4. Приближенные методы расчета колебаний

Применение простых приближенных формул (например, формулы Релея) позволяет успешно рассчитывать колебания сложных систем. В этом случае задают форму колебаний системы, сводя ее таким образом к системе с одной степенью свободы. При удачной аппроксимации получают достаточно точное значение низшей собственной частоты системы, однако другие ее динамические характеристики остаются не раскрытыми.

Схематизация реальной системы, как имеющей несколько степеней свободы, достигается в методе Релея – Ритца, при использовании которого форма колебаний системы задается в виде выражения, включающего несколько параметров.

Другим приемом, позволяющим свести реальную систему к системе с конечным числом степеней свободы, является метод прямой дискретизации. Чем больше число элементов, на которые разбита система при применении этого метода, тем ближе расчетная схема к исходной системе. Вместе с тем, если элементы выбраны однотипными, при большом их числе реализовать расчет колебаний возможно с использованием ЭВМ, применяя, например, метод начальных параметров в форме матриц перехода или метод прогонки [2].

В том случае, когда сложную колебательную систему можно разделить на несколько подсистем, динамические характеристики которых определяются сравнительно просто, полезными являются методы динамических податливостей и жесткостей. Эти методы представляют собой обобщение на динамические задачи метода сил и метода перемещений строительной механики.

В методе последовательных приближений задача об определении собственных частот и форм колебаний сводится к многократному расчету деформаций системы под действием известной статической нагрузки.

Выбор того или иного метода для динамического расчета сложной механической системы зависит от структуры этой системы и задачи расчета.

4.1 Дискретизация систем с распределенными параметрами

В большинстве случаев расчет систем с сосредоточенными параметрами оказывается более простым, чем расчет систем с распределенной массой. Поэтому при составлении расчетной схемы конструкции ее распределенную массу часто заменяют некоторым количеством сосредоточенных масс. При этом возникает вопрос о точности, которая при этом достигается, и наиболее рациональных приемах замены распределенной массы сосредоточенными массами.

Рассмотрим балку постоянного сечения длиной l и распределенной массой m₀l. Не нарушая симметрии, можно представить ее в виде: 1) невесомой балки с сосредоточенной массой m₀l в центре; 2) невесомой балки с двумя грузами на концах, массой m₀l/2 (типа гантели). Анализируя влияние той или иной схематизации на результат расчета, нетрудно установить, что в первом случае инерция поворота элемента относительно его центра не учитывается, во втором случае эта инерция переоценивается. Поэтому при схематизации балки участками, массы которых сосредоточены в их центрах, как правило, получают завышенные значения собственных частот, а при схематизации гантелями – заниженные. Впрочем, с увеличением числа участков разница между различными схематизациями исчезает.

Чем мельче дискретные элементы, на которые разбита упругая система (и чем больше их число), тем ближе решение задачи для дискретной системы к решению задачи для заданной системы. Однако увеличение числа элементов ведет к усложнению решения. Вместе с тем уточнение, получающееся при очень мелких элементах, является кажущимся. В самом деле, исходные уравнения для системы с распределенной массой являются приближенными и теряют силу при деформациях, локализованных на коротких участках. Так, уравнения продольных и изгибных колебаний стержня справедливы только до тех пор, пока длина полуволны колебания хотя бы в несколько раз превышает размеры поперечного сечения. Поэтому дробить стержень при дискретизации на элементы более короткие, чем размеры поперечного сечения, конечно бессмысленно.