6.2. Решение транспортной задачи методом Данцига-Вулфа

Применим метод декомпозиции к Т-задаче:

(6.33)

(6.34)

(6.35)

Х_ij0. (6.36)

Использование этого метода целесообразно, если m<<n или m>>n. Оба варианта решаются идентично. Они отличаются только распределением условий между основной и вспомогательной задачами.

Рассмотрим случай, когда m<<n. Тогдо основная задача формируется по условиям пунктов отправления. Следовательно, множество D₀ описывается ограничениями(6.34), аD₁ – условиями (6.35) и (6.36).

Очевидно, что множество D₁ представляет собой выпуклый многогранник (ограниченность вытекает из условий). Поэтому, как и в общем случае, любую точку в D₁ можно представить в виде линейной комбинации его вершин:

(6.37)

Z_v=1; (6.38)

Z_v 0, (6.39)

где X^v_ij – координатыv-ой вершины.

Подставим (6.37) в (6.33) и (6.34):

.

Введем обозначения:

(6.40)

(6.41)

Тогда основная задача запишется в виде

(6.42)

6.43)

(6.44)

Z_v 0. (6.45)

Для сбалансированной задачи условие (10) выполняется автоматически. Действительно, суммируя (6.43) и используя подстановки (6.41) и (6.35), получаем

в левой части

в правой части Таким образом,

откуда для сбалансированной задачи следует

Поэтому при решении основной задачи условие (6.44) из модели исключается.

Для определения статуса текущего базисного решения основной задачи необходимы относительные оценки. Как и в предыдущем разделе, нахождение оценок связано с решением вспомогательной задачи. Для построения вспомогательной задачи сделаем ряд преобразований:

_v= ^TP_v - _v =

Так как основная задача решается на минимум, то оптимальному статусу соответствуют неположительные оценки. Поэтому нужно искать максимальную оценку. Если она окажется не больше нуля, то все оценки неположительны и признак оптимальности выполнился. В противном случае необходимо продолжить решение основной задачи.

Значит, задача ставится так:

Вместо поиска максимума на дискретном множестве вершин перейдем к эквивалентной задаче поиска на всем непрерывном множествеD₁:

(6.46)

(6.47)

X_ij  0. (6.48)

Эта задача и является вспомогательной. Очевидно, что в оптимальном решении этой задачи Теперь остается выяснить, как найти его.

Вспомогательная задача включает одну группу условий (6.47). Раньше было показано, что каждая переменная входит в такие условия только один раз. Поэтому равенства (6.47) оказываются независимыми и, следовательно, вспомогательная задача распадается на nпростейших независимых задач, каждая из которых имеет всего одно условие:

(6.49)

(6.50)

X_ij  0. (6.51)

Критерий вспомогательной задачи равен сумме критериев этих задач:

(6.52)

Оптимальное решение задачи (6.49)-(6.51), как линейной, находится на границе. При этом только одна переменная не равна нулю (базис имеет размерность 1). Поэтому ее решение состоит в определении максимального коэффициета в критерии (6.49). Пусть максимум достигается на индексе i*, то есть

Тогда имеем следующее решение задачи (6.49)-(6.51):

X^v_i*j =b_j, X^v_ij=0,i, ii*, (6.53)

и максимальная оценка определится как

.

Если L^*_всп0, то положительных оценок нет и текущее решение основной задачи будет оптимальным.

При L^*_всп> 0 начинается новая итерация:

1. пo(6.41) и (6.40) находимР_v и _v;

2. вычисляем элементы направляющего столбца как коэффициенты разложения вектора Р_v по текущему базису:

_v=P^-1_BP_v;

3. проводим симплекс-преобразование основной задачи, в результате которого получаем новое решение и новую обратную матрицу;

4. вычисляем ^T=^T_BP^-1_B;

5. решаем вспомогательную задачу: вычисляем разности , находим оптимальные решенияnзадач (6.49)-(6.51) и максимальную оценку основной задачи.

Из рассмотренной вычислительной схемы следует, что эффективность метода тем выше, чем сильнее неравенство m<<n или m>>n.

Пример.

Решим транспортную задачу с двумя пунктами отправления и четырьмя пунктами назначения:

bi ai	8	4	10	8
10	2	5	1	4
20	1	3	4	2

Числа в ячейках таблицы - затраты на перевозки C_ij.

Исходная модель задачи:

L = C_ijX_ij min

(6.54)

(6.55)

Координирующая задача формируется по условиям (6.54):

Z_v0.

Для построения начального решения вводим искусственные переменные:

и модифицируем критерий

Составим начальную таблицу координирующей задачи:

v	Базисные перемен.	P0	Pn+1	Pn+2
M	Zn+1	10	1	0
M	Zn+2	20	0	1
Т			M	M

В последней строке значения _i получены умножением первого столбца на столбцыP_n+i.

Решение вспомогательной задачи представляем в таблице:

bj	8	4	10	8
1-C1j	M-2	M-5	M-1	M-4
2-C2j	M-1	M-3	M-4	M-2
v=1	X121=8	X122=4	X113=10	X124=8

Значения переменных в последней строке таблицы получены согласно (6.53). Например, при j=1 максимальная разность равнаM-1, поэтому X¹₂₁=b₁= 8. Клетки с максимальными разностями выделены цветом фона. Вычисляем значение критерия по формуле (6.46):

[(M-1)*8 + (M-3)*4 + (M-1)*10 + (M-2)*8] > 0.

Так как признак оптимальности не выполняется, переходим к итерациям. Находим ₁ согласно (6.40):

₁=1*8 + 3*4 + 1*10 + 2*8 = 46.

Вычисляем компоненты вектора Р₁:

Р₁₁= X¹₁₃=10;

P₂₁= X¹₂₁+ X¹₂₂+ X¹₂₄= 8+4+8 = 20.

Следовательно, . Находим его разложение по начальному базису:

.

Добавляем столбец P₁ с элементами ₁в начальную таблицу в качестве направляющего столбца:

v	Базисные перемен.	P0	Pn+1	Pn+2	P1	
M	Zn+1	10	1	0	10	1
M	Zn+2	20	0	1	20	1
Т			M	M

В

v	Баз.	P0	Pn+1	Pn+2
46	Z1	1	0,1	0
M	Zn+2	0	-2	1
Т			-2M+4,6	M

зяв 1-ю строку за направляющую и выполнив симплекс-преобразование, получаем новое решение основной задачи:

Для выяснения статуса этого решения снова находим максимальную оценку основной задачи, решая вспомогательную задачу:

О

bj	8	4	10	8
1-C1j	2,6-2M	-0,4-2M	3,6-2M	0,6-2M
2-C2j	M-1	M-3	M-4	M-2
v=2	X221=8	X222=4	X223=10	X224=8

чевидно, чтоL²_всп>0, то есть решение основной задачи не является оптимальным.

Вычисляем коэффициент критерия при Z₂:

₂=1*8 + 3*4 + 4*10 + 2*8 = 8+12+40+16 = 76.

Определяем компоненты вектора Р₂:

Р₁₂=0, P₂₂= 8+4+10+8 = 30

Имея , находим элементы направляющего столбца

и

v	Баз.	P0	Pn+1	Pn+2	P2	
46	Z1	1	0,1	0	0	-
M	Zn+2	0	-2	1	30	0
Т			-2M+4,6	M

добавляем его к последней таблице основной задачи:

В

v	Баз	P0	Pn+1	Pn+2
46	Z1	1	0,1	0
76	Z2	0	-1/15	1/30
Т			-7/15	38/15

результате симплекс-преобразования получаем:

С

bj	8	4	10	8
1-C1j	-37/15	-82/15	-22/15	-67/15
2-C2j	23/15	-7/15	-22/15	8/15
v=3	X321=8	X322=4	X313=10	X324=8

оответствующая вспомогательная задача:

Критерий этой заачи L³_всп=(23/15)*8–(7/15)*4–(22/15)*10+(8/15)*8=0. Следовательно, получено оптимальное решение основной задачи:Z^*₁=1, Z^*₂=0, L^* = 46_*1 + 76_*0 = 46.

Находим значения исходных переменных по формуле (6.37), которая для нашей задачи принимает вид:

Таким образом, получено следующее оптимальное решение исходной задачи: X^*₂₁ = 8, X^*₂₂ = 4, X^*₁₃ = 10, X^*₂₄ = 8.

Проверка: L = C_ijX_ij=1*8 + 3*4 + 1*10 + 2*8=46. Это значение совпадает с вычисленным через переменные Z_i.