Шпоры / шпоры тау / 2006дистанционники / Lekcii / Lekcija №33

2. Гармоническая линеаризация НЭ.

При гармонической линеаризации нелинейные элементы заменяются их линейными моделями, полученными в результате изучения реакций на гармонические входные сигналы.

На вход нелинейного элемента подаётся гармонический сигнал ε(t)=A·sinωt , выходная функция z(t)=F(A·sinωt)- периодический (не гармонический) сигнал.

Ограничимся рассмотрением безынерционных НЭ с петлевыми нечётносимметричными статическими характеристиками (простейшие НЭ).

Разложим z(t) в ряд Фурье

где при усреднении по фазе и замене

- постоянная составляющая выходной функции,

- амплитуда синфазной составляющей z(t),

- амплитуда квадратурной составляющей z(t).

Выходной сигнал НЭ может быть представлен своей первой гармоникой, так как статическая характеристика НЭ нечетная () и выполняется гипотеза фильтра:

,

где , .

Сделав замену получим

, где - оператор дифференцирования по времени,

- коэффициенты гармонической линеаризации НЭ.

Преобразования по Лапласу выходной функции и входного воздействия имеют вид

,

, где р – оператор Лапласа.

По аналогии с линейным звеном свойства нелинейного элемента можно представить передаточным коэффициентом, называемым эквивалентным комплексным передаточным коэффициентом НЭ (эквивалентной передаточной функцией).

Определим эквивалентную передаточную функцию:

,

преобразование Фурье - эквивалентная частотная характеристика, которая зависит от амплитуды входного сигнала.

Таким образом, нелинейный элемент может быть заменен линейным; этот прием получил название гармонической линеаризации нелинейностей.

Эквивалентная структурная схема НЭ:

Если статическая характеристика НЭ однозначная (не петлевая), то .

Наряду с рассмотренными встречаются такие нелинейные элементы, у которых выходной сигнал является функцией входного воздействия и его производной, т.е. z=F(Asinψ, Aωcosψ). В таких случаях первая гармоника периодических колебаний на выходе зависит не только от амплитуды, но и от частоты синусоидальных колебаний на входе.

Приведём операторную запись во временной области, используя эквивалентный оператор нелинейного элемента:

z=[q(A,ω) + q´(A,ω)··p] ·ε , где p≡.

Такие элементы называются непростейшими. Коэффициенты гармонической линеаризации оказываются зависимыми не только от амплитуды, но и от частоты и в случае нескольких простейших нелинейных элементов, между которыми располагаются инерционные звенья.

3. Определение условия автоколебаний в системе с одним простейшим НЭ.

Пусть два необходимых условия применимости метода выполнены:

1. На входе НЭ амплитуды высших гармоник малы (гипотеза фильтра);

2. На условия баланса амплитуд и фаз мало влияют высшие гармоники и неучтённые параметры.

Тогда сигнал на выходе линейной части в форме преобразований Фурье:

.

Если рассматривается свободное движение и в замкнутой системе возникли автоколебания, то

, где =0,

отсюда , то есть условие возникновения автоколебаний

- уравнение Л.С.Гольдфарба. (1)

В результате преобразований:

, k=0,1,2,3…

получим - баланс амплитуд; (2)

4. Анализ работы нелинейной системы по методу Л.С.Гольдфарба.

По этому методу условие (1) записывается в виде

Строятся на комплексной плоскости два годографа: АФХ линейной части и инверсная характеристика НЭ . Каждый из годографов зависит только от одного из параметров. Точка пересечения годографов отвечает границе устойчивости. Частота колебаний определяется по меткам на АФХ , а амплитуда по меткам на инверсной характеристике.

Пример:

Устойчивость автоколебаний в системе определяется по следующему правилу: если, перемещаясь по характеристике в сторону возрастания амплитуд, выходим из контура, охваченного АФХ линейной части, то точке пересечения соответствуют устойчивые автоколебания, иначе неустойчивые.

Метод приближенный, поэтому отсутствие решения уравнения гармонического баланса означает, что используемый метод не позволяет выделить периодические движения у исследуемой системы.

После нахождения частоты и амплитуды периодического движения следует проверить выполнение гипотезы фильтра:

при k>1.

5. Анализ работы нелинейных систем по методу А.А.Вавилова.

Условие баланса амплитуд и фаз, записанные в логарифмической форме:

позволяют просто и наглядно графически определить частоту и амплитуду автоколебаний в системе, а также их устойчивость.

Пример:

Условия гармонического баланса могут выполняться лишь в зоне частот, где >0 и =.

При ( - частота предполагаемых автоколебаний) = при двух значениях А: и .Режим автоколебаний ( , ) – неустойчивый, режим (, ) – устойчивый.

При исследовании устойчивости периодических решений по ЛЧХ следует пользоваться критерием Найквиста. Если под действием возмущения амплитуда колебаний режима (, ) увеличилась на величину , то, приняв в качестве частот среза , определяем, что система устойчива, иначе неустойчива автоколебания рассматриваемого режима устойчивые.

При определённых условиях влияние высших гармоник на входе нелинейных элементов и малых параметров, обусловленных погрешностями идентификации нелинейных элементов и линейной части и малыми вариациями параметров системы в процессе эксплуатации, может приводить к существенному изменению амплитуды и частоты периодических решений.

Наличие звеньев с существенными нелинейностями в САУ, не предусмотренных структурой, может вызвать ухудшение качества управления, а в ряде случаев делает управление невозможным. Это проявляется в росте погрешности управления, увеличении времени , колебательности переходного процесса, потере системой устойчивости в большом, возможности возникновения автоколебательных режимов.

Способы уменьшения влияния нелинейных элементов:

1. Улучшение конструкции функциональных элементов;

2. Изменение линейной части (изменение параметров и структуры линейной части; введение дополнительных линейных обратных связей-охват нелинейных элементов линейной обратной связью);

3. Компенсация влияния нелинейностей (применение специальных компенсирующих нелинейных элементов, обеспечивающих линеаризацию системы; введение дополнительных сигналов управления по отклонению);

4. Вибрационная линеаризация нелинейностей.