Дискретная математика методичка / DISKR 2003
.pdfministerstwo obrazowaniq rossijskoj federacii
obninskij institut atomnoj |nergetiki fAKULXTET ZAO^NOGO OBU^ENIQ
a. z. nasyrow, z. h. nasyrow
diskretnaq matematika
u^EBNOE POSOBIE
obninsk 2003
udk 519.4
nASYROW a. z., nASYROW z. h. dISKRETNAQ MATEMATIKA. u^EBNOE POSOBIE. { oBNINSK: iat|, 2003, { 84 S.
dANNOE POSOBIE PREDNAZNA^ENO DLQ IZU^ENIQ DISKRETNOJ MATEMATIKI STUDENTAMI ZAO^NOJ I WE^ERNEJ FORM OBU^ENIQ. pOSOBIE SODERVIT U^EBNYJ MATERIAL PO ALGEBRE LOGIKI, TEORII MNOVESTW, KOMBINATORIKE I TEORII GRAFOW; PRIWODQTSQ TEORETI^ESKIE SWEDENIQ W WIDE KRATKOGO KONSPEKTA LEKCIJ, UPRAVNENIQ DLQ PROWEDENIQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ, METODI^ESKIE UKAZANIQ PO RE[ENI@ ZADA^ I KONTROLXNYE ZADANIQ PO KURSU DISKRETNOJ MATEMATIKI. k UPRAVNENIQM DANY OTWETY I UKAZANIQ; ZNA^KOM o POME^ENY ZADA^I DLQ SAMOSTOQTELXNOGO RE[ENIQ.
iLL. 39, TABL. 11 , BIBLIOGR. 14 NAZW.
rECENZENTY:
KANDIDAT TEHNI^ESKIH NAUK, DOCENT o.m. gULINA, KANDIDAT FIZIKO-MATEMATI^ESKIH NAUK, DOCENT d.a. kAMAEW
c nASYROW a.z., nASYROW z.h., 2003 G.
c oBNINSKIJ INSTITUT ATOMNOJ \NERGETIKI, 2003 G.
g l a w a 1 algebra logiki
x1. wYSKAZYWANIQ. oPERACII DIZ_@NKCII,
KON_@NKCII I OTRICANIQ
wYSKAZYWANIEM BUDEM S^ITATX POWESTWOWATELXNOE PREDLOVENIE, QWLQ@]EESQ LIBO ISTINNYM, LIBO LOVNYM. pROIZWOLXNYE WYSKAZYWANIQ OBOZNA^A@TSQ BUKWAMI a , b , c , : : : , ISTINNOE WYSKAZYWANIE OBOZNA^AETSQ ^EREZ 1, LOVNOE - ^EREZ 0.
oPREDELENIE 1. wYSKAZYWANIQ a I b NAZYWA@TSQ RAWNOSILXNYMI, OBOZNA^AETSQ a = b , ESLI ONI LIBO OBA ISTINNY, LIBO OBA LOVNY.
sWOJSTWO 1. a = a .
sWOJSTWO 2. eSLI a = b , TO b = a . sWOJSTWO 3. eSLI a = b I b = c , TO a = c .
oPREDELENIE 2. kON_@NKCIEJ WYSKAZYWANIJ a I b NAZYWAETSQ WYSKAZYWANIE " a I b ", KOTOROE QWLQETSQ ISTINNYM LI[X KOGDA KAVDOE IZ WYSKAZYWANIJ a; b QWLQETSQ ISTINNYM. oBOZNA^AETSQ
KON_@NKCIQ TAK: ab , a ^ b , a & b , a and b . |
|
|
|
|
|
|
zNA^ENIQ KON_@NKCII OTRAVENY W TABL. 1. pOLXZUQSX \TOJ TAB- |
||||||
LICEJ LEGKO DOKAZATX SLEDU@]IE SWOJSTWA. |
|
|
|
|
|
|
sWOJSTWO 4. |
a 0 = 0 . |
|
tABLICA 1 |
|||
sWOJSTWO 5. |
a 1 = a . |
a |
b |
|
ab |
a _ b |
|
|
|
|
|
||
sWOJSTWO 6. a a = a | IDEMPOTENTNOSTX. |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
sWOJSTWO 7. a b = b a | KOMMUTATIWNOSTX. |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
|
sWOJSTWO 8. a(bc) = (ab)c | ASSOCIATIW- |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
|
NOSTX. |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
kON_@NKCI@ a1 a2 : : : an MOVNO OBOZNA^ITX TAK: |
V |
ai . |
||||
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
oPREDELENIE 3. dIZ_@NKCIEJ WYSKAZYWANIJ a I b |
NAZYWAETSQ |
|||||||||||
WYSKAZYWANIE " a |
ILI |
b ", KOTOROE ISTINNO, ESLI HOTQ BY ODNO IZ |
||||||||||
WYSKAZYWANIJ a; b |
QWLQETSQ ISTINNYM, ^TO I OTRAVENO W TABL. 1. |
|||||||||||
oBOZNA^AETSQ DIZ_@NKCIQ TAK : |
a _ b , |
a or b . |
|
|
|
|
||||||
sWOJSTWO 9. |
a _ 0 = a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sWOJSTWO 10. |
a |
_ 1 = 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sWOJSTWO 11. a |
_ a = a | IDEMPOTENTNOSTX. |
|
|
|
|
|||||||
sWOJSTWO 12. a |
_ b = b _ a | KOMMUTATIWNOSTX. |
|
|
|
||||||||
dOKAZATELXSTWA SWOJSTW 9 { 12 NEPOSREDSTWENNO POLU^A@TSQ IZ |
||||||||||||
OPREDELENIQ DIZ_@NKCII. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
sWOJSTWO 13. |
a |
_ (b |
_ c) = (a |
_ b) _ c |
| ASSOCIATIWNOSTX. |
|
|
|||||
dOKAZATELXSTWO. sDELAEM RAZBOR SLU^AEW PO PEREMENNOJ b ; DLQ |
||||||||||||
\TOGO NAJDEM ZNA^ENIQ LEWOJ ^ASTI ( LP ) I PRAWOJ ^ASTI ( RP ) DLQ |
||||||||||||
b = 0 I DLQ b = 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pUSTX b = 0 , TOGDA LP = a _ (0 |
_ c) = a _ c , RP = (a _ 0) |
_ c = |
||||||||||
= a _ c ; OTS@DA SLEDUET, ^TO LP = RP . |
|
|
|
|
|
|||||||
pUSTX b = 1 , TOGDA LP = a_(1_c) = a_1 = 1 , RP = (a_1)_c = |
||||||||||||
= 1 _ c = 1 ; OTS@DA SLEDUET, ^TO LP = RP . |
|
|
|
|
||||||||
iTAK, W KAVDOM IZ DWUH WOZMOVNYH SLU^AEW, ZNA^ENIQ LEWOJ I |
||||||||||||
PRAWOJ ^ASTEJ SWOJSTWA 13 SOWPADA@T, ^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX. |
||||||||||||
sWOJSTWO 14. |
a(b _ c) = ab _ ac . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
sWOJSTWO 15. |
a |
_ bc = (a _ b)(a _ c) . |
|
|
|
|
|
|
||||
dOKAVEM SWOJSTWO |
15. w |
|
|
|
tABLICA 2 |
|
|
|
||||
TABL. 2 DLQ WSEH WOZMOV- |
|
a |
b |
c |
a _ bc |
(a _ b) (a _ c) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
NYH ZNA^ENIJ |
a; b; c |
PRIWO- |
|
0 |
0 |
0 |
0 0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
DQTSQ REZULXTATY WYPOLNENIQ |
|
0 |
0 |
1 |
0 0 |
0 |
0 |
1 |
|
|||
OPERACIJ _ I |
^ |
W LEWOJ I |
|
0 |
1 |
0 |
0 0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
PRAWOJ ^ASTQH DANNOJ FOR- |
|
0 |
1 |
1 |
1 1 |
1 |
1 |
1 |
|
|||
MULY. sTOLBCY, WYDELENNYE |
|
1 |
0 |
0 |
1 0 |
1 |
1 |
1 |
|
|||
VIRNYM [RIFTOM, QWLQ@TSQ |
|
1 |
0 |
1 |
1 0 |
1 |
1 |
1 |
|
|||
ITOGOWYMI ZNA^ENIQMI LEWOJ |
|
1 |
1 |
0 |
1 0 |
1 |
1 |
1 |
|
|||
I PRAWOJ ^ASTEJ I, POSKOLX- |
|
1 |
1 |
1 |
1 1 |
1 |
1 |
1 |
|
|||
KU \TI STOLBCY ODINAKOWY, TO |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
SWOJSTWO 15 DOKAZANO. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dOKAZATELXSTWO SWOJSTWA 14 PROWODITSQ ANALOGI^NO.
4
n
dIZ_@NKCI@ a1 _ a2 _ : : : _ an MOVNO OBOZNA^ITX TAK: W ai .
i=1
oPREDELENIE 4. oTRICANIEM WYSKAZYWANIQ a NAZYWAETSQ WYSKAZYWANIE "NEWERNO, ^TO a ", KOTOROE ISTINNO LI[X KOGDA a LOVNO, ^TO I OTRAVENO W TABL. 3. oBOZNA^AETSQ OTRICANIE TAK: a , q a , not a .
sWOJSTWO 16. |
a _ |
a |
= 1 | ZAKON ISKL@^ENNOGO TRETXEGO. |
||||||||||||||||||||||||
sWOJSTWO 17. |
a |
|
= 0 | ZAKON PROTIWORE^IQ. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
sWOJSTWO 18. |
|
= a . |
tABLICA 3 |
||||||||||||||||||||||||
a |
|||||||||||||||||||||||||||
sWOJSTWO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. |
a1 _ a2 _ : : : _ an = a1 a2 : : : an . |
|
a |
|
a |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
sWOJSTWO |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
a1a2 : : : an = a1 _ a2 _ : : : _ an . |
|
0 |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
sWOJSTWA 19 I 20 NAZYWA@TSQ ZAKONAMI DE mORGA- |
|
1 |
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NA. pRIWEDEM DOKAZATELXSTWO SWOJSTWA 20.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
a1 = 1; |
, 8 |
a |
1 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 , a1a2 : : : an = 1 , |
|
|
|
|
, |
||||
|
a1 a2 : : : an |
: : : |
: : : |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< an = 1: |
< |
|
n = 0: |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|||||
, |
|
1 _ |
|
2 _ : : : _ |
|
n = 0 . |
: |
|
: |
|
|
|
|
||
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
||||||||
x2. oPERACII IMPLIKACII, \KWIWALENCII I SUMMY PO
MODUL@ 2
oPREDELENIE 1. iMPLIKACIEJ WYSKAZYWANIJ a I b NAZYWAETSQ WYSKAZYWANIE "ESLI a , TO b " ILI "IZ a SLEDUET b ", KOTOROE LOVNO LI[X KOGDA a ISTINNO, NO b LOVNO; OBOZNA^AETSQ IMPLIKACIQ TAK: a ! b , WYSKAZYWANIE a NAZYWAETSQ POSYLKOJ, b | ZAKL@^ENIEM. zNA^ENIQ IMPLIKACII PRIWEDENY W TABLICE 4.
sWOJSTWO 1. a ! b = a _ b | PRAWILO ISKL@^ENIQ IMPLIKACII. dOKAZATELXSTWO DANO W TABL. 4.
oPREDELENIE 2. |KWIWALENCIEJ WYSKAZYWANIJ a I b , OBOZNA^A- ETSQ a b , NAZYWAETSQ WYSKAZYWANIE " a \KWIWALENTNO b ", KOTOROE ISTINNO, KOGDA a I b RAWNOSILXNY, ^TO I OTRAVENO W TABL. 5.
sWOJSTWO 2. a b = a b _ a b | PRAWILO ISKL@^ENIQ \KWIWALENCII. dOKAZATELXSTWO DANO W TABL. 5.
a b = (a ! b)(b ! a) .
dOKAZATELXSTWO. pREOBRAZUEM PRAWU@ ^ASTX RAWENSTWA:
(a ! b)(b ! a) = (a _ b)(b _ a) = ab _ aa _ bb _ ab = ab _ ab = a b .
5
oPREDELENIE 3. sUMMOJ PO MODUL@ 2 WYSKAZYWANIJ a I b, OBOZNA^AETSQ a b , NAZYWAETSQ WYSKAZYWANIE "ILI a , ILI b ", KOTOROE ISTINNO, KOGDA ROWNO ODNO IZ \TIH WYSKAZYWANIJ QWLQETSQ ISTINNYM (SM. TABL. 5).
tABLICA 4
|
|
a ! b |
|
|
_ b |
a |
b |
|
a |
||
|
|
|
|
||
0 |
0 |
1 |
1 1 0 |
||
0 |
1 |
1 |
1 1 1 |
||
1 |
0 |
0 |
0 0 0 |
||
1 |
1 |
1 |
0 1 1 |
||
tABLICA 5
|
a b |
a b _ |
|
b |
a b |
||
a b |
a |
||||||
0 |
0 |
|
|||||
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|||
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sWOJSTWO 4. x y = x y .
dOKAZATELXSTWO \TOGO SWOJSTWA NEPOSREDSTWENNO SLEDUET IZ OPREDELENIQ \KWIWALENCII I SUMMY PO MODUL@ 2 (SM. TABL. 5).
sWOJSTWO 5. a b = a b _ a b | PRAWILO ISKL@^ENIQ SUMMY PO MODUL@ 2.
dOKAZATELXSTWO. iSPOLXZUQ SWOJSTWO 4, POLU^AEM a b = a b =
= ab _ ab = ab ab = (a _ b)(a _ b) = aa _ ab _ ab _ bb = ab _ ab .
sWOJSTWO 6. x 1 = x . sWOJSTWO 7. x x = 0 . sWOJSTWO 8. x y = y x .
dOKAZATELXSTWO SWOJSTW 6 - 8 MOVNO PROWESTI ISPOLXZUQ PRAWILO ISKL@^ENIQ SUMMY PO MODUL@ 2.
sWOJSTWO 9. x (y z) = (x y) z .
dOKAZATELXSTWO SWOJSTWA 9 MOVNO PROWESTI METODOM ISTINNOSTNYH TABLIC. zAMETIM, ^TO OBE ^ASTI \TOGO RAWENSTWA ISTINNY, ESLI IMEETSQ NE^ETNOE ^ISLO SLAGAEMYH, RAWNYH 1; W OSTALXNYH SLU^AQH OBE ^ASTI RAWENSTWA LOVNY.
sWOJSTWO 10. x(y z) = xy xz .
dOKAZATELXSTWO SWOJSTWA 10 LEGKO PROWESTI METODOM RAZBORA SLU^AEW PO PEREMENNOJ x .
x3. pROPOZICIONALXNYE FORMULY, BULEWY FUNKCII I
IH KOLI^ESTWO
oPREDELENIE 1. pROPOZICIONALXNOJ FORMULOJ (pf) NAZYWAETSQ
6
FORMULA, SOSTAWLENNAQ IZ LOGI^ESKIH KONSTANT 0 I 1, LOGI^ESKIH PEREMENNYH, PRINIMA@]IH \TI ZNA^ENIQ 0 I 1, S POMO]X@ SKOBOK I ZNAKOW LOGI^ESKIH OPERACIJ.
dLQ UMENX[ENIQ KOLI^ESTWA SKOBOK USTANAWLIWA@T SLEDU@]IE
PRIORITETY DLQ LOGI^ESKIH SWQZOK: q WYPOLNQETSQ W PERWU@ O^EREDX; ^ | WO WTORU@ O^EREDX;
_; ; !; | W TRETX@ O^EREDX.
pRIMER 1. (( q x) ! (y (xz))) ( q y) = (x ! (y xz)) y . dLQ PROPOZICIONALXNOJ FORMULY A(x1; x2; : : : ; xn) MOVNO SO-
STAWITX ISTINNOSTNU@ TABLICU EE ZNA^ENIJ DLQ WSEH NABOROW ZNA- ^ENIJ LOGI^ESKIH PEREMENNYH x1; x2; : : : ; xn . |TA TABLICA IMEET 2n STRO^EK. zNA^ENIQ PEREMENNYH x1; x2; : : : ; xn ZAPISYWA@T PEREWODQ ^ISLA 0; 1; 2; : : : ; 2n ; 1 W DWOI^NU@ SISTEMU S^ISLENIQ W PORQDKE IH WOZRASTANIQ (SM. TABL. 1 | 5).
oPREDELENIE 2. fUNKCIQ y = f(x1; x2; : : : ; xn) NAZYWAETSQ BULE-
WOJ (bf), ESLI xi 2 f0; 1g PRI i = 1; 2; : : : ; n , y 2 f0; 1g .
bULEWY FUNKCII MOVNO ZADAWATX ISTINNOSTNYMI TABLICAMI, A TAKVE UKAZYWATX PRAWILO IH WY^ISLENIQ S POMO]X@ PROPOZICIONALXNYH FORMUL.
tEOREMA O KOLI^ESTWE BULEWYH FUNKCIJ. iMEETSQ 22n RAZLI^- NYH BULEWYH FUNKCIJ OT n PEREMENNYH.
dOKAZATELXSTWO. eSLI FUNKCIQ IMEET n PEREMENNYH, TO W EE ISTINNOSTNOJ TABLICE IMEETSQ 2n STRO^EK. pOSKOLXKU W KAVDOJ STRO^KE BULEWA FUNKCIQ MOVET PRINIMATX DWA ZNA^ENIQ 0 I 1, TO WSEGO IMEETSQ 22n RAZLI^NYH BULEWYH FUNKCIJ OT n PEREMENNYH. w TABL. 6 PRIWEDENY WSE 16 BULEWYH FUNKCIJ OT DWUH PEREMEN-
NYH a I b .
eSLI BULEWA FUNKCIQ OT n PEREMENNYH ZADANA STANDARTNOJ TABLICEJ, STRO^KI KOTOROJ QWLQ@TSQ DWOI^NYMI ^ISLAMI, RASPOLOVENNYMI W PORQDKE WOZRASTANIQ OT 0 DO 2n ;1 , TO DOSTATO^NO UKAZATX STOLBEC ZNA^ENIJ FUNKCII. |TOT STOLBEC MOVNO NAPISATX CELIKOM, ODNAKO ^ASTO UKAZYWA@T NOMERA STRO^EK, NA KOTORYH FUNKCIQ ISTINNA. nAPRIMER, MOVNO NAPISATX
ILI f(a; b; c) = (0; 2; 3; 6;7) .
7
oPREDELENIE 3. pEREMENNAQ xi NAZYWAETSQ SU]ESTWENNOJ DLQ FUNKCII y = f(x1; x2; : : : ; xn) , ESLI MOVNO UKAZATX TAKIE ZNA^ENIQ
x |
, : : : , x |
1 |
, |
x |
, : : : , x OSTALXNYH PEREMENNYH, ^TO |
||||||
1 |
i |
|
|
i+1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
f(x ; : : :;; x |
|
; 0; x |
; : : : ; x ) = f(x |
; : : : ; x |
; 1; x |
; : : : ; x ) . |
||||
|
1 |
|
i;1 |
|
i+1 |
n 6 |
1 |
i;1 |
i+1 |
n |
|
pEREMENNAQ xi |
NAZYWAETSQ FIKTIWNOJ (NESU]ESTWENNOJ), ESLI |
||||||||||
|
f(x1; : : : ; xi;1; 0; xi+1; : : : ; xn) = f(x1; : : : ; xi;1; 1; xi+1; : : : ; xn) |
||||||||||
DLQ L@BYH ZNA^ENIJ OSTALXNYH PEREMENNYH. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
tABLICA 6 |
|
|
||
a b |
f0 |
f1 |
f2 |
f3 |
f4 |
f5 |
f6 |
f7 |
f8 |
f9 |
f10 |
f11 |
f12 |
f13 |
f14 |
f15 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pRIMER 1. fUNKCII f0 I f15 W TABL. 6 WOOB]E NE IME@T SU]ESTWENNYH PEREMENNYH { \TO KONSTANTY; f3 , f5 , f10 I f12 IME@T ODNU SU]ESTWENNU@ I ODNU FIKTIWNU@ PEREMENNU@, A OSTALXNYE FUNKCII IME@T DWE SU]ESTWENNYE PEREMENNYE.
x4. rEALIZACIQ BULEWYH FUNKCIJ MNOGO^LENAMI
vEGALKINA
oPREDELENIE 1. bUDEM S^ITATX, ^TO |
x = |
|
|
x; |
ESLI |
= 1; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x; |
|
ESLI |
= 0: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= 1 , x = ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
sWOJSTWO 1. x |
|
x |
|
= 0 , x = . |
|
|
||||||||
dOKAZATELXSTWO LEGKO PROWODITSQ RAZBOROM SLU^AEW PO PEREMEN- |
||||||||||||||
NOJ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oPREDELENIE 2. pOLNOJ \LEMENTARNOJ KON_@NKCIEJ PEREMENNYH |
||||||||||||||
x1; x2; : : : ; xn NAZYWAETSQ WYRAVENIE |
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
K(x1 ; x2; : : : ; xn) = x 1 x 2 |
: : : x n = |
|
|
|
|
|
x i : |
(1) |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
||||
eSLI W (1) NEKOTORYE SOMNOVITELI OTSUTSTWU@T, TO GOWORQT |
||||||||||||||
PROSTO OB \LEMENTARNOJ KON_@NKCII. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
sWOJSTWO 2. K(x1; x2; : : : ; xn) = 1 , xi = i DLQ WSEH ZNA^ENIJ |
||||||||||||||
i = 1; 2; : : : ; n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oPREDELENIE 3. |
mNOGO^LENOM vEGALKINA OT x1; x2; : : : ; xn NA- |
|||||||||||||
ZYWAETSQ PROPOZICIONALXNAQ FORMULA WIDA
8
|
|
n |
|
|
n n |
|
|
|
P |
|
P P |
|
|
g(x1; x2; : : : ; xn) = c0 i=1 cixi i=1 j=i+1 cijxixj |
|
|||||
|
n |
n |
n |
|
|
|
|
P P |
P |
|
cijkxixj xk : : : c12:::nx1x2 |
: : : xn; |
|
|
i=1 j=i+1 k=j+1 |
|
|
|||
GDE KO\FFICIENTY c0 , |
ci , |
cij ; : : : 2 f0; 1g . |
|
|||
pRIMER 1. oB]AQ FORMULA MNOGO^LENA vEGALKINA OT TREH PEREMENNYH a , b , c WYGLQDIT TAK:
g(a; b; c) = C0 C1a C2b C3c C12ab C13ac C23bc C123abc:
tEOREMA (O REALIZACII BULEWOJ FUNKCII MNOGO^LENOM vEGAL-
KINA). dLQ L@BOJ BULEWOJ FUNKCII f(x1; x2; : : : ; xn) |
IMEET MESTO |
||||
FORMULA |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x1; x2; : : : ; xn) = |
|
f( 1 |
; : : : ; n)x 1 x 2 |
: : : x n ; (2) |
|
|
|
|
|
1 2 |
n |
|
1 |
;::: ; n=0 |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
W KOTOROJ SUMMIROWANIE OSU]ESTWLQETSQ PO MODUL@ 2. |
|||||
dOKAZATELXSTWO. pRI FIKSIROWANNYH ZNA^ENIQH |
x1; x2 ; : : : ; xn |
||||
KON_@NKCIQ x 1 x 2 |
: : : x n |
ISTINNA, SOGLASNO SWOJSTWU 2, LI[X KOG- |
|||
1 2 |
n |
|
|
|
|
DA i = xi DLQ WSEH ZNA^ENIJ i = 1; 2; : : : ; n . sLEDOWATELXNO, W PRAWOJ ^ASTI FORMULY (2) MOVET BYTX OTLI^NO OT 0 TOLXKO ODNO
SLAGAEMOE f(x1; x2; : : : ; xn)xx11 x2x2 : : : xxnn , RAWNOE f(x1; x2; : : : ; xn) .
tEOREMA DOKAZANA.
eSLI FUNKCIQ f(x1; x2 ; : : : ; xn) NE RAWNA TOVDESTWENNO 0, TO FORMULU (2) MOVNO PEREPISATX TAK:
f(x1; x2; : : : ; xn) = |
|
x 1 x 2 : : : x n : |
(3) |
||
|
|
1 |
2 |
n |
|
f( 1 |
;::: ; n)=1 |
|
|
|
|
|
X |
|
WY^ISLQ@]EGO ZNA^E- |
||
dLQ POLU^ENIQ MNOGO^LENA vEGALKINA, |
|||||
NIQ FUNKCII f , DOSTATO^NO W FORMULE (2) ILI (3) |
WMESTO x0 |
, RAW- |
|||
|
|
|
|
i |
|
NOGO xi , PODSTAWITX (xi +1) , ZATEM RASKRYTX WSE SKOBKI I PRIWESTI PODOBNYE ^LENY.
eSLI BULEWA FUNKCIQ ZADANA S POMO]X@ FORMULY, TO DLQ NAHOVDENIQ EE MNOGO^LENA vEGALKINA DOSTATO^NO WYPOLNITX SLEDU@]IE PREOBRAZOWANIQ.
1. iSKL@^ITX OPERACII !;_;^; q PO FORMULAM
a ! b = a _ b , a _ b = a b , a b = a b , a = a 1 .
9
2. |
rASKRYTX WSE SKOBKI PO FORMULE a(b c) = ab ac . |
3. |
pRIWESTI PODOBNYE ^LENY PO FORMULAM aa = a , a a = 0 , |
a 0 = a . |
|
pRIMER 2. nAJTI MNOGO^LEN vEGALKINA DLQ BULEWOJ FUNKCII |
|
f(x1; x2; x3) = (1101 0100)T , ZDESX UKAZAN STOLBEC ZNA^ENIJ f W |
|
TABLICE ISTINNOSTI (SM. TABL. 7). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
rE[ENIE. pO FORMULE (3) ZAPI[EM SUMMU POL- |
|
tABLICA 7 |
|
||||||||||||||||||
NYH \LEMENTARNYH KON_@NKCIJ PO TEM STRO^- |
x1 |
x2 |
x3 |
|
f |
||||||||||||||||
KAM TABL. 7, GDE \TA FUNKCIQ QWLQETSQ ISTINNOJ: |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
||||||||||||||||
f(x1; x2; x3) = x10x20x30 x10x20x31 x10x21x31 x11x20x31 . |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
||||||||||||||||
pOSLE \TOGO ZAMENIM |
xi0 NA (xi |
|
1) , RASKROEM WSE |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
|||||||||||||
SKOBKI I PRIWEDEM PODOBNYE ^LENY PO FORMULAM |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
||||||||||||||||
x x = 0 , xx = x , x 0 = x . w REZULXTATE PO- |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
||||||||||||||||
LU^IM |
|
|
|
|
|
|
|
|
1)(x2 1)(x3 1) |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
|||||||
: f(x1; x2; x3) = (x1 |
|
||||||||||||||||||||
(x1 |
1)(x2 1)x3 |
(x1 |
1)x2x3 |
x1(x2 1)x3 = |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
||||||||||||
= x1x2 |
x1x3 x2x3 |
x1 |
x2 1 . |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
pRIMER 3. nAJTI MNOGO^LEN vEGALKINA DLQ BULEWOJ FUNKCII |
|||||||||||||||||||||
f(x; y) = (x y) _ ( |
|
|
! |
|
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
rE[ENIE. pRIMENQEM PRAWILA PREOBRAZOWANIQ 1 { 3, SM. WY[E. |
|||||||||||||||||||||
f(x; y) = (x y) _ ( |
|
! |
|
) = |
|
|
|
x = (x y)(y |
1)x 1 = |
||||||||||||
y |
x |
x y |
y |
||||||||||||||||||
= xxy xyy xx xy 1 = xy xy x xy 1 = xy x 1 . |
|
||||||||||||||||||||
x5. rEALIZACIQ BULEWOJ FUNKCII W dnf
oPREDELENIE 1. dIZ_@NKCIQ \LEMENTARNYH KON_@NKCIJ NAZYWAETSQ DIZ_@NKTIWNOJ NORMALXNOJ FORMOJ (dnf). dIZ_@NKCIQ POLNYH \LEMENTARNYH KON_@NKCIJ NAZYWAETSQ SOWER[ENNOJ dnf.
tEOREMA (O REALIZACII BULEWOJ FUNKCII W dnf). dLQ L@BOJ
BULEWOJ FUNKCII f(x1; x2; : : : ; xn) |
IMEET MESTO FORMULA |
||
|
1 |
|
|
f(x1; x2; : : : ; xn) = |
f( 1; : : : ; n)x 1 x 2 |
: : : x n : (1) |
|
|
|
1 2 |
n |
|
1;::: ; n=0 |
|
|
dOKAZATELXSTWO. pRI FIKSIROWANNYH ZNA^ENIQH |
x1; x2 ; : : : ; xn |
||
KON_@NKCIQ x 1 x 2 |
: : : x n ISTINNA LI[X, KOGDA i = xi DLQ WSEH |
||
1 2 |
n |
|
|
ZNA^ENIJ i = 1; 2; : : : ; n . sLEDOWATELXNO, W PRAWOJ ^ASTI FORMULY
10