4.4. Метод последовательных приближений (тематика курсовой работы).

Метод последовательных приближений позволяет определять формы и частоты собственных колебаний с любой степенью точности. Особенно эффективен этот метод при определении низшей частоты колебаний. Метод состоит в следующем.

1).Задают приближенно форму колебания (нулевое приближение).

2).Определяют силы инерции при амплитудных отклонениях системы:

,

(значение частоты может быть произвольным).

3).Методами строительной механики определяют перемещения , вызванные силами.

4).Значения представляют собой первое приближение к форме собственных колебаний.

5).Находят первое приближение для частоты собственных колебаний, например, по формуле Релея:

. (40)

Далее за исходную принимается форма первого приближения и проводится повторный расчет, в результате которого определяется второе приближение, и т. д.

Частоты при последующих приближениях определяются по формуле

. (41)

Свидетельство того, что процесс последовательных приближений сошелся, является пропорциональность смещений при r-ном и (r+1)-м приближениях, т.е. независимость отношения от номера массыi.

Заметим, что, если условие соблюдается, формула (41) для расчета частоты может быть упрощена:

, (42)

причем отношение берется в одной из точек системы.

Формулой (41) следует пользоваться при расчете частоты, когда форма существенно отличается от формы(например, при первом приближении), формулой (42) – при последующих этапах приближения.

Докажем, что метод последовательных приближений сходится к первой форме собственных колебаний.

В матричной форме процесс последовательных приближений можно представить в виде:

, (43)

где ,- столбцы перемещенийr- ного и (r+1) – го приближения; δ – матрица податливостей; m – диагональная матрица масс.

При этом, если =- собственная форма колебаний, то

. (44)

Разложим форму нулевого приближения по собственным формам:

(45)

Подставим это разложение в уравнение (43) для формы первого приближения:

. (46)

Воспользовавшись тождествами (44) , приведем уравнение (46) к виду

. (47)

Сравнивая формулы (45) и (47), можно установить, что так как , то формаближе к первой собственной форме, чем.

При каждом следующем приближении доля высших форм колебания продолжает уменьшаться в отношениях и таким образом последовательность столбцовбыстро сходится к первой форме собственных колебаний.

Соответственно и частота, подсчитываемая по формуле (41), быстро приближается к первой собственной частоте.

Очевидно, что, если при выборе формы нулевого приближения обеспечить ее ортогональность к первой форме собственных колебаний, то коэффициент c₁ в разложении (46) будет равен нулю, и расчет будет сходиться ко второй собственной форме.

При определении второй формы и частоты собственных колебаний методом последовательных приближений поступают следующим образом.

1. Путем последовательных приближений определяют с достаточной точностью первую форму колебаний .

2. Задают нулевое приближение для второй формы в виде

, (48)

где - подходящая форма; а – коэффициент, определяемый из условия ортогональности

,

откуда

. (49)

Дальнейший расчет не отличаются от вычислений при определении первой формы колебаний.

В результате этих вычислений находят форму первого приближения и соответствующую частоту колебаний. Следует отметить, что вследствие неточности расчета формаможет оказаться не ортогональной к первой собственной форме. Поэтому, прежде чем переходить к расчету второго приближения, необходимо ортогонализироватьи в качестве исходной для второго приближения принять форму

,

где

.

Принципиально метод последовательных приближений пригоден для вычисления третьей и высших форм и частот собственных колебаний. Нужно лишь каждый раз задаваться формой колебаний, ортогональной ко всем предыдущим собственным формам. Однако, для частот выше второй этот метод практически применяется редко вследствие сложности вычислений и медленной сходимости.

Пример. Расчет частоты колебаний вала с сосредоточенными массами.

На рис. 7а представлен эскиз вала с двумя дисками массой 1300 и 2000 кг (диски на эскизе не изображены). Определим низшую частоту собственных колебаний методом последовательных приближений. Распределенную массу вала заменим четырьмя сосредоточенными массами, две из которых (218 и 295 кг) разместим в местах насадки дисков (в точках 2 и 3), а две – в сечениях x = 385 мм и x = 2490 мм. Таким образом, придем к четырехмассовой системе, представленной на рис. 7б. Затем произвольно зададим форму колебаний вала (см. рис. 7в). Абсолютная величина прогибов не играет роли, поэтому масштаб кривой может быть выбран произвольным.

Принимая любую величину частоты колебаний, например, p^{(0) =} 100 сек^-1, с учетом деформации изгиба, замеряя прогибы в точках приложения масс на рис. 7в, определяем силы инерции каждой массы:

Дифференциальное уравнение изогнутой оси вала имеет вид:

, (50)

где E – модуль упругости (для стали Е = 2· 10¹¹ МПа); I_z(x) – осевой момент инерции поперечного сечения вала; u(x) – линейное перемещение центров тяжести поперечных сечений; M (x) – изгибающий момент в сечении.

Интегрирование уравнения (50) производится с учетом граничных условий. В результате решения дифференциального уравнения изогнутой оси вала, нагруженного рассчитанными силами, определяются прогибы сечений вала, к которым приложены силы.

Прогибы под массами оказались равными : u₁⁽¹⁾ = 1,09 мм, u₂⁽¹⁾ = 2,16 мм, u₃⁽¹⁾ = 2,45 мм, u₄⁽¹⁾ = 1,25 мм. По формуле (40) определяем приближенное значение частоты собственных колебаний:

=

.

Прогибы первого приближения являются исходными для второго. По этим прогибам при частоте p⁽¹⁾ найдены силы инерции, равные соответственно 430, 6600, 11300, и 790 кг. Затем определена форма второго приближения и соответствующая этой форме частота колебаний

сек ^-1.

Расхождение между вторым и первым приближениями лежит в пределах точности расчета. Последующие приближения рассчитываются в той же последовательности. Метод последовательных приближений позволяет рассчитывать частоту колебаний вала с любой степенью точности.

Рис. 7. Расчетная схема вала:

а) – эскиз вала;

б) – схема дискретизации вала с четырьмя сосредоточенными массами; в) - произвольная форма колебаний вала с массами.

Контрольные вопросы:

1.Какие применяются подходы дискретизации систем с распределенными параметрами?

2.Какие приближенные формулы применяются для расчета низшей собственной частоты колебаний механической системы?

3.На чем основан вывод формулы Релея для расчета собственной частоты колебаний?

4.В чем заключается метод Граммеля и каковы его возможности?

5.Расскажите о применении формулы Донкерлея к расчету собственной частоты колебаний системы?

6.В чем суть метода Релея – Ритца?

7.Как применить метод последовательных приближений к расчету собственной частоты колебаний системы?

«Расчет частоты колебаний вала с сосредоточенными массами»

Задание по курсовой работе по курсу «Аналитическая динамика и теория механических колебаний»

Цель работы: Изучить приближенный метод расчета частоты колебаний вала с сосредоточенными массами – метод последовательных приближений; вычислить первую частоту колебаний вала.

Дополнительная литература: Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1972, стр. 207 – 211.

Задание: N – номер варианта задания.

Расчет массы сосредоточенных грузов:

Расчетная схема:

m₁ m₂ m₃ m₄

L

Список литературы

1. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. Учеб. пособие для втузов. - М.: Наука, 1991. -255 с.

2. Бидерман В.А. Теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1980. 408 с.

3. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Наука, 1966. Т. 1. 632 с.

4. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. 564 с.

5. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: Пер. с анг. М.: Мир, 1979. 392 с.

6. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНе: Пер. с англ. М.: Мир, 1977. 584 с.

7. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов / Под ред. Г. С. Писаренко. Киев: Вища школа, 1979. 696 с.

П р и л о ж е н и е

Электрический метод измерения частоты

Частота колебаний измеряется:

1) с помощью электронного частотомера;

2) методом фигур Лиссажу;

3) методом стробоскопического освещения.

Не рассматривая, как измеряется частота при использовании электронного частотомера, поскольку всегда можно ознакомиться с документацией данного типа, рассмотрим два последних метода.

Фигуры Лиссажу

Пусть на точку действуют в плоскости две взаимно перпендикулярные силы по закону:

x = a₁ sin(₁t+f₁),

y = a₂ sin(₂t+f₂).

В таком случае точка будет описывать в данной плоскости кривые, называемые фигурами Лиссажу. Если из уравнений движения исключить время и принять ₁ = ₂, то получается уравнение эллипса:

,

имеющего центр в начале координат, эксцентриситет и наклон осей симметрии которого зависят от разности фаз θ =f₁f_2. При условии, что, фигуры Лиссажу имеют более сложную форму. На рис. 8 фигуры Лиссажу соответствуютa₁= a₂, θ = 0 и следующим соотношениям частот:а;б;в.

а б в

Рис. 8. Фигуры Лиссажу.

Порядок проведения измерений. Поскольку фигуры Лиссажу наблюдают на экране электронного осциллографа, необходимо знать подготовку его для данного рода работы.

Включение для наблюдения колебательных электрических процессов производится согласно прилагаемой инструкции.

Для наблюдения фигур Лиссажу нужно помнить, что необходимо отключить внутренний генератор горизонтальной развертки луча переключателем диапазонов частоты развертки, поставив его в крайне левое положение с надписью “Выкл”.

Для регулировки вертикальных и горизонтальных размеров изображения имеются рукоятки “Усилие”, расположенные внизу с правой и левой стороны лицевой панели прибора.

Собирается схема согласно рис. 9. Образец 1 в форме балки прямоугольного сечения укрепляется в зажиме 2 станины 3. Свободный конец образца должен находиться над катушкой электромагнита 4, являющейся источником переменной силы.

Система возбуждения представлена катушкой электромагнита 4, питаемого переменным током от усилителя мощности 7, на вход которого поступает сигнал от генератора электрических колебаний 8. Для обнаружения кратных резонансов используется метод фигур Лиссажу. С этой целью сигнал с электротензометра 5 поступает через усилитель 10 на вход вертикальной развертки электронного осциллографа 9. Одновременно с этим подается сигнал с генератора 8 на горизонтальную развертку осциллографа. В случае совпадения частот или кратности их на экране осциллографа будут наблюдаться картины, подобные представленным на рис. 8. Амплитудно-частотные

Рис. 9. Схема для измерения амплитудно – частотных характеристик.

характеристики получаются путем изменения частоты силы возбуждения при двух значениях переменного тока с помощью генератора 8.

Схема включается только с разрешения преподавателя, и аппаратуру необходимо прогреть 5-10 минут.

Изменяя частоту генератора 8 от 20 до 1000 Гц при неизменной частоте колебаний вибрационного стола, можно увидеть фигуры Лиссажу. После того, как на экране осциллографа установится одна из фигур, подобных рис. 8, искомая частота колебаний определяется по шкале генератора 8.

Измеряемые величины записываются в таблицу. На основании табличных данных строятся графики амплитудно-частотных характеристик. Изменение формы колебаний наблюдается с помощью строботахометра. Следует зарисовать формы колебаний и с помощью линейки измерить расстояние от заделки до узла второй формы колебаний.