Дискретная математика методичка / DISKR 2003

y

x

z

r

y

z

+

;

+

x

xr

;

z

x

r

r

y

y

z

x

zr

r

rIS. 6

rIS. 7

+

y

z

y

z

x

y

x

y

+

;

z

x

r

x

z

z

r

r

y

z

;

y

x

y

z

x

rIS. 8

rIS. 9

25. wY^ISLITE ZNA^ENIQ PREDIKATOW

A =

9x(x > 2

^ x < 5) I B =

8x(x > 2

^ x < 5) , ESLI

A) x 2 [3; 4] ,

B) x 2 [0; 2] ,

W)

x 2 N .

21

o

26. sRAWNITE ZNA^ENIQ WYSKAZYWANIJ A I B , ESLI

A) A = 9x(x > 2 x < 3) , B = 9x(x > 2) 9x(x < 3) , x 2

R ;

B) A = 8x(x > 2 ! x < 5) , B = 8x(x > 2) ! 8x(x < 5) , x 2 [3; 6] .

27. nAJDITE OBLASTI ISTINNOSTI SLEDU@]IH PREDIKATOW:

A)

9x(x2 + y2

6 1),

B)

9x(x2 + y2

> 1),

W)

8x(x2 + y2

> 1),

G)

8x(x2 + y2

6 1),

D) y > 0 9x(x2 + y2 6 2 ^ y > x) .

TWA B , OBOZNA^AETSQ A B ILI A

B , ESLI WSE \LEMENTY A

PRINADLEVAT TAKVE I MNOVESTWU B , T.E. x 2 A ! x 2 B .

sWOJSTWO 2.

?

A , A A .

A , TO A = B .

sWOJSTWO 3. eSLI A B

I B

sWOJSTWO 4. eSLI A B I B

C , TO A C .

A B , TO IZ

pRIWEDEM DOKAZATELXSTWO SWOJSTWA 4. pOSKOLXKU

x 2 A SLEDUET, ^TO x

2 B . t.K.

B C , TO IZ x 2 B SLEDUET,

^TO x 2 C . tAKIM OBRAZOM, IZ x

2 A

WYTEKAET,

^TO x 2 C , A \TO

OZNA^AET, ^TO A C .

dLQ KAVDOGO MNOVESTWA A SU]ESTWUET MNOVESTWO WSEH EGO POD-

MNOVESTW, OBOZNA^AEMOE P (A) ; TAKIM OBRAZOM P (A) = fx j x Ag

I x 2 P (A) , x A .

pRIMER 1. P (?) = f?g , P (fxg) = f?; fxgg .

x2. oPERACII OB_EDINENIQ I PERESE^ENIQ MNOVESTW

oPREDELENIE 1. oB_EDINENIEM MNOVESTW A I B NAZYWAETSQ

MNOVESTWO A [ B ,

SOSTOQ]EE IZ \LEMENTOW, PRINADLEVA]IH HOTQ

BY ODNOMU IZ \TIH MNOVESTW, T.E. A [ B = fx j x

2 A _ x 2 Bg , SM.

RIS. 10.

sWOJSTWO 1. A

[

? = A , A

[

A = A .

A

B

sWOJSTWO 2.

A

##

[ B = B [ A .

[ C .

sWOJSTWO 3.

A

[

(B

[ C) = (A [ B)

sWOJSTWO 4.

A

[ B = A , B

A .

dOKAZATELXSTWO SWOJSTW 1 { 4 NEPOSREDSTWENNO

rIS. 10

""!!

SLEDUET IZ OPREDELENIQ OPERACII OB_EDINENIQ MNOVESTW.

oB_EDINENIEM MNOVESTW A , GDE 2 I , NAZYWAETSQ MNOVESTWO

[2I

A = x (x A ) :

f

I

2

g

j 92

oPREDELENIE 2. pERESE^ENIEM MNOVESTW A I B NAZYWAETSQ MNO-

VESTWO A \ B , SOSTOQ]EE IZ \LEMENTOW,

PRINADLEVA]IH KAVDOMU

A \ ? = ? , A \ A = A .

A

B

sWOJSTWO 5.

##

sWOJSTWO 6.

A \ B = B \ A .

sWOJSTWO 7.

A \ (B \ C) = (A \ B) \ C .

sWOJSTWO 8.

A \ B = A

, A

B .

2 I ,

pERESE^ENIEM MNOVESTW

A

,

GDE

rIS

NAZYWAETSQ MNOVESTWO

""!!. 11

A =

x

(x

A ) .

f

I

2

g

I

j 8

2

2

) SWOJSTWA SWQZYWA@T OPERACII

sLEDU@]IE (DISTRIBUTIWNYET

PERESE^ENIQ I OB_EDINENIQ:

sWOJSTWO 9.

A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) ,

sWOJSTWO 10.

A \ (B [ C) = (A \ B)

[ (A \ C) .

pRIWEDEM DOKAZATELXSTWO SWOJSTWA 10 PO OPREDELENI@ RAWENSTWA

MNOVESTW. rAWNOSILXNOSTX PREDIKATOW x

2 LP I x 2 RP DOKAZY-

WAEM, ISPOLXZUQ OPREDELENIQ PERESE^ENIQ I OB_EDINENIQ MNOVESTW:

x 2 LP = x 2

A ^ x 2 (B [ C) = x

2

A

^ (x

2

B _ x

2

C) =

= (x 2 A ^ x 2

B) _ (x 2

A ^ x

2

C) = x 2 A \ B _ x 2

A

\ C =

= x 2 (A \ B) [ (A \ C) = x 2 RP .

~TO I TREBOWALOSX DOKAZATX.

oPREDELENIE 1. rAZNOSTX@ A n B MNOVESTW A I B NAZYWAETSQ

MNOVESTWO TEH \LEMENTOW IZ A ,

KOTORYE NE PRINADLEVAT MNOVES-

sWOJSTWO 1.

A n ?

= A , A n A =

? .

##

TWU B , T.E. A

n

B =

f

j

2

^

2

g

x

x

A

x = B

(SM. RIS. 12).

A

B

""!!. 12

4.

A n B = A

, A \ B = .

sWOJSTWO

2.

A n B

=

A n (A \ B) .

sWOJSTWO 3.

A n B = ? , A B .

rIS

sWOJSTWO

?

oPREDELENIE 2. dOPOLNENIEM MNOVESTWA A NAZYWAETSQ MNOVES-

TWO A , RAWNOE U n A , GDE

U | UNIWERSUM (SM. RIS. 13).

sWOJSTWO 5.

A

[ B = A \ B .

A

sWOJSTWO 6.

A

\ B = A [ B .

A#

sWOJSTWA 5 I 6 NAZYWA@TSQ ZAKONAMI

"!

DE mORGANA I LEGKO DOKAZYWA@TSQ METODOM

KRUGOW |JLERA, SM. NIVE.

rIS. 13

oPREDELENIE 3. sIMMETRI^ESKOJ RAZNOSTX@ MNOVESTW A I B

sWOJSTWO

7.

A4B = (A

[ B) n (A \ B) .

##

NAZYWAETSQ MNOVESTWO

A4B ,

RAWNOE

A

B

(A n B) [ (B n A) (SM. RIS. 14).

""!!. 14

10. A4(B4C) = (A4B)4C .

sWOJSTWO

8.

A4B = B4A .

sWOJSTWO 9. A4? = A ,

A4A = ? .

sWOJSTWO

rIS

pRIWEDEM DOKAZATELXSTWO SWOJSTWA 10. rAWNOSILXNOSTX PREDI-

KATOW

x 2

LP

I x 2

RP

DOKAVEM , ISPOLXZUQ METOD ISTINNOST-

NYH TABLIC, SDELAW RAZBOR PO WSEWOZMOVNYM ZNA^ENIQM PREDIKATOW

x 2 A , x 2 B ,

x 2 C . uDOBNO, ODNAKO, WMESTO ISTINNOSTNOJ TAB-

LICY ISPOLXZOWATX METOD KRUGOW |JLERA

##

(SM. RIS. 15), IZOBRAZIW DANNYE MNOVESTWA

A

B

KRUGAMI TAK, ^TOBY ONI RAZBIWALI PLOS-

M6

KOSTX NA 8

^ASTEJ, OTWE^A@]IH STRO^KAM

M4

M2

M7

ISTINNOSTNOJ TABLICY. nAPRIMER, ^ASTX

#

4 4

M5

M3

f

j

2

^

2

^

"!

M6 =

x

x

A

x

B

x = C

SO-

M1

OTWETSTWUET STROKE (110) . wYRAZIM ^EREZ

C

""!!

M0 | M7

MNOVESTWA LP = A (B

C) I

rIS. 15

(x1; x2; : : : ; xn)

TAKIH

,

^TO

xi 2 Ai

PRI

i = 1; 2; : : : n

,

OBOZNA^AETSQ

n

DEKARTOWO PROIZWEDENIE TAK: A1 A2 : : : An ILI

i=1

Ai .

w ^ASTNOSTI

, A

B = f(x; y)

j x 2 A; y 2 Bg ;

ZAMETIM

,

^TO

Q

z 2 A B = 9x 2 A 9y 2 B (z = (x; y)) .

26

pRIMER 1. eSLI DANY MNOVESTWA A = f1; 2g

I B = f1; 2; 3g , TO

A B = f(1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3)g .

oPREDELENIE 2. bINARNYM OTNO[ENIEM MEVDU MNOVESTWAMI A

I B NAZYWAETSQ PODMNOVESTWO R

A

B . w ^ASTNOM SLU^AE, PRI

A = B , GOWORQT O BINARNOM OTNO[ENII R NA MNOVESTWE A .

oPREDELENIE 3. oBLASTX@ OPREDELENIQ OTNO[ENIQ

R A

B

NAZYWAETSQ MNOVESTWO D(R) = fx

2

A

j 9y 2

B ((x; y)

2

R)g ,

QWLQ@]EESQ PROEKCIEJ R NA A . oBLASTX@ ZNA^ENIJ R NAZYWAETSQ

MNOVESTWO

V (R) = fy 2 B j 9x 2 A ((x; y) 2 R)g | PROEKCIQ R

NA B .

oPREDELENIE 4.

pUSTX

R1 A

B . oBRATNYM K R NAZYWAET-

SQ BINARNOE OTNO[ENIE

R; = f(y; x)

j

(x; y)

2

Rg ,

ZAMETIM

,

^TO

R;

1

B

A

.

dOPOLNENIEM BINARNOGO OTNO[ENIQ

R

NAZYWAETSQ

OTNO[ENIE R = (A

B) n R .

sWOJSTWO 1.

D(R;1) = V (R) , V (R;1) = D(R) .

dOKAVEM, ^TO D(R;1) = V (R) . |TI MNOVESTWA RAWNY, POSKOLX-

KU

y 2

1

() 9x ((y; x) 2

1

() 9x ((x; y) 2

()

D(R; )

R; )

R)

() y

2 V (R) . wTOROE RAWENSTWO DOKAZYWAETSQ ANALOGI^NO.

oPREDELENIE 5. kOMPOZICIEJ R1

A B I R2

B

C NAZYWA-

ETSQ OTNO[ENIE R1 R2 = f(x; z) j 9y 2 B

((x; y) 2

R1^(y; z) 2 R2)g ,

PRI \TOM R1

R2 A C .

sWOJSTWO

2. R1

(R2

R3) = (R1 R2) R3 .

dOKAZATELXSTWO

.

zAMETIM

,

^TO

(x; y)

2 R1 (R2 R3) ()

() 9p ((x; p)

2 R1

^ (p; y)

2 R2 R3) ()

2 R3) .

() 9p

9q ((x; p)

2 R1

^ (p; q)

2 R2

^ (q; y)

aNALOGI^NO

,

UBEVDAEMSQ

,

^TO

(x; y) 2

(R1 R2) R3 ()

() 9p

2 R2

9q ((x; p)

2 R1 ^ (p; q)

^

(q; y)

2 R3) .

sWOJSTWO 3. (R1

R2);1 =

R;1

R;1 .

2

1

1

dOKAZATELXSTWO

.

zAMETIM

,

^TO

(x; y) 2 (R1

R2);

()

(y; x)

()

2

R1

R2

() 9

p ((y; p)

R1

^

(p; x)

2

R2)

() 1

p

1

1 2

(x; y)

R;

1

.

() 9

((p; y)

2

R;

^

(x; p)

2

R; )

()

2

R;

1

2

2

1

1.

pUSTX

x z .

w \TOM SLU^AE

y 2 Kx

() y

x ;

POSKOLXKU

x z , TO y x () y z () y 2 Kz , T.E.

y

2 Kx () y 2 Kz I,

ZNA^IT,

Kx = Kz .

2.

pUSTX

x 6 z . w \TOM SLU^AE Kx \ Kz

=

? , T.K. ESLI BY

SU]ESTWOWAL \LEMENT y TAKOJ, ^TO y 2 Kx

I y 2 Kz , TO BYLO BY

y x I y z =) x

z , ^TO PROTIWORE^IT USLOWI@.

tEOREMA DOKAZANA.

pRIMER 1. nA MNOVESTWE CELYH ^ISEL Z RASSMOTRIM BINARNOE

OTNO[ENIE R = f(x; y) j (x;y) . 3g . dOKAZATX, ^TO R | OTNO[ENIE

\KWIWALENTNOSTI, NAJTI WSE KLASSY \KWIWALENTNOSTI.

; x = 0 . 3 ,

rE[ENIE.

(x; x)

2 R PRI L@BOM x 2 Z ,

T.K.

x

PO\TOMU R | REFLEKSIWNO. eSLI (x; y) 2

R , TO

(x

; y) . 3 , T.E.

x;y = 3k , GDE k 2 Z . oTS@DA SLEDUET, ^TO y;x = ;3k

I, ZNA^IT,

(y; x)

2

R , PO\TOMU R | SIMMETRI^NO. nAKONEC, PUSTX (x; y) 2 R

I (y; z)

2 R , TOGDA x ; y = 3k I y ; z = 3l . oTS@DA SLEDUET, ^TO

mNOVESTWO ;f

= f(x; y) j x

2 A; y = f(x)g

NAZYWAETSQ GRAFI-

KOM FUNKCII f :

A ! B . zAMETIM, ^TO ;f

QWLQETSQ BINARNYM

29

OPREDELENIQ, A V (f) = ff(x) j x

2 Ag QWLQETSQ OBLASTX@ ZNA^ENIJ

FUNKCII f .

oPREDELENIE 2. fUNKCIQ f : X

! Y

NAZYWAETSQ

A) S@R_EKTIWNOJ, ESLI 8y 2 Y 9x 2

X (y = f(x)) ,

B) IN_EKTIWNOJ, ESLI 8x1; x2 2 X (x1 6= x2

! f(x1) 6= f(x2)) ,

W) BIEKTIWNOJ, ESLI ONA S@R_EKTIWNA I IN_EKTIWNA, ^TO MOVNO ZA-

PISATX TAK:

8y 2 Y

9! x

2 X (y = f(x)) .

pRIMER

1. fUNKCIQ

E : X ! X , WY^ISLQEMAQ PO PRAWILU

E(x) = x DLQ L@BOGO x 2 X , NAZYWAETSQ TOVDESTWENNOJ. o^E-

WIDNO, E | BIEKCIQ.

oPREDELENIE 3. eSLI f : A

! B , g : B

! C | FUNKCII, TO

IH KOMPOZICIEJ NAZYWAETSQ FUNKCIQ

(f g)

:

A ! C , KOTORAQ

WY^ISLQETSQ PO PRAWILU (f g)(x) = g(f(x))

DLQ L@BOGO x 2 A .

sWOJSTWO 1. pUSTX f : X ! Y , g : Y

! Z , TOGDA

A) ESLI f

I g c@R_EKTIWNY, TO f g

S@R_EKTIWNA,

B) ESLI f

I g IN_EKTIWNY, TO f g IN_EKTIWNA,

W) ESLI f I g BIEKTIWNY, TO f

g

BIEKTIWNA.

dOKAZATELXSTWO. pUSTX f I

g

{ c@R_EKTIWNYE FUNKCII. dLQ

DOKAZATELXSTWA S@R_EKTIWNOSTI f

g

RASSMOTRIM PROIZWOLXNYJ

\LEMENT c

2 Z . wWIDU S@R_EKTIWNOSTI FUNKCII g : Y ! Z SU-

]ESTWUET \LEMENT b 2 Y TAKOJ, ^TO c = g(b) . pOSKOLXKU FUNKCIQ

f : X ! Y

TAKVE S@R_EKTIWNA, TO MOVNO NAJTI \LEMENT a 2 X

TAKOJ, ^TO b = f(a) . iZ RAWENSTW c = g(b)

I b = f(a) SLEDUET,

^TO

c = g(f(a)) , T.E.

c = (f g)(a) , A \TO I OZNA^AET S@R_EKTIWNOSTX

FUNKCII f g .

pUSTX f

I g { IN_EKTIWNYE FUNKCII. dLQ DOKAZATELXSTWA IN_-

EKTIWNOSTI f g RASSMOTRIM PROIZWOLXNYE \LEMENTY x1; x2 2

X ,

x1 6= x2 . wWIDU IN_EKTIWNOSTI f

IMEEM, ^TO f(x1) 6= f(x2) .

pO-

SKOLXKU FUNKCIQ

TAKVE IN_EKTIWNA

TO

6

^TO

g

,

g(f(x1)) = g(f(x2)) ,