Дискретная математика методичка / DISKR 2003
.pdf
u^ITYWAQ WSE \TI SOOBRAVENIQ I POLU^AEM MATRICU A DLQ DANNOGO GRAFA G , SM. RIS. 37.
zADA^A 9
dLQ GRAFA G = O3 + K3 NAJTI CIKLOMATI^ESKOE I HROMATI^ESKOE ^ISLA.
rE[ENIE
gRAFY O3 , K3 I G = O3 + K3 IZOBRAVENY NA RIS. 38.
b |
|
QQb |
|
||
O3b b |
|
b |
|
K3b |
|
|
||
|
|
rIS. 38 |
|
x1 P |
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
P |
|
Q |
|
|
|
x2 |
P S b |
|
PQPb |
y2 |
|
|
|
PPS |
|
|
|
|
|
|
bPS |
|
|
|
|
b |
|
xO3 3 + Kb y33 |
b |
|
|
||
nAPOMINAEM, ^TO CIKLOMATI^ESKOE ^ISLO GRAFA WY^ISLQETSQ PO FORMULE (G) = m;n+k . w NA[EM SLU^AE, GRAF IMEET KOLI^ESTWO REBER m = 12 , KOLI^ESTWO WER[IN n = 6 I KOLI^ESTWO KOMPONENT SWQZNOSTI k = 1 . sLEDOWATELXNO, (G) = 12 ; 6 + 1 = 7 .
hROMATI^ESKIM ^ISLOM GRAFA G , OBOZNA^AETSQ (G) , NAZYWAETSQ NAIMENX[EE ^ISLO KRASOK, KOTORYMI MOVNO RASKRASITX EGO WER[INY TAK, ^TOBY SMEVNYE WER[INY BYLI RASKRA[ENY W RAZNYE CWETA. w NA[EM SLU^AE, DLQ WER[IN TREBU@TSQ TRI RAZNYE KRASKI, T.K. ONI WSE POPARNO SMEVNYE, A WER[INY
MOVNO POKRASITX ^ETWERTOJ KRASKOJ. tAKIM OBRAZOM, (G) = 4 . oTWET. (G) = 7 , (G) = 4 .
71
kontrolxnye zadaniq
nIVE PRIWODQTSQ 8 KONTROLXNYH ZADA^ PO KURSU DISKRETNOJ MATEMATIKI. kAVDAQ ZADA^A PREDLAGAETSQ W 20 WARIANTAH. nOMER SWOEGO WARIANTA STUDENTY ZAO^NOJ FORMY OBU^ENIQ MOGUT OPREDELITX SAMOSTOQTELXNO. dLQ \TOGO NADO NAJTI OSTATOK OT DELENIQ NOMERA ZA^ETNOJ KNIVKI ILI STUDEN^ESKOGO BILETA NA ^ISLO 20. nAPRIMER, ESLI NOMER ZA^ETNOJ KNIVKI ZAKAN^IWAETSQ NA 37, TO WYPOLNQETSQ WARIANT 17, A, ESLI \TOT NOMER ZAKAN^IWAETSQ NA 40, TO WYPOLNQETSQ WARIANT 0.
150. nAJDITE MNOGO^LEN vEGALKINA DLQ FUNKCII f(a; b; c; d) , ZADANNOJ STOLBCOM ZNA^ENIJ W STANDARTNOJ TABLICE ISTINNOSTI
0) f = (0; 1; 4; 5; 8 ; 11; 13), |
1) f = (0;2; 4 |
; 8; 10;14), |
||||
2) f = (1; 3 ; 9; 11; 12), |
3) f = (2 ; 4; 6;8 ; 13), |
|||||
4) f = (1 |
; 6;9; 12 ; 14), |
5) f = (0;2; 4; 5; 8; 10; 12 ; 14), |
||||
6) f = (0 |
; 2;4 ; 7;10; 14), |
7) f = (0;2; 5; 8 ; 11; 13), |
||||
8) f = (0; 1; 4; 5; 10; 12 ; 14), |
9) f = (0;2; 6 |
; 8; 10;14), |
||||
10) |
f = (1;3; 5 ; 9; 12 ; 14), |
11) |
f = (2 ; 7; 9 ; 11; 13), |
|||
12) |
f = (2;4 ; 6; 9 ; 14), |
13) |
f = (2; 5 ; 10; 12 ; |
14), |
||
14) f = (0 |
; 3; 8;9; 11; 12), |
15) f = (0; 1; 3 |
;5; 8; 10 |
;12; 14), |
||
16) |
f = (0 |
; 2; 5 ; 10; 14), |
17) |
f = (0; 4;6 |
; 8; 12; 14), |
|
18) |
f = (3 |
; 8; 11; 12), |
19) |
f = (0 ; 4; 7; 11; 12;15). |
||
151. dLQ BULEWOJ FUNKCII g(a; b; c) SOSTAWXTE TABLICU ISTINNOSTI, NAJDITE S POMO]X@ \TOJ TABLICY MINIMALXNU@ dnf I POSTROJTE KONTAKTNU@ SHEMU NA OSNOWE \TOJ MINIMALXNOJ dnf
0) g = ((a ! b) c) b, |
1) g = |
((a b) |
! |
|
|
|
|
) b, |
||||||||||||
c |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2) g = ((b |
a |
) _ |
c |
) |
c, |
3) g = |
(a b)c |
a |
, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||||||
4) g = ( |
a |
(b _ c) abc) _ |
c ! a |
, |
5) g = a (b ! c) b, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) g = (a b) b ! c, |
|||||||||||||||||
8) g = (a c) (b ! |
a |
), |
|
||||||||||||||
10) |
g = (ab c) ! (b |
|
), |
||||||||||||||
c |
|||||||||||||||||
12) |
g = (a b |
|
) ( |
|
|
|
! b), |
||||||||||
c |
a |
||||||||||||||||
14) |
g = (a c) (bc ! |
|
|
|
), |
||||||||||||
|
ac |
||||||||||||||||
|
|
a (b |
|
|
|
||||||||||||
16) |
g = |
! c) b, |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
18) |
g = ab ! c (c |
a |
), |
||||||||||||||
7) g = (ab (b ! c)) ! ac,
9) g = (bc ca) ! (b _ c) ! a, 11) g = (a ! abc) ! (ab bc), 13) g = (a bc) (b ! ac),
15) g = a ! (b c) bc, 17) g = (ac bc) (a ! b), 19) g = b (ac ! (b a)).
152. dOKAVITE SLEDU@]IE RAWENSTWA:
0)(A4B) n (A [ C) = (B \ C) n A ;
1)(A [ C) n (A4B) = (A n B) [ ((B \ C) n A) ;
2)(A4B) [ (C n A) = (A \ B) [ A [ (B n C) ;
3)(B n A)4(A [ C) = (B4C) n A ;
4)(A n C) [ (A4B) = (A n B) [ ((B [ C) n A) ;
5)(A4B) n (A \ C) = ((A \ B) n C) [ (B n A) ;
6)(A [ C) n (A4B) = ((A \ B) n C) [ A [ B ;
7)(A4B) \ (B n C) = A [ B [ C ;
8)(A n B)4(A \ C) = A \ (B4C) ;
9)(C n B) [ (A4C) = (A \ C) [ C [ (A n B) ;
10)(A4B) n (A \ C) = (A n B) [ ((B \ C) n A) ;
11)(A \ C) n (A4B) = (A \ B) n C ;
12)(A4B) \ (B n C) = A n (B [ C) ;
13)(B n A)4(A \ C) = A [ (B4C) ;
14)A4(B n (A4C)) = (A n B) [ (B n C) ;
15)(A4B) n (B [ C) = A \ B \ C ;
16)(A n C) \ (A4B) = (A \ C) n B ;
17)(A4B) [ (B n C) = A [ B [ (B n (C n A)) ;
18)(A n B)4(A [ C) = A n (B4C) ;
19)C4(B n (A4C)) = (C n B) [ (B n A) .
73
153. dANY BINARNYE OTNO[ENIQ R1 A P I R2 |
|
B 1P , GDE |
||||||||||||
|
f |
|
g |
|
f |
|
g |
|
f |
g |
|
|
|
2 |
A = |
|
a; b; c |
|
, B = |
|
x; y; z |
|
, P = |
|
p; q; r; t |
. nAJDITE |
R1 |
|
R; , ESLI |
0) R1 = f(a; p); (a; r); (b; q); (b; t); (c; r);(c; t)g , R2 = f(x; p); (y; p); (y; q); (z; q); (z; r); (z; t)g ;
1) R1 = f(a; p); (a; q); (a; r); (a; t);(b; r); (c; t)g , R2 = f(x; p); (y; p); (y; q); (y; t); (z; q); (z; t)g ;
2) R1 = f(a; p); (b; q); (b; r); (b; t); (c; r); (c; t)g , R2 = f(x; p); (x; q); (y; q); (y; r); (z; q); (z; r)g ;
3) R1 = f(a; p);(a; q);(b; p); (b; q); (c; r); (c; t)g ,
R2 = f(x; q);(x; r); (y; q); (y; r); (y; t); (z; t)g ;
4) R1 = f(a; p); (a; q); (a; r); (a; t);(b; r); (c; r)g , R2 = f(x; p); (x; q); (y; p); (y; r); (z; q);(z; r)g ;
5) R1 = f(a; p); (a; q); (a; r); (b; p); (c; r); (c; t)g , R2 = f(x; p); (x; q); (y; q); (y; r); (z; p);(z; r)g ;
6) R1 = f(a; p); (a; r); (b; r); (b; t); (c; r);(c; t)g , R2 = f(x; r);(y; q); (y; r); (y; t); (z; r); (z; t)g ;
7) R1 = f(a; p); (a; q); (b; q); (c; q); (c; r); (c; t)g , R2 = f(x; p); (x; q); (y; q); (y; r); (z; q); (z; r)g ;
8) R1 = f(a; p); (a; q); (b; q); (b; r); (c; q); (c; t)g , R2 = f(x; r);(y; p); (y; q); (y; r); (y; t); (z; r)g ;
9) R1 = f(a; p); (b; p); (b; q); (b; r); (c; q); (c; r)g , R2 = f(x; p); (x; q); (x; r); (y; q); (y; r); (z; t)g ;
10) R1 = f(a; p);(a; q);(b; q);(b; t); (c; p); (c; t)g , R2 = f(x; p); (x; q); (y; q); (y; r); (y; t); (z; p)g ;
11) R1 = f(a; p);(a; q);(a; r); (b; q);(c; q); (c; r)g , R2 = f(x; p); (x; r); (y; q); (y; r); (z; q); (z; t)g ;
12) R1 = f(a; p);(a; q);(b; q);(b; r);(c; r);(c; t)g , R2 = f(x; p); (x; r); (y; q); (y; r); (y; t); (z; r)g ;
13) R1 = f(a; p);(a; q);(a; r); (b; q);(c; q); (c; r)g ,
R2 = f(x; q);(x; r); (y; q); (y; r); (z; p); (z; t)g ;
74
14)R1 = f(a; p);(a; r);(b; q);(b; r);(c; r);(c; t)g , R2 = f(x; r);(y; q); (y; r); (y; t); (z; r); (z; t)g ;
15)R1 = f(a; p);(a; q);(a; r); (b; r);(b; t); (c; t)g , R2 = f(x; p); (x; t); (y; q); (y; r); (z; q); (z; r)g ;
16)R1 = f(a; p);(a; q);(b; p); (b; q); (c; q); (c; t)g , R2 = f(x; r);(y; p); (y; q); (y; r); (y; t); (z; r)g ;
17)R1 = f(a; p);(a; q);(a; r); (b; t); (c; q); (c; r)g , R2 = f(x; p); (x; q); (y; q); (y; r); (z; q); (z; t)g ;
18)R1 = f(a; p);(b; p); (b; q); (b; r); (b; t); (c; t)g , R2 = f(x; p); (x; q); (y; r); (z; q); (z; r); (z; t)g ;
19)R1 = f(a; q); (b; p);(b; q);(b; t); (c; r); (c; t)g , R2 = f(x; p); (y; q); (z; p); (z; q); (z; r); (z; t)g .
154.wY^ISLITE ZNA^ENIE WYRAVENIQ
0) |
2P3 + A42 ; 2C53; |
1) |
P5 ; 9A(3)2 ; 6C42; |
||
2) |
6P2 + A53 ; 3C(4)2 ; |
3) |
P (3; 0; 2) + A52 ; 2C64; |
||
4) |
P (2; 2; 1) + 2A43 ; 3C(3)5 ; |
5) |
P4 + A(2)4 ; C(5)3 ; |
|
|
6) |
P (3; 1; 2) + A(2)3 ; 6C52; |
7) |
2P (2; 1; 1) + A(3)4 |
; 5C(4)3 ; |
|
8) |
P2 ; A53 + 9C42; |
9) |
2P3 + A52 ; 2C(4)2 ; |
||
10) |
P4 ; A(3)2 ; C64; |
11) |
P5 ; A(3)4 ; C(3)5 ; |
|
|
12) |
P(3; 0; 2) |
; A43 + C52; |
13) |
P(2; 2; 1) + A42 ; C(5)3 ; |
|
14) |
P(3; 1; 2) |
+ A(2)4 ; 7C53; |
15) |
2P (2; 1; 1) + A(2)3 |
; C(4)3 ; |
16) |
P6 ; 7A64 ; 3C42; |
17) |
P6 ; A(5)4 ; C64; |
|
|
18) |
P(3; 0; 3) |
; 6A53 + C(5)3 ; |
19) |
2P (2; 0; 3) ; A(5)3 |
+ 3C(7)2 : |
155. rE[ITE UKAZANNYE REKURRENTNOSTI
0)a0 = 1 , b0 = 2 , an+1 = 3an + 2bn , bn+1 = an + 2bn ;
1)a0 = 5 , a1 = ;1 , an+2 = 2an+1 + 8an ; 9 ;
2)a0 = 4 , b0 = ;1 , an+1 = ;2an + 3bn , bn+1 = 2an ; bn ;
3)a0 = 5 , a1 = 0 , an+2 = an+1 + 12an ; 24 ;
75
4)a0 = 5 , b0 = 0 , an+1 = 2an ; 2bn , bn+1 = ;2an ; bn ;
5)a0 = 2 , a1 = ;2 , an+2 = 4an+1 + 5an + 24 ;
6)a0 = 3 , b0 = ;4 , an+1 = an + 2bn , bn+1 = 5an ; 2bn ;
7)a0 = 4 , a1 = 0 , an+2 = ;an+1 + 12an + 10 ;
8)a0 = 6 , b0 = 3 , an+1 = 3an ; 4bn , bn+1 = an ; 2bn ;
9)a0 = 6 , a1 = 16 , an+2 = 6an+1 ; 8an ; 6 ;
10)a0 = 0 , b0 = 3 , an+1 = an + 2bn , bn+1 = 4an ; bn ;
11)a0 = 2 , a1 = 6 , an+2 = 6an+1 ; 9an + 12 ;
12)a0 = 1 , b0 = ;1 , an+1 = 5an ; 3bn , bn+1 = 3an ; bn ;
13)a0 = 0 , a1 = 6 , an+2 = 8an+1 ; 16an + 18 ;
14)a0 = 1 , b0 = ;1 , an+1 = ;3an + bn , bn+1 = ;an ; bn ;
15)a0 = ;2 , a1 = ;4 , an+2 = 10an+1 ; 25an + 16 ;
16)a0 = ;1 , b0 = 1 , an+1 = an + 4bn , bn+1 = ;an + 5bn ;
17)a0 = ;1 , a1 = ;18 , an+2 + 4an+1 + 4an + 18 = 0 ;
18)a0 = 1 , b0 = 2 , an+1 = ;5an ; 2bn , bn+1 = 2an ; bn ;
19)a0 = ;4 , a1 = ;4 , an+2 + 6an+1 + 9an + 16 = 0 .
156.nAJDITE MATRICU SMEVNOSTI DLQ GRAFA G(X; ;) , ESLI MNOVESTWO WER[IN X = fx1; x2; x3; x4g , A NABOR REBER ; UKAZAN NIVE:
0); = ((x1; x2)?3; (x1; x3); (x1; x4)?2; (x2; x3)?2; (x3; x4); (x3; x3));
1); = ((x1; x2)?2; (x1; x3); (x1; x4)?3; (x2; x3); (x3; x4)?2; (x1; x1));
2); = ((x1; x2); (x1; x3); (x1; x4)?2; (x2; x3)?2; (x3; x4)?3; (x4; x4));
3); = ((x1; x2)?2; (x1; x3); (x1; x4); (x2; x3)?3; (x3; x4)?2; (x4; x4));
4); = ((x1; x2)?3; (x1; x3); (x1; x4)?2; (x2; x3); (x3; x4)?2; (x3; x3));
5); = ((x1; x2); (x1; x4)?3; (x2; x4); (x2; x3)?2; (x3; x4)?2; (x1; x1));
6); = ((x1; x2)?2; (x1; x4)?2; (x2; x3); (x2; x4); (x3; x4)?3; (x4; x4));
7); = ((x1; x2); (x1; x3); (x1; x4)?2; (x2; x3)?3; (x3; x4)?2; (x4; x4));
8); = ((x1; x2)?3; (x1; x4)?2; (x2; x3); (x2; x4)?2; (x3; x4); (x3; x3));
9); = ((x1; x2); (x1; x3)?2; (x1; x4)?3; (x2; x3); (x3; x4)?2; (x3; x3));
10); = ((x1; x2); (x1; x4); (x2; x3)?2; (x2; x4)?2; (x3; x4)?3; (x3; x3));
11); = ((x1; x2); (x1; x4); (x2; x3)?3; (x2; x4)?2; (x3; x4)?2; (x4; x4));
12); = ((x1; x2)?3; (x1; x4)?2; (x2; x3); (x2; x4); (x3; x4)?2; (x3; x3));
76
13); = ((x1; x2)?2; (x1; x4)?3; (x2; x3)?2; (x2; x4); (x3; x4); (x4; x4));
14); = ((x1; x2)?2; (x1; x4); (x2; x3)?2; (x2; x4); (x3; x4)?3; (x3; x3));
15); = ((x1; x2); (x1; x4)?2; (x2; x3)?3; (x2; x4); (x3; x4)?2; (x4; x4));
16); = ((x1; x2) ? 3; (x1; x3); (x1; x4); (x2; x3); (x3; x4) ? 2; (x4; x4));
17); = ((x1; x2) ? 2; (x1; x4) ? 3; (x2; x3); (x2; x4); (x3; x4); (x4; x4));
18); = ((x1; x2); (x1; x3); (x1; x4); (x2; x3) ? 2; (x3; x4) ? 3; (x3; x3));
19); = ((x1; x2) ? 2; (x1; x4) ? 3; (x2; x3) ? 3; (x3; x4); (x4; x4)):
157. pOSTROJTE GRAF O2 + Gi ILI K2 + Gi , GDE GRAFY O2 , K2 I
Gi |
IZOBRAVENY NA RIS. 39, I NAJDITE CIKLOMATI^ESKOE I HROMATI- |
||||||||
^ESKOE ^ISLO POLU^IW[EGOSQ GRAFA: |
|
|
|
||||||
0) O2 + G1 , |
1) |
K2 + G1 , |
2) O2 + G6 , |
3) |
K2 + G6 , |
||||
4) O2 + G2 , |
5) |
K2 + G2 , |
6) O2 + G7 , |
7) |
K2 + G7 , |
||||
8) |
O2 + G3 , |
9) |
K2 |
+ G3 , |
10) O2 + G8 , |
11) |
K2 + G8 , |
||
12) |
O2 + G4 , |
13) |
K2 |
+ G4 , |
14) |
O2 |
+ G9 , |
15) |
K2 + G9 , |
16) |
O2 + G5 , |
17) |
K2 |
+ G5 , |
18) |
O2 |
+ G10 , |
19) |
K2 + G10 . |
b |
b |
b |
b |
|
|
b |
|
b |
|
b |
|
|
|
||||||
G1b |
b |
G2b |
b |
|
|
b |
|
|
|
G3b |
|
|
G4b |
||||||
b |
b |
|
b |
b |
|
b |
|
b |
|
b |
|
|
|||||||
G7b |
b |
|
b |
G9b |
|
b |
|
G10b |
|
G8b |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
rIS. 39 |
||||
bb
bG5b
bb
bO2
b b b b G6b b
b b b
K2
77
otwety k upravneniqm
4. A) |
|
(y |
_ z) , B) x _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
yz , W) x(yz _ xt) . 5. A) x = |
1 , |
|
y = 0 , z = 1 ; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
b . |
||||||||||||
B) x = 1 , |
y = 0 , z = 0 ; W) x = y = 1 . |
6. a _ b = |
a |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
_ b . 9. A) nAPRIMER, a = 0 , |
|
||||||||||||
7. ab = |
a |
b = 1 ; B) a = 0 , b I c | |
|||||||||||||||
L@BYE. 11. a = 0 , b I c | L@BYE. 14. fUNKCII f0 I f15 NE |
|||||||||||||||||
IME@T SU]ESTWENNYH PEREMENNYH, f3 |
I f12 IME@T SU]ESTWENNU@ |
||||||||||||||||
PEREMENNU@ a , f5 I f10 IME@T SU]ESTWENNU@ PEREMENNU@ b , OSTALXNYE FUNKCII IME@T DWE SU]ESTWENNYE PEREMENNYE a I b:
15. A) |
|
y 1 , B) |
xy x z 1 , |
|
|
|
|
|
|
xz |
yt |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
W) xyzt |
yzt xzt xyt xyz xy |
16. A) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xy x |
y |
1 , B) xyz x |
y |
z , W) |
|
xyz |
xy xz |
yz y z |
1 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17. |
A) |
xyz xy |
yz |
y |
1 , B) xy |
x 1 , W) xyz xz yz z |
1 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
G) abcd abc abd acd bcd ab ac ad |
bc cd bd a |
b c d . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
18. |
|
A) xyz |
xy |
xz |
x z , |
B) 1, |
|
W) a b c d 1 , |
G) |
abcde |
1 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19. A) |
|
|
|
|
|
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_ |
|
, B) |
|
|
|
|
_ |
|
|
|
_ |
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_ |
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||||||||||||||||||||||
|
x y |
z |
|
xz |
xy |
yz ILI xz _ yx |
zy , W) ad _ bc _ cd . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20. sHEMA SOOTWETSTUET pf xy _ z(x _ y) . |
|
21. A) |
x |
|
z |
_ y , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B) |
|
_ |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
23. uPRO]ENNYE |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
c |
ab _ abd . |
|
22. A) x _ z ; B) xy |
xy _ z . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
SHEMY OTWE^A@T pf x _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
24. uPRO]ENNYE SHEMY |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
yz I x _ y _ z . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
OTWE^A@T pf x |
_ |
y |
_ z I y( |
x |
|
_ |
z |
) . |
|
|
25. A) |
|
A = 1 , B = 1 ; B) A = 0 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B = 0 ; W) A = 1 , |
|
B |
= 0 . |
|
|
26. A) A = 1 , |
B = 0 ; B) A = 0 , B = 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
27. A) |
|
y 2 [;1; 1] ; B) |
|
y 2 R ; W) y 2 |
(;1; |
;1] [ [1; 1) ; G) |
? ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
D) y 2 |
|
(;1; ;1) [ [0; p2] . |
28. A) |
y 2 (;1; ;1] , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B) y 2 |
[;2; 0] |
[ |
(1; 2] , W) |
y |
2 |
(;1; |
4) |
[ [5; |
1) . |
|
29. |
A = 0 , B = 1 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
p _ q ; W) pq , p _ q ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
30. |
|
A |
= 1 , |
|
B |
= 0 . |
|
|
31. A) p _ q , |
p |
q ; B) pq , |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
G) p q , |
p |
q . |
|
34. A) |
P (M) = f?;fag; fbg; fa; bgg , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B) P (M) = f?; fag; fbg; fcg;fa; bg; fa; cg;fb; cg; Mg . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
36. |
|
x |
2 A |
B = 9a |
2 A |
9b 2 B (x = (a; b)) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = A |
|
B = |
8 |
a |
2 |
|
A |
8 |
b |
2 |
B (x = (a; b)) . 37. 1) A = C; B = D ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
6 |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2) A B = |
? |
I |
C D = |
|
. |
39. |
) DR |
= f1; 2; 3g , VR = f2; 3; 4g , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R = f(1; 1); (2; 1); (2; 2); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (4; 1);(4; 2); (4; 3); (4; 4)g , 78
R;1 = f(2; 1); (3; 1); (3; 2); (4; 1);(4; 2); (4; 3)g |
|
; B) DR = [0; 2] , |
|
|||||||||
VR |
1= [;1; 1] , R = f(x; y) j x |
2 [0; 3]; y 2 [;1;2 |
2]; x2 + 4y2 > 4g , |
|||||||||
R; |
= f(x; y) j x 2 [;1; 2]; y 2 [0; 3];4x + y |
|
6 4g . |
|
|
|
|
|||||
40. A |
) DR = f1; 2; 3; 4g , VR |
= f12; 16g , |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R = f(3; 16); (5; 12); (5; 16)g , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
R;1 = f(12; 1); (12; 2); (12; 3); (12; 4); (16; 1); (16; 2); (16; 4)g ; |
|
) , |
||||||||||
B |
) DR = P (M) , VR = P (M) , R = f(fxg; |
? |
); (fyg; |
? |
); (M; |
? |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(M; fxg); (M; fyg); (fxg; fyg); (fyg; fxg)g , R;1 = f(fxg;?); (fyg; ?); |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
(M; ?); (M; fxg); (M; fyg); (?; ?); (fxg; fxg); (fyg; fyg); (M; M)g . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
43. |
A) R1 R2 |
= f(a; p); |
(a; q)g , B) R1 |
R2 = f(x; z)jz > 2x2g . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
44. |
A) WSE TO^KI PLOSKOSTI R |
R , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
B) R1 |
R2 = f(x; z)j0 6 x 6 1; x |
|
6 z 6 1g . |
45. A) NAPRIMER, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
R = f(a; a); (b; b); (c; c); (a; b); (b; c); (b; a); (c; b)g |
, B) NAPRIMER, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
R = f(a; a)g . |
46. A) NAPRIMER, |
|
R = f(a; a); (b; b); (c; c); (a; b)g , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
B) NAPRIMER, |
R = f(a; a); (b; b); (a; b);(b; a)g . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
47. |
A) Ka = fa; bg; Kc = fcg , B) K0 = f3kg , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
K1 = f3k + 1g , K2 = f3k + 2g , GDE k 2 |
Z , |
W) Kx = x + Z , |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
[0; 1) . 48. nET, |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
50. nAPRIMER, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x |
|
|
(0; 0) |
|
= R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
R1 = f(a; a); (b; b); (c; c); (a; b)g |
, R2 = f(a; a); (b; b); (c; c); (b; c)g . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
53. nAPRIMER, (m; n) 6 (m0; n0) |
|
ESLI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
(m + n) < (m0 + n0) |
_ ((m + n) = (m0 + n0) |
^ m 6 m0) . |
54. A) NE |
||||||||||||||||||||||||||||||||
IN_EKTIWNA I NE S@R_EKTIWNA, B) S@R_EKTIWNA, NO NE IN_EKTIWNA, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
W) BIEKTIWNA. |
55. A) NAPRIMER, |
f(n) = [ |
n+1 |
] ; B) NAPRIMER, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(n) = 2n . 56. A) p(x) = x2 + 1 , q(x) = (x + 1)2 ; B) p(n) = n , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
q(n) = jn ; 1j |
+ 1 ; W) p(m; n) = (m + n; m + n) , q(n) = 2n . |
|
57. 144. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
363 . 60. 5040 SPOSOBOW. |
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||
58. |
40; 2561680. 59. |
|
|
61. 120. |
62. 30. |
||||||||||||||||||||||||||||||
63. |
2(n |
1)! . |
64. 648. |
|
|
65. 13776. 66. 64, 17760. |
67. k |
|
SPOSOBOW. |
||||||||||||||||||||||||||
68. |
2n . |
;69. |
|
nm ; Am |
IN_EKTIWNYH, ESLI |
m 6 n ; n! |
BIEKTIWNYH, |
||||||||||||||||||||||||||||
ESLI m = n . |
|
|
3 |
n |
1 . |
|
|
|
151200. |
|
|
|
720. |
k |
|
2520. |
|
|
1260. |
||||||||||||||||
|
|
n |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
70. |
|
|
|
|
|
|
|
71. |
|
|
|
72. |
|
|
|
73. |
|
|
|
74. |
|
||||||
75. |
60. |
|
76. |
; |
126 . |
77. |
|
; |
1904 . |
|
78. 252. |
|
79. |
|
|
x2 |
+ 2 |
|
|
xixj . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
i<j |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
k |
x3 + 3 |
|
x2xj + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
P |
|
|
|||||||||||
80. |
|
|
|
|
|
|
xixj xl . |
82. |
91. |
84. 3. |
85. 126. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
i=j |
|
|
|
|
|
i<j<l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
86. |
P |
|
87. |
|
|
P6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
P88. |
293930. |
89. |
|
k |
|
SPOSOBOW. |
|
|
||||||||||||
|
|
60. |
|
|
100, 5050, 220. |
|
|
|
|
|
C(n) |
|
|
||||||||||||||||||||||
90. |
|
(p+1)! |
|
|
. |
91. 36. |
|
92. Ck;n SPOSOBOW. |
93. 56. |
94. 457. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
q!(p;q+1)! |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
79 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
95. 734. |
|
|
96. 729. |
|
97. 150. 98. 4. |
99. 12. |
100. (1 |
|
tn+1)=(1 |
t) . |
|||||||||||||||||
101. |
A) |
|
|
1 |
|
, B) (1 + t)n . |
|
102. A(t) = |
|
1 |
, E(t) =;ent . 103.;2n . |
||||||||||||||||
|
1;t |
1;nt |
|||||||||||||||||||||||||
104. |
A) |
t=(1 |
; t)2 , B) |
t(1 + t)=(1 ; t)3 . |
|
105. 2t2=(1 |
; t)3 . |
|
|||||||||||||||||||
106. |
A) |
tet , B) t(1 + t)et . 107. (2n+1 ; 1)=(n + 1) . |
|
108. 0 . |
|
||||||||||||||||||||||
109. |
|
n |
|
1 |
|
110. |
(2n |
|
3)t+3 |
111. |
|
2 |
|
|
|
112. |
3 |
|
|||||||||
n2 ; . |
|
|
; |
n |
+1 . |
(e |
|
|
; 1)=4 . |
;t ln j1 |
; tj . |
||||||||||||||||
|
|
|
(1;t) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
113. |
un = n + 1 . |
114. an = (5 + 2n)2n |
, bn = ;(1 + 2n)2n . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
an = (1 + p |
2)(p |
|
|
|
|
; p2)(;p2)n;2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
115. |
2)n;2 + (1 |
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
bn = (p |
2)n;3 + (;pn 2)n;3 . 116. |
an = 8n ; 7 + (;1)n , |
|
||||||||||||||||||||||||
bn = 8n |
; 9 |
; (;1) . 118. x1 : (x1; x2 ? 2) ; |
x2 : (x1 ? 2; x3) ; |
|
|||||||||||||||||||||||
x3 : (x2) ; |
x4 |
: ? . |
|
119. uKAZANIE. ~ETNYE STEPENI MOVNO |
|
||||||||||||||||||||||
REALIZOWATX PETLQMI. |
|
121. |
n(n ; |
1)=2 . 122. n(2m + n) . 124. 14 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
SPOSOBOW. |
|
125. rEBRAMI G1 |
BUDUT WNUTRENNIE REBRA GRAFA G2 , |
||||||||||||||||||||||||
(SM. RIS. 30). 127. gRAF NE PLANAREN, T.K. ON IMEET PODGRAF K3;3 . |
|||||||||||||||||||||||||||
128. pRI m 6 2 ILI n 6 2 . |
129. n 6 4 . |
132. 40. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
133. |
d(G1) = 4 , d(G2) = 3 . |
136. eSLI n | NE^ETNO. 137. eSLI |
|||||||||||||||||||||||||
m I n | ^ETNY. |
139. nELXZQ, T.K. SOOTWETSTWU@]IJ GRAF IMEET |
||||||||||||||||||||||||||
BOLEE DWUH NE^ETNYH WER[IN. 140. iMEETSQ 3 DEREWA S PQTX@ I 6 DEREWXEW S [ESTX@ WER[INAMI. 142. iMEETSQ 9 KORNEWYH DEREWXEW
S PQTX@ WER[INAMI. 143. A) 4, B) |
(n;1)(n;2) |
, W) 28. 144. |
3. |
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2 |
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145. 9. 148. sTEK S I O^EREDX T |
MENQ@TSQ TAK: |
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S : 1; 6; 7; 2; ;2; 3; 4; ;4; ;3; 5; 8;9; 10;;10; ;9;;8; ;5; ;7; ;6; ;1 ; |
||||
T : 1; 6; ;1; 7; ;6; 2; 3; 4; 5; ;7; ;2;;3; ;4; 8; ;5; 9;10; ;8; |
;9; ;10 . |
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149. {AG WOZWRATA PROISHODIT PROTIW STRELKI. sTEK |
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S : 1; 2; 3; 4; 5;;5; ;4; ;3; 8; ;8: ; 2; 7; ;7; ;1; 6; ;6 . o^EREDX T : 1; 2; 7;;1; 3;8; ;2; 5; ;7; 4; ;3;;8; ;5; ;4; 6; ;6 .
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