Дискретная математика методичка / DISKR 2003

pRIMER 3. nA RIS. 19 DANY REALIZACII GRAFOW K2 I K3 NA PLOSKOSTI R2 , A IZOBRAVENIQ K4 I K5 NE QWLQ@TSQ REALIZACIQMI. tEOREMA 1. l@BOJ GRAF MOVNO REALIZOWATX W TREHMERNOM PRO-

STRANSTWE R3 .

dOKAZATELXSTWO. pUSTX DAN GRAF G(X; ;) , X = fx1; x2; : : : ; xng , A ; = (g1; g2; : : : ; gm) . wOZXMEM W PROSTRANSTWE PRQMU@ l I WYBEREM NA NEJ TO^KI x01; x02; : : : ; x0n , KOTORYE SOOTWETSTWU@T WER[INAM

x1; x2; : : : ; xn , SM. RIS. 24.

~EREZ PRQMU@ l PROWEDEM m RAZLI^NYH POLUPLOSKOSTEJ I OBO-

ZNA^IM IH 1; 2; : : : ; m . eSLI REBRO gk = (xi; xj) , GDE i 6= j , TO EMU SOPOSTAWIM POLUOKRUVNOSTX, KOTORAQ LEVIT W POLUPLOSKOSTI

k I OPIRAETSQ NA TO^KI x0i I x0j . eSLI REBRO gk = (xi; xi) QWLQETSQ PETLEJ, TO EMU SOPOSTAWIM OKRUVNOSTX, KOTORAQ LEVIT W POLUPLOSKOSTI k I KASAETSQ PRQMOJ l W TO^KE x0i . tAK PRODELAEM DLQ WSEH k = 1; 2; : : : ; m I W REZULXTATE POLU^IM REALIZACI@ GRAFA G W TREHMERNOM PROSTRANSTWE. tEOREMA DOKAZANA.

x4. pLOSKIE I PLANARNYE GRAFY

oPREDELENIE 1. gRAF, DOPUSKA@]IJ REALIZACI@ NA PLOSKOSTI, NAZYWAETSQ PLANARNYM, A EGO REALIZACI@ NA PLOSKOSTI NAZYWA@T PLOSKIM GRAFOM.

pRIMER 1. gRAF K4 QWLQETSQ PLANARNYM, EGO PLOSKU@ REALIZACI@ MOVNO POLU^ITX, ESLI ODNU IZ DIAGONALEJ KWADRATA NA RIS. 19 PROWESTI WNE \TOGO KWADRATA.

tEOREMA 1. gRAFY K3;3 I K5 NE QWLQ@TSQ PLANARNYMI. dOKAZATELXSTWO PROWEDEM OT PROTIWNOGO. pUSTX K3;3 , SM. RIS.

22, QWLQETSQ PLANARNYM, TOGDA EGO MOVNO REALIZOWATX W WIDE PLOSKOGO GRAFA G . pUSTX, PRI \TOM, WER[INAM zi SOOTWETSTWU@T TO^-

51

x5. cEPI, CIKLY, SWQZNOSTX

oPREDELENIE 1. cEPX@ (MAR[RUTOM) W GRAFE G(X; ;) NAZYWAETSQ POSLEDOWATELXNOSTX EGO REBER (v0; v1); (v1; v2); : : : ; (vl;1 ; vl) ; WER- [INY v0 I vl QWLQ@TSQ KONCAMI CEPI, DLINOJ CEPI NAZYWAETSQ ^ISLO l , RAWNOE KOLI^ESTWU REBER W \TOJ CEPI.

oTDELXNU@ WER[INU GRAFA UDOBNO S^ITATX CEPX@ NULEWOJ DLINY. cEPX NAZYWAETSQ ZAMKNUTOJ, ESLI v0 = vl . cEPX ^ASTO OBOZNA-

^A@T TAK: v0 ! v1 ! : : : ! vl .

oPREDELENIE 2. cEPX v0 ! v1 ! : : : ! vl NAZYWAETSQ \LEMENTARNOJ, ESLI WSE EE REBRA I WER[INY RAZLI^NY, KROME, MOVET BYTX, WER[IN v0 I vl , ZAMKNUTAQ \LEMENTARNAQ CEPX NAZYWAETSQ CIKLOM. tEOREMA 1. iZ L@BOJ CEPI, SOEDINQ@]EJ WER[INY v0 I vl , MOVNO UDALENIEM NEKOTORYH REBER, POLU^ITX \LEMENTARNU@ CEPX, SO-

EDINQ@]U@ v0 I vl .

W CEPI BUDUT OSTAWATXSQ ODINAKOWYE WER[INY I W ITOGE PRIDEM K SLU^A@ 1, KOGDA POLU^ITSQ CEPX S RAZLI^NYMI WER[INAMI, KOTORAQ I BUDET \LEMENTARNOJ. tEOREMA DOKAZANA.

oPREDELENIE 3. gRAF G(X; ;) NAZYWAETSQ SWQZNYM, ESLI L@BYE DWE EGO WER[INY x I y MOVNO SOEDINITX CEPX@ IZ REBER, PRINADLEVA]IH ; .

oPREDELENIE 4. gRAF G IMEET k KOMPONENT SWQZNOSTI, ESLI ON SOSTOIT IZ k NEPERESEKA@]IHSQ SWQZNYH GRAFOW

KAVDYJ IZ NIH NAZYWAETSQ KOMPONENTOJ SWQZNOSTI GRAFA G. pRIMER 1. gRAF, IZOBRAVENNYJ NA RIS. 27, IMEET DWE KOMPONEN-

TY SWQZNOSTI

rEBRO GRAFA NAZYWAETSQ CIKLI^ESKIM, ESLI ONO WHODIT W KAKOJNIBUDX CIKL. rEBRO, NE PRINADLEVA]EE NIKAKOMU CIKLU, NAZYWAET-

53

SQ PERE[EJKOM (MOSTOM).

sWOJSTWO 1. pRI UDALENII CIKLI^ESKOGO REBRA GRAFA G POLU- ^AETSQ GRAF G0 S TEM VE KOLI^ESTWOM KOMPONENT SWQZNOSTI, ^TO I GRAF G , A PRI UDALENII PERE[EJKA KOLI^ESTWO KOMPONENT SWQZNOSTI WOZRASTAET NA EDINICU.

sWOJSTWO 2. w SWQZNOM GRAFE S n WER[INAMI I m REBRAMI WYPOLNENO NERAWENSTWO m > n ; 1 .

dOKAZATELXSTWO. pRIMENIM METOD INDUKCII PO ^ISLU REBER m .

1.bAZA INDUKCII. eSLI m = 0 , TO n = 1 WWIDU SWQZNOSTI GRAFA I NERAWENSTWO m > n ; 1 WERNO.

2.iNDUKCIONNOE PREDPOLOVENIE. pUSTX NERAWENSTWO SPRAWEDLIWO DLQ SWQZNYH GRAFOW S ^ISLOM REBER m0 < m .

3.{AG INDUKCII. rASSMOTRIM SWQZNYJ GRAF G S m REBRAMI.

m0 = m ; 1 I n0 = n . pO INDUKCIONNOMU PREDPOLOVENI@ IMEEM

m0 > n0 ; 1 =) m ; 1 > n ; 1 =) m > n =) m > n ; 1 .

eSLI g { PERE[EEK, TO POLU^ATSQ DWA SWQZNYH GRAFA G0 I G00 , DLQ NIH PO PREDPOLOVENI@ WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA m0 > n0 ; 1 I m00 > n00 ; 1 . sLOVIM IH PO^LENNO: m0 + m00 > n0 + n00 ; 2 =) m ; 1 > n ; 2 =) m > n ; 1 . {AG INDUKCII PROWEDEN I SWOJSTWO 2 DOKAZANO.

sLEDSTWIE. eSLI GRAF SOSTOIT IZ k KOMPONENT SWQZNOSTI, TO

m > n ; k .

x6. tEOREMA |JLERA O PLOSKIH GRAFAH

oPREDELENIE 1. pLOSKIJ GRAF RAZBIWAET PLOSKOSTX NA NESKOLXKO ^ASTEJ, NAZYWAEMYH GRANQMI \TOGO GRAFA.

tEOREMA |JLERA O PLOSKIH GRAFAH. eSLI PLOSKIJ SWQZNYJ GRAF IMEET l GRANEJ, n WER[IN I m REBER, TO l + n = m + 2 .

dOKAZATELXSTWO PROWEDEM INDUKCIEJ PO ^ISLU REBER m .

1. eSLI m = 0 , TO n = 1 , l = 1 I FORMULA l + n = m+ 2 WERNA. 2. pUSTX \TA FORMULA WERNA DLQ WSEH PLOSKIH SWQZNYH GRAFOW S

^ISLOM REBER MENX[IM, ^EM m .

54

3. rASSMOTRIM PLOSKIJ SWQZNYJ GRAF G S m REBRAMI I UDALIM IZ NEGO NEKOTOROE REBRO g . eSLI g { CIKLI^ESKOE REBRO, TO POLU- ^ITSQ PLOSKIJ SWQZNYJ GRAF G0 , DLQ KOTOROGO PO INDUKCIONNOMU PREDPOLOVENI@ IMEET MESTO RAWENSTWO l0 + n0 = m0 + 2 . pOSKOLXKU l0 = l;1 , n0 = n , m0 = m;1 , TO OTS@DA SLEDUET, ^TO l+n = m+2 . eSLI REBRO g { PERE[EEK, TO POLU^ATSQ DWA PLOSKIH SWQZNYH GRAFA G0 I G00 , DLQ KOTORYH PO INDUKCIONNOMU PREDPOLOVENI@ MOVNO NAPISATX, ^TO l0+n0 = m0 +2 I l00 +n00 = m00+2 . sKLADYWAQ \TI RAWENSTWA I ZAME^AQ, ^TO l0 + l00 = l+ 1 , n0 + n00 = n , m0 + m00 = m;1 , MY SNOWA POLU^AEM RAWENSTWO l + n = m + 2 . tEOREMA DOKAZANA.

x7. sLEDSTWIQ IZ TEOREMY |JLERA O PLOSKIH GRAFAH

sLEDSTWIE 1. dLQ L@BOGO WYPUKLOGO MNOGOGRANNIKA IMEET MESTO FORMULA |JLERA l + n = m + 2 , GDE l , n I m { KOLI^ESTWO GRANEJ, WER[IN I REBER \TOGO MNOGOGRANNIKA.

dOKAZATELXSTWO. wNA^ALE WOZXMEM WNUTRI MNOGOGRANNIKA TO^- KU O I SPROECIRUEM POWERHNOSTX \TOGO MNOGOGRANNIKA IZ TO^KI O (CENTRALXNAQ PROEKCIQ) NA NEKOTORU@ SFERU S CENTROM W TO^KE O . dALEE, WYBEREM NA SFERE TO^KU N (SEWERNYJ POL@S), NE LEVA]U@ NI NA ODNOM REBRE POLU^IW[EGOSQ SFERI^ESKOGO MNOGOUGOLXNIKA, PROWEDEM ^EREZ TO^KU S (@VNYJ POL@S) PLOSKOSTX, KASATELXNU@ K SFERE I SOWER[IM CENTRALXNU@ PROEKCI@ SFERI^ESKOGO MNOGOUGOLXNIKA IZ TO^KI N NA KASATELXNU@ PLOSKOSTX. w REZULXTATE MY POLU^IM NA \TOJ PLOSKOSTI SWQZNYJ GRAF, DLQ KOTOROGO WERNA FORMULA l + n = m + 2 .

sLEDSTWIE 2. dLQ PROSTOGO PLANARNOGO SWQZNOGO GRAFA POLNENO NERAWENSTWO m 6 3n ; 6 , ESLI n > 3 .

dOKAZATELXSTWO. pOSKOLXKU G PLANAREN, TO ON REALIZUETSQ W WIDE PLOSKOGO GRAFA G0 . wSE GRANI GRAFA G0 OGRANI^ENY PO KRAJNEJ MERE TREMQ REBRAMI, TAK KAK G0 QWLQETSQ PROSTYM S KOLI- ^ESTWOM WER[IN n > 3 . oTS@DA SLEDUET, ^TO KOLI^ESTWO REBER G0 UDOWLETWORQET USLOWI@ m > 32 l . iSPOLXZUQ RAWENSTWO |JLERA, PO-

LU^AEM m + 2 = n + l 6 n + 23 m =) m 6 3n ; 6 .

pRIMER 1. gRAF K5 NE QWLQETSQ PLANARNYM, T.K. DLQ NEGO NERAWENSTWO m 6 3n ; 6 NE WYPOLNENO.

55

sLEDSTWIE 3. w L@BOM PLOSKOM SWQZNOM PROSTOM GRAFE NAJDETSQ WER[INA, STEPENI NE PREWOSHODQ]EJ 5.

dOKAZATELXSTWO PROWEDEM OT PROTIWNOGO. pUSTX deg xi > 6 DLQ

WSEH i = 1; 2; : : : ; n . sKLADYWAQ PO^LENNO \TI NERAWENSTWA, POLU-

n

^IM, ^TO 2m = P deg xi > 6n =) m > 3n . pOSLEDNEE NERAWENSTWO

i=1

PROTIWORE^IT SLEDSTWI@ 2, ^TO I DOKAZYWAET SU]ESTWOWANIE WER- [INY, STEPENX KOTOROJ NE PREWOSHODIT 5.

sLEDSTWIE 4. eSLI PLOSKIJ GRAF G IMEET k KOMPONENT SWQZNOSTI, TO l + n = m + k + 1 .

dOKAZATELXSTWO. dLQ KAVDOJ KOMPONENTY SWQZNOSTI Gi WERNA FORMULA li + ni = mi + 2 . sLADYWAQ PO^LENNO \TI RAWENSTWA I U^ITYWAQ, ^TO Pni = n , Pmi = m , A Pli = l + k ; 1 , TAK KAK BESKONE^NAQ GRANX S^ITAETSQ W KAVDOJ IZ k KOMPONENT, W TO WREMQ KAK W GRAFE G TOLXKO ODIN RAZ, POLU^AEM: l+k;1+n = m+2k =) l + n = m + k + 1 .

x8. |JLEROWY GRAFY. zADA^A O KENIGSBERGSKIH MOSTAH

cEPX NAZYWAETSQ PROSTOJ, ESLI WSE EE REBRA RAZLI^NY. oPREDELENIE 1. sWQZNYJ GRAF G NAZYWAETSQ \JLEROWYM, ESLI

SU]ESTWUET PROSTAQ ZAMKNUTAQ CEPX, SODERVA]AQ WSE REBRA GRAFA G ; TAKAQ CEPX NAZYWAETSQ \JLEROWOJ.

tEOREMA OB \JLEROWOM GRAFE. sWQZNYJ GRAF QWLQETSQ \JLEROWYM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA WSE EGO WER[INY IME@T ^ETNU@ STEPENX.

dOKAZATELXSTWO. eSLI GRAF G { \JLEROW, TO PRI KAVDOM PROHOVDENII \JLEROWOJ CEPI ^EREZ DANNU@ WER[INU x U^ASTWU@T DWA REBRA, PO\TOMU deg x { ^ETNOE ^ISLO.

nAOBOROT, PUSTX G IMEET TOLXKO ^ETNYE WER[INY. iNDUKCIEJ PO ^ISLU REBER m DOKAVEM, ^TO GRAF IMEET \JLEROWU CEPX.

1.eSLI m = 1 , TO \TO REBRO QWLQETSQ PETLEJ, KOTORAQ I BUDET \JLEROWOJ CEPX@.

2.pUSTX SU]ESTWUET \JLEROWA CEPX DLQ SWQZNYH GRAFOW S ^ETNYMI WER[INAMI I S ^ISLOM REBER MENX[IM m .

56

3. rASSMOTRIM SWQZNYJ GRAF G c m REBRAMI, IME@]IJ TOLXKO ^ETNYE WER[INY. sTARTUEM IZ L@BOJ WER[INY x I BUDEM IDTI PO REBRAM, UDALQQ PROJDENNYE REBRA. pOSKOLXKU WSE WER[INY GRAFA BYLI ^ETNYMI, TO MY W KONCE KONCOW WERNEMSQ W WER[INU x . gRAF G0 , KOTORYJ OSTALSQ NEPROJDENNYM POSLE \TOGO, MOVET IMETX NESKOLXKO KOMPONENT SWQZNOSTI, NO KAVDAQ TAKAQ KOMPONENTA SODERVIT TOLXKO ^ETNYE WER[INY I, SLEDOWATELXNO, IMEET \JLEROWU CEPX. dALEE, PROJDEM PO PERWONA^ALXNOMU MAR[RUTU E]E RAZ, DOBAWLQQ PO PUTI \JLEROWY CEPI KOMPONENT SWQZNOSTI GRAFA G0 I POLU^IM \JLEROWU CEPX WSEGO GRAFA G . tEOREMA DOKAZANA.

aLGORITM fLERI. eSLI SWQZNYJ GRAF IMEET TOLXKO WER[INY ^ETNOJ STEPENI, TO POSTROITX EGO \JLEROWU CEPX MOVNO SOBL@DAQ DWA PRAWILA.

1)sTARTUEM IZ PROIZWOLXNOJ WER[INY GRAFA I IDEM PO REBRAM, WKL@^AQ \TI REBRA W \JLEROWU CEPX I UDALQQ IH IZ GRAFA.

2)wYBIRAEM W O^EREDNOJ WER[INE PUTX PO PERE[EJKU TOLXKO, KOGDA NET PUTI PO CIKLU.

zADA^A O KENIGSBERGSKIH MOSTAH. gOROD kENIGSBERG RASPOLAGAETSQ NA OBOIH BEREGAH A I B REKI pREGOLI. bEREGA SOEDINQ@TSQ MOSTAMI S OSTROWAMI C I D , KOTORYE MEVDU SOBOJ TOVE SOEDINENY MOSTOM. nA RIS. 28 SHEMA MOSTOW PREDSTAWLENA TAK, KAK ONA WYGLQDELA WO WREMENA |JLERA, A SOOTWETSTWU@]IJ GRAF IZOBRAVEN NA RIS. 29. zADA^A SOSTOQLA W TOM, ^TOBY PROJTI PO KAVDOMU MOSTU ODIN RAZ I WERNUTXSQ W ISHODNU@ TO^KU. pOSKOLXKU SOOTWETSTWU@- ]IJ GRAF WOOB]E NE IMEET WER[IN ^ETNOJ STEPENI, TO \TA ZADA^A NE MOVET BYTX RE[ENA. oBOSNOWANIEM ZADA^I O KENIGSBERGSKIH MOSTAH lEONARD |JLER POLOVIL NA^ALO TEORII GRAFOW.

57

x9. dEREWXQ. cIKLOMATI^ESKOE ^ISLO GRAFA

oPREDELENIE 1. sWQZNYJ GRAF NAZYWAETSQ DEREWOM, ESLI ON NE IMEET CIKLOW. gRAF NAZYWAETSQ LESOM, ESLI KAVDAQ EGO KOMPONENTA SWQZNOSTI QWLQETSQ DEREWOM.

sWOJSTWO 1. eSLI T | DEREWO, TO m = n ; 1 , GDE m | KOLI- ^ESTWO EGO REBER, A n | ^ISLO EGO WER[IN.

dOKAZATELXSTWO PROWEDEM INDUKCIEJ PO ^ISLU REBER m . 1. eSLI m = 0 , TO n = 1 I FORMULA m = n ; 1 WERNA.

2. pUSTX \TA FORMULA WERNA DLQ DEREWXEW S KOLI^ESTWOM REBER MENX[IM, ^EM m .

3. rASSMOTRIM DEREWO T S m REBRAMI I UDALIM IZ NEGO REBRO g . pOSKOLXKU g { PERE[EEK, TO POLU^ATSQ DWA DEREWA T1 I T2 ,

DLQ KOTORYH WYPOLNENY RAWENSTWA m1 = n1 ; 1 I m2 = n2 ; 1 . u^ITYWAQ, ^TO m1 +m2 = m;1 I n1 +n2 = n , MY POLU^IM ISKOMOE RAWENSTWO m = n ; 1 DLQ DEREWA T .

sLEDSTWIE. eSLI T | LES IZ k DEREWXEW, TO m = n ; k . sWOJSTWO 2. l@BYE DWE WER[INY DEREWA MOVNO SOEDINITX ROWNO

ODNOJ \LEMENTARNOJ CEPX@.

sWOJSTWO 3. eSLI K REBRAM DEREWA DOBAWITX E]E ODNO REBRO (BEZ DOBAWLENIQ NOWYH WER[IN), TO POQWITSQ CIKL, T.K. NARU[ITSQ RAWENSTWO m = n ; 1 .

~ASTO W DEREWE WYDELQ@T ODNU IZ WER[IN, KOTORU@ NAZYWA@T KORNEM DEREWA I WSE REBRA ORIENTIRU@T W NAPRAWLENII OT \TOGO KORNQ, TAKOE ORIENTIROWANNOE DEREWO NAZYWAETSQ KORNEWYM.

oPREDELENIE 2. cIKLOMATI^ESKIM ^ISLOM GRAFA G NAZYWAETSQ ^ISLO (G) = m ; n + k , GDE m | KOLI^ESTWO REBER, n | KOLI^ESTWO WER[IN, A k | ^ISLO KOMPONENT SWQZNOSTI GRAFA G . pRIMER 1. eSLI T | LES, TO (T) = 0 , POSKOLXKU DLQ LESA

(G0) = m0 ; n0 + k0 = m ; 1 + n + k + 1 = (G) . pRI UDALENII CIKLI^ESKOGO REBRA POLU^AEM m0 = m ; 1 , n0 = n I k0 = k ; SLEDO-

WATELXNO, (G0) = m0 ; n0 + k0 = m ; 1 + n + k = (G) ; 1 .

eSLI WZQTX PROIZWOLXNYJ GRAF G I POSLEDOWATELXNO UDALQTX CIKLI^ESKIE REBRA, TO W ITOGE POLU^ITSQ LES T , NAZYWAEMYJ OSTOWOM (SKELETOM) GRAFA G . pOSKOLXKU (T ) RAWNO 0, TO (G) OZNA- ^AET KOLI^ESTWO CIKLI^ESKIH REBER, KOTORYH NADO UDALITX IZ G , ^TOBY ON PREWRATILSQ W SKELET.

x10. hROMATI^ESKOE ^ISLO GRAFA

oPREDELENIE 1. gOWORQT, ^TO GRAF RASKRA[IWAETSQ k KRASKAMI, ESLI KAVDOJ WER[INE GRAFA MOVNO PRIPISATX ODNU IZ k KRASOK TAK, ^TOBY SMEVNYE WER[INY BYLI RASKRA[ENY W RAZNYE CWETA.

zAME^ANIE. gRAF S PETLQMI RASKRASITX NELXZQ, T.K. IME@TSQ WER[INY, SMEVNYE SAMOJ SEBE. nALI^IE KRATNYH REBER, O^EWIDNO, NE WLIQET NA RASKRA[IWAEMOSTX GRAFA. u^ITYWAQ \TI DWA OBSTOQTELXSTWA MY BUDEM RASSMATRIWATX W \TOM PARAGRAFE TOLXKO PROSTYE GRAFY.

oPREDELENIE 2. hROMATI^ESKIM ^ISLOM GRAFA G , OBOZNA^AETSQ(G) , NAZYWAETSQ NAIMENX[EE ^ISLO KRASOK, KOTORYMI EGO MOVNO RASKRASITX.

pRIMER 1. WER[IN.

pRIMER 2. SMEVNY.

pRIMER 3. (Km;n) = 2 , WWIDU TOGO, ^TO WER[INY IZ Om MOVNO RASKRASITX ODNIM CWETOM, A IZ On | DRUGIM.

sWOJSTWO 1. eSLI T | DEREWO, IME@]EE BOLEE ODNOJ WER[INY,

TO (T ) = 2 .

dOKAZATELXSTWO. zAFIKSIRUEM NEKOTORU@ WER[INU

DEREWA T I RAZOBXEM MNOVESTWO WSEH EGO WER[IN NA DWA PODMNOVESTWA K0 I K1 . wO MNOVESTWO K0 OTNESEM WSE WER[INY, KOTORYE SOEDINQ@TSQ S x0 \LEMENTARNOJ CEPX@ ^ETNOJ DLINY, A K1 BUDET MNOVESTWOM WSEH WER[IN, KOTORYE SOEDINQ@TSQ S

59

CEPX@ NE^ETNOJ DLINY. lEGKO WIDETX, ^TO SMEVNYE WER[INY POPADA@T W RAZNYE KLASSY I, PO\TOMU, MOVNO RASKRASITX WER[INY IZ K0 ODNIM CWETOM, A IZ K1 { DRUGIM.

sWOJSTWO 2. eSLI (G1) = p , (G2) = q , TO (G1 + G2) = p+ q . dOKAZATELXSTWO OSNOWANO NA TOM, ^TO PRI SOEDINENII DWUH GRA-

FOW G1 I G2 KAVDAQ WER[INA GRAFA G1 STANOWITSQ SMEVNOJ S KAVDOJ WER[INOJ GRAFA G2 , PO\TOMU KRASKI GRAFA G1 NELXZQ ISPOLXZOWATX DLQ RASKRA[IWANIQ GRAFA G2 .

tEOREMA 1. hROMATI^ESKOE ^ISLO L@BOGO PROSTOGO PLANARNOGO GRAFA G NE PREWOSHODIT [ESTI.

dOKAZATELXSTWO PROWEDEM INDUKCIEJ PO ^ISLU WER[IN n .

1.eSLI n = 1 , TO (G) = 1 6 6 .

2.pUSTX (G) 6 6 DLQ WSEH PLANARNYH GRAFOW S ^ISLOM WER[IN

MENX[IM, ^EM n .

3. rASSMOTRIM PROSTOJ PLANARNYJ GRAF G S n WER[INAMI. pO SLEDSTWI@ 3 IZ TEOREMY |JLERA O PLOSKIH GRAFAH SLEDUET, ^TO G IMEET WER[INU x TAKU@, ^TO deg x 6 5 . uDALIM \TU WER[INU WMESTE S WHODQ]IMI W NEE REBRAMI. pOLU^ENNYJ GRAF G0 MOVNO RASKRASITX q KRASKAMI, GDE q 6 6 PO INDUKCIONNOMU PREDPOLOVENI@. pOSKOLXKU WER[INA x QWLQETSQ SMEVNOJ NE BOLEE, ^EM S 5 WER[INAMI, TO \TU WER[INU x MOVNO PRAWILXNO RASKRASITX W ODIN IZ 6 CWETOW. oTS@DA SLEDUET, ^TO (G) 6 6 . tEOREMA DOKAZANA.

zAME^ANIE. mOVNO USILITX REZULXTAT TEOREMY 1 I DOKAZATX, ^TO (G) 6 4 DLQ L@BOGO PROSTOGO PLANARNOGO GRAFA G .

x11. oBHOD GRAFA W GLUBINU I W [IRINU

dLQ OBHODA GRAFA G(X; ;) W GLUBINU OBRAZU@T MNOVESTWO A NERASSMOTRENNYH WER[IN, MNOVESTWO B RASSMOTRENNYH WER[IN I STEK S AKTIWNYH WER[IN. nA STARTE A = X , B = ? , S = ? . aLGORITM OBHODA PREDPOLAGAET WYPOLNENIE SLEDU@]IH [AGOW.

1) eSLI S = ? , A 6= ? , TO WYBIRAEM PROIZWOLXNU@ WER[INU x 2 A I IZMENQEM A := A n fxg , S := S [ fxg . |TOT [AG WYPOLNQETSQ W NA^ALE OBHODA KAVDOJ KOMPONENTY SWQZNOSTI GRAFA G .

2) eSLI S 6= ? I x | WER[INA STEKA, TO NAHODIM WER[INU y 2 A TAKU@, ^TO (x; y) 2 ; I IZMENQEM A := A n fyg , S := S [ fyg

60