения-системы (9.2) однородны (правые части их равны нулю). При этом всегда го<г*, где га-ранг матрицы системы (9.2). Такая система имеет бесконечное число решений. Поэтому для любой реакции можно определить бесконечное число нива- риантов. Но только часть из них, в количестве, равном та-г*, линейно независимы. Любой другой инвариант может быть получен как линейная комбинация выбранных (га-г*) инвариан- ) тов. соответствующих фундаментальной системе решений * уравнений (9.2). *
1
Напомним, что линейной комбинацией величин или выражений д',, õ÷, õü называется выражение *1.у1+).2д·2+...+*.х·й, где *а, *-произвольные числа. Если в некоторой системе выражений ни одно из них не может быть представлено как линейная комбинация остальных, система называется линейно независимой. Частный случай линейной комбинации-сумма (*1=*2=...=*д= =1). Подробно об однородных системах, линейно независимых решениях, ранге и фундаментальных системах решений рассказано в книге [17*. Мы лишь поясним сказанное примерами. Реакции А-»-В соответствует уравнение
À - Â == Î
для которого го=2, г*=1. Фундаментальная система состоит из 2-1=1 решения-например, 61=1, 62=1, которому соответствует инвариант *д+*в; в данном простейшем случае линейная комбинация получается единственным образом-умножением фундаментального решения на произвольное число. Действительно, выражения 2*а+2*в; 750*а+750§в; 0.112за*0.112зв и т. д. также, разумеется, будут инвариантами этой реакции.
Для уравнения, соответствующего реакции (9.3), го=3, г*=1. Здесь фундаментальная система состоит из двух решений. Если в качестве одного из них принять: 61=1, 62==0, йз=1, а в качестве второго 61=0, &2=2, &з=1, то получим инварианты, определяемые балансами (9.4) и (9.5). Любая линейная комбинация обоих решений также явится решением, и ей будет соответствовать инвариант реакции (9.3). Так, вычтя второе решение из первого, получим 6 1 = + 1 , 62=-2, 6з=0; соответствующий инвариант §à-2§â дан уравнением (9.6).
Пример 9.1. Инварианты сложной реакции.
Рассмотрим процесс нитрования бензола. При этом пренебрежем образованием о- и я-динитробензолов и несимметричных тринитробензолов. Тогда схема реакции запишется так:
* Сен, + ГОГОз -* Сдаю, + *О 1 С8НаМО2+Н1*Оз -+ л<-СаН4(МОа)2+Н20 * С,Н4(НО,)2+НМОз -* ñèìì-ÑÌ?!0*)à+Í*0 \ *Î, -* 2Ã*0,+Í*0+1/,0, * 21*0* * Êà04
ОБОЗНАЧИМ ДЛЯ КРАТКОСТИ СеНе*А); СеНэ**ОаЯЛа) ÑåÍ<(ÊÎà)à-À«} СвНз(МО2)з=А4; Н20==А5; НГ**Оз*Ае; »02=А7; О*Аа; ?*20<=А9. Однородная система уравнений может быть записана в виде:
\ -À1+À2+À8-À8=0 1 -À2 + Äç + Àâ -Äà " î { -Àç+Ë4+À5-À9==0 (9.8» 1 Àá-2À,+2À7+1/çÀ,=î * * -2À,+À8=&
* ß'*