Дискретная математика методичка / DISKR 2003

45. pOSTROJTE BINARNOE OTNO[ENIE NA M = fa; b; cg , KOTOROE A) REFLEKSIWNO, SIMMETRI^NO, NO NE TRANZITIWNO,

B) ANTISIMMETRI^NO, TRANZITIWNO, NO NE REFLEKSIWNO.

o pOSTROJTE BINARNOE OTNO[ENIE NA = , KOTOROE

46. M fa; b; cg

A) REFLEKSIWNO, TRANZITIWNO, NO NE SIMMETRI^NO,

B) SIMMETRI^NO, TRANZITIWNO, NO NE REFLEKSIWNO.

47. dOKAVITE, ^TO SLEDU@]IE OTNO[ENIQ R QWLQ@TSQ OTNO[ENIQMI \KWIWALENTNOSTI, NAJDITE RAZBIENIE UKAZANNOGO MNOVESTWA NA KLASSY \KWIWALENTNOSTI:

A) R = (a; a); (b; b); (c; c); (a; b); (b; a) NA a; b; c ,

W) R = f(x; y) j y ; x 2 Zg , x; y 2 (;1; +1) .

48. dOKAVITE, ^TO OTNO[ENIE DELIMOSTI NA MNOVESTWE NATURALXNYH ^ISEL QWLQETSQ ^ASTI^NYM PORQDKOM. qWLQETSQ LI OTNO[ENIE DELIMOSTI ^ASTI^NYM PORQDKOM NA Z ?

32

49. dOKAVITE, ^TO PERESE^ENIE DWUH ^ASTI^NYH PORQDKOW NA DANNOM MNOVESTWE SNOWA QWLQETSQ ^ASTI^NYM PORQDKOM.

o pRIWEDITE PRIMER ^ASTI^NYH PORQDKOW NA = , OB_-

50. M fa; b; cg

EDINENIE KOTORYH NE QWLQETSQ ^ASTI^NYM PORQDKOM.

51. pUSTX A I B | UPORQDO^ENNYE MNOVESTWA. dOKAVITE, ^TO OTNO[ENIE (a; b) 6 (a0; b0) , (a < a0) _ (a = a0 ^ b 6 b0) ZADAET PORQDOK NA A B .

52. pUSTX A I B | NEPERESEKA@]IESQ LINEJNO UPORQDO^ENNYE MNOVESTWA. dOKAVITE, ^TO BINARNOE OTNO[ENIE x 6 y ()

(x 2 A ^ y 2 B) _ (x 2 A ^ y 2 A ^ x 6 y) _ (x 2 B ^ y 2 B ^ x 6 y)

ZADAET LINEJNYJ PORQDOK NA A [ B .

o pRIWEDITE PRIMER LINEJNOGO PORQDKA NA .

53. N N

54. wYQSNITE IN_EKTIWNOSTX, S@R_EKTIWNOSTX I BIEKTIWNOSTX SLEDU@]IH FUNKCIJ:

A) f : [;1; 2] ! [0; 5] , f(x) = x2 , B) f : [;1; 2] ! [0; 4] , f(x) = x2 , W) f : [;2; ;1] ! [1; 4] , f(x) = x2 .

pRIWEDITE PRIMER OTOBRAVENIQ f : N ! N , KOTOROE A) S@R_EKTIWNO, NO NE IN_EKTIWNO,

B) IN_EKTIWNO, NO NE S@R_EKTIWNO.

56. nAJDITE p = f g I q = g f , ESLI

A) f : R ! R , f(x) = x2 , g : R ! R , g(x) = x + 1 ;

B) f : N0 ! N0 , f(n) = n + 1 , g : N0 ! N0 , g(n) = jn ; 1j ,

W)o f : Z Z ! Z , f(m; n) = m + n , g : Z ! Z Z , g(n) = (n; n) .

33

g l a w a 3 kombinatorika

x1. pERESTANOWKI, RAZME]ENIQ I IH KOLI^ESTWO

pRINCIP KOMBINATORNOGO UMNOVENIQ. eSLI SOBYTIE A MOVNO OSU]ESTWITX m SPOSOBAMI, I NEZAWISIMO OT \TOGO, SOBYTIE B | n SPOSOBAMI, TO OBA SOBYTIQ (SOBYTIE AB ) MOVNO OSU]ESTWITX mn SPOSOBAMI.

pOD n -MNOVESTWOM BUDEM PONIMATX MNOVESTWO IZ n RAZLI^NYH \LEMENTOW, A (n) -NABOR POLU^AETSQ IZ n -MNOVESTWA RAZMNOVENIEM KAVDOGO EGO \LEMENTA W DOSTATO^NO BOLX[OM KOLI^ESTWE KOLI^ESTWE \KZEMPLQROW.

oPREDELENIE 1. pERESTANOWKOJ IZ n \LEMENTOW NAZYWAETSQ UPORQDO^ENNOE n -MNOVESTWO.

oPREDELENIE 2. rAZME]ENIEM IZ n PO k , GDE 0 < k 6 n , NAZYWAETSQ UPORQDO^ENNOE k -PODMNOVESTWO DANNOGO n -MNOVESTWA.

rAZME]ENIE IZ n PO k MOVNO REALIZOWATX POSLEDOWATELXNOJ WYBORKOJ k [AROW IZ IME@]IHSQ W URNE n RAZLI^NYH [AROW, PO- \TOMU k -PODMNOVESTWO ^ASTO NAZYWA@T k -WYBORKOJ.

tEOREMA 1. kOLI^ESTWO WSEH RAZME]ENIJ IZ n PO k NAHODITSQ

dOKAZATELXSTWO. pRIMENIM METOD KOMBINATORNOGO UMNOVENIQ. pERWYJ \LEMENT MOVNO WYBRATX n SPOSOBAMI, POSLE \TOGO WTOROJ \LEMENT MOVNO WYBRATX n ; 1 SPOSOBOM I T.D., POSLEDNIJ k -TYJ \LEMENT MOVNO WYBRATX n ; k + 1 SPOSOBOM. zNA^IT, POSLEDOWATELXNAQ WYBORKA OSU]ESTWIMA n(n ; 1) : : : (n ; k + 1) SPOSOBAMI. uMNOVIW I RAZDELIW \TO PROIZWEDENIE NA (n ; k)! , MY POLU^IM ISKOMU@ FORMULU. tEOREMA DOKAZANA.

34

sLEDSTWIE. kOLI^ESTWO WSEH RAZLI^NYH PERESTANOWOK DANNOGO n -MNOVESTWA ZADAETSQ FORMULOJ

oPREDELENIE 3. uPORQDO^ENNAQ k -WYBORKA DANNOGO (n) -NABORA NAZYWAETSQ RAZME]ENIEM IZ n PO k S POWTORENIQMI.

rAZME]ENIQ IZ n PO k S POWTORENIQMI MOVNO REALIZOWATX, WYNIMAQ k RAZ PO ODNOMU [ARU IZ IME@]IHSQ W URNE n RAZLI^NYH [AROW S POSLEDU@]IM WOZWRA]ENIEM EGO W URNU.

tEOREMA 2. kOLI^ESTWO WSEH RAZME]ENIJ IZ n PO k S POWTORENIQMI ZADAETSQ FORMULOJ

dOKAZATELXSTWO. pERWYJ \LEMENT MOVNO WYBRATX POSLE \TOGO WTOROJ \LEMENT MOVNO WYBRATX TOVE n T.D., POSLEDNIJ k -TYJ \LEMENT MOVNO WYBRATX TAKVE

zNA^IT, POSLEDOWATELXNAQ WYBORKA OSU]ESTWIMA nk SPOSOBAMI PO PRINCIPU KOMBINATORNOGO UMNOVENIQ. tEOREMA DOKAZANA.

x2. pERESTANOWKI S POWTORENIQMI

(n1; n2; : : : ; nk) -NABOR MOVNO POLU^ITX IZ DANNOGO k -MNOVESTWA M = fa1; a2; : : : ; akg RAZMNOVENIEM \LEMENTA ai W ni \KZEMPLQRAH,

GDE ni > 0 , i = 1;2; : : : ; k .

oPREDELENIE 1. uPORQDO^ENNYJ (n1; n2; : : : ; nk) -NABOR NAZYWAETSQ PERESTANOWKOJ S POWTORENIQMI.

tEOREMA 1. kOLI^ESTWO WSEH RAZLI^NYH PERESTANOWOK S POWTORENIQMI (n1; n2; : : : ; nk) -NABORA ZADAETSQ FORMULOJ

P (n1; n2; : : : ; nk) = (n1 + n2 + : : : + nk)! : n1!n2! : : : nk!

dOKAZATELXSTWO. wOZXMEM L@BU@ PERESTANOWKU S POWTORENIQMI DANNOGO NABORA I ZAMENIM W NEJ n1 \KZEMPLQROW \LEMENTA a1 NA RAZNYE \LEMENTY a11 ; a12; : : : ; a1n1 . pERESTAWLQQ IH MEVDU SOBOJ, MY POLU^IM n1! PERESTANOWOK, W KOTORYH NET POWTORENIQ \LEMENTOW a1 , NO E]E OSTALISX POWTORENIQ \LEMENTOW a2; a3; : : : ; ak . zAMENQQ IH TAKIM VE OBRAZOM I PERESTAWLQQ MEVDU SOBOJ, POLU^IM OKON^ATELXNO RAZMNOVENIE W n1!n2! : : : nk! RAZ. wSEGO W ITOGE POLU- ^IM (n1 + n2 + : : : + nk)! OBY^NYH PERESTANOWOK (BEZ POWTORENIJ)

35

P(n1; n2; : : : ; nk) n1!n2! : : : nk! = (n1 + n2 + : : : + nk)! .

oTS@DA SLEDUET ISKOMAQ FORMULA. tEOREMA DOKAZANA.

zADA^A O RAZBIENII MNOVESTWA NA PODMNOVESTWA S ZADANNYM ^ISLOM \LEMENTOW. mNOVESTWO M , SOSTOQ]EE IZ n \LEMENTOW, MOVNO RAZBITX P (n1; n2; : : : ; nk) SPOSOBAMI NA NEPERESEKA@]IESQ PODMNOVESTWA M1; M2; : : : ; Mk , S ZADANNYM KOLI^ESTWOM \LEMENTOW

n1; n2; : : : ; nk , PRI^EM n1 + n2 + : : : + nk = n .

rE[ENIE. kAVDOE RAZBIENIE MNOVESTWA M NA UKAZANNYE PODMNOVESTWA MOVNO ODNOZNA^NO ZAKODIROWATX POSLEDOWATELXNOSTX@ IZ n ^ISEL, ZAPISAW NA i -TOM MESTE \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI NOMER TOGO PODMNOVESTWA, W KOTOROE POPAL i -TYJ \LEMENT MNOVESTWA M . w REZULXTATE MY POLU^IM PERESTANOWKU S POWTORENIQMI IZ n1 \KZEMPLQROW ^ISLA 1, n2 \KZEMPLQROW ^ISLA 2 I T.D., nk \KZEMPLQROW ^ISLA k . pOSKOLXKU KOLI^ESTWO TAKIH PERESTANOWOK S POWTORENIQMI RAWNO P (n1; n2; : : : ; nk) , TO STOLXKO VE BUDET I ISKOMYH RAZBIENIJ. zADA^A RE[ENA.

tEOREMA 2. iMEET MESTO SLEDU@]AQ POLINOMIALXNAQ FORMULA:

(x1 + x2 + : : : + xk)n = PP (n1; n2 ; : : : ; nk)x1n1 x2n2 : : : xnkk ,

W KOTOROJ INDEKSY n1; n2; : : : ; nk MENQ@TSQ OT 0 DO n S SOBL@DENIEM USLOWIQ n1 + n2 + : : : + nk = n .

dOKAZATELXSTWO. lEWAQ ^ASTX POLINOMIALXNOJ FORMULY PREDSTAWLQETSQ W WIDE PROIZWEDENIQ n SKOBOK: (x1 + x2 + : : : + xk)n =

= (x1 +x2 + : : :+xk) (x1 +x2 +: : :+xk) : : : (x1 +x2 + : : :+xk) . pOSLE

RASKRYTIQ SKOBOK PO PRAWILU UMNOVENIQ MNOGO^LENOW, MY POLU^IM SUMMU ODNO^LENOW WIDA xn11 xn22 : : : xnkk , PRI^EM n1+n2 +: : :+nk = n . tAKOMU ODNO^LENU SOOTWETSTWUET RAZBIENIE MNOVESTWA IZ n SKOBOK NA k PODMNOVESTW: W i -TOE PODMNOVESTWO BEREM TE SKOBKI, IZ KOTORYH WZQT MNOVITELX xi , i = 1; 2; : : : ; n . zNA^IT, UKAZANNYJ ODNO^LEN WSTRE^AETSQ W KOLI^ESTWE, RAWNOM ^ISLU RAZBIENIJ MNOVESTWA IZ n SKOBOK NA k PODMNOVESTW S ^ISLOM \LEMENTOW n1; n2; : : : ; nk . sOGLASNO PREDYDU]EJ ZADA^E \TO KOLI^ESTWO RAWNO P (n1; n2; : : : ; nk) , ^TO I ZAWER[AET DOKAZATELXSTWO POLINOMIALXNOJ FORMULY.

36

x3. sO^ETANIQ I IH SWOJSTWA

x4. sO^ETANIQ S POWTORENIQMI

oPREDELENIE 1. sO^ETANIEM IZ n PO k S POWTORENIQMI NAZYWAETSQ ODNOWREMENNAQ (NEUPORQDO^ENNAQ) k -WYBORKA IZ (n) -NABORA. pRIMER 1. iMEETSQ 5 SO^ETANIJ IZ 2 \LEMENTOW a I b PO 4 S

POWTORENIQMI: aaaa , aaab , aabb , abbb , bbbb .

tEOREMA 1. kOLI^ESTWO WSEH SO^ETANIJ IZ n PO k S POWTORENI- k = (n + k ; 1)! .

C(n) k!(n ; 1)!

dOKAZATELXSTWO. kAVDOE SO^ETANIE IZ n \LEMENTOW a1; a2 ; : : : ; an PO k S POWTORENIQMI MOVNO ZAKODIROWATX PERESTANOWKOJ IZ k ^I- SEL 1 I n ; 1 ^ISLA 0 SLEDU@]IM OBRAZOM. pI[EM STOLXKO RAZ 1, SKOLXKO WZQTO \LEMENTA a1 , ZATEM 0; DALEE PI[EM STOLXKO RAZ 1, SKOLXKO IMEETSQ a2 , ZATEM SNOWA 0 I T.D.; W KONCE PI[EM STOLXKO RAZ 1, SKOLXKO RAZ WSTRE^AETSQ W SO^ETANII \LEMENT an . pOSKOLX-

KU KOLI^ESTWO PERESTANOWOK IZ k ^ISEL 1 I n ; 1 ^ISLA 0 RAWNO

(n + k ; 1)! , TO STOLXKO VE BUDET I SO^ETANIJ S PO- k!(n ; 1)!

WTORENIQMI. tEOREMA DOKAZANA.

zADA^A O RAZDA^E PODARKOW. kOLI^ESTWO RE[ENIJ W NEOTRICATELXNYH CELYH ^ISLAH DIOFANTOWA URAWNENIQ x1 + x2 + : : :+ xn = k

RAWNO C(kn) .

rE[ENIE. kAVDOMU RE[ENI@ \TOGO URAWNENIQ ODNOZNA^NO SOOTWETSTWUET SO^ETANIE IZ n \LEMENTOW a1; a2; : : : ; an PO k S POWTORENIQMI, W KOTOROM \LEMENT ai WSTRE^AETSQ xi RAZ, i = 1; 2; : : : n . pO\TOMU ISKOMOE KOLI^ESTWO RE[ENIJ DANNOGO DIOFANTOWA URAWNENIQ RAWNO ^ISLU SO^ETANIJ C(kn) . zADA^A RE[ENA.

x5. fORMULA WKL@^ENIJ I ISKL@^ENIJ

pUSTX DANO MNOVESTWO M IZ N \LEMENTOW I NA \TOM MNOVESTWE OPREDELENY PREDIKATY P1(x) , P2(x); : : : Pn(x) . oBOZNA^IM ^EREZ N(Pi) KOLI^ESTWO \LEMENTOW, DLQ KOTORYH Pi(x) ISTINNO, ^EREZ N(P i) { KOLI^ESTWO \LEMENTOW, DLQ KOTORYH Pi(x) LOVNO, ^EREZ N(PiPj) { KOLI^ESTWO \LEMENTOW, DLQ KOTORYH Pi(x) ^ Pj(x) ISTINNO I T.D.

38

tEOREMA 2. iMEET MESTO SLEDU@]AQ FORMULA WKL@^ENIJ I IS-

STROKE, NI W ODNOM STOLBCE \TOJ MATRICY ^ISLA NE POWTORQ@TSQ.

39

eSLI m RAWEN SWOEMU MAKSIMALXNO WOZMOVNOMU ZNA^ENI@ n , TO GOWORQT O LATINSKOM KWADRATE. iMEETSQ TEOREMA, ^TO L@BOJ LATINSKIJ PRQMOUGOLXNIK MOVNO DOPOLNITX DO LATINSKOGO KWADRATA. eSLI W PERWOJ STROKE LATINSKOGO PRQMOUGOLXNIKA m n ^ISLA 1; 2; : : : ; n RASPOLOVENY W PORQDKE WOZRASTANIQ, TO OSTALXNYE STRO^KI QWLQ@TSQ BESPORQDKAMI, PO\TOMU KOLI^ESTWO LATINSKIH

PRQMOUGOLXNIKOW 2 n RAWNO n .

x6. pROIZWODQ]IE FUNKCII

oPREDELENIE 1. oBY^NOJ PROIZWODQ]EJ FUNKCIEJ DLQ POSLEDOWATELXNOSTI u0; u1; : : : ; uk; : : : NAZYWAETSQ STEPENNOJ RQD

pRI NAHOVDENII FORMUL DLQ SUMM OBY^NO PYTA@TSQ IH WYRAZITX ^EREZ IZWESTNYE PROIZWODQ]IE FUNKCII, PODSTAWLQQ KONKRET-

40