Дискретная математика методичка / DISKR 2003

(1) MOVET BYTX OTLI^NOJ OT 0 TOLXKO ODNA \LEMENTARNAQ KON_@NK-

CIQ f(x1; x2; : : : ; xn)xx11 x2x2 : : : xxnn , RAWNAQ f(x1; x2; : : : ; xn) . tEORE-

MA DOKAZANA.

sLEDSTWIE. dLQ L@BOJ BULEWOJ FUNKCII, NE RAWNOJ TOVDESTWENNO NUL@, IMEET MESTO FORMULA

f( 1;::: ; n)=1

fORMULY (1) I (2) REALIZU@T BULEWU FUNKCI@ W SOWER[ENNOJ dnf | ONA OPREDELQETSQ ODNOZNA^NO PO DANNOJ FUNKCII f , NO PROIZWOLXNYH dnf, WY^ISLQ@]IH ZNA^ENIQ f , MOVET BYTX NESKOLXKO. tA IZ \TIH dnf, KOTORAQ IMEET NAIMENX[EE KOLI^ESTWO BUKW W SWOEJ ZAPISI, NAZYWAETSQ MINIMALXNOJ (PO LITERALAM).

pRIMER 1. sOWER[ENNAQ dnf DLQ f(a; b; c) = (1001 0111)T =

= (0; 3; 5;6; 7) WYGLQDIT TAK: f(a; b; c) = abc _ abc _ abc _ abc _ abc .

pRIMENQQ PRAWILO SKLEIWANIQ AB _ AB = B , MOVNO \TU dnf UPROSTITX TAK: f(a; b; c) = bc _ ac _ ab .

eSLI FUNKCIQ ZADANA S POMO]X@ PROPOZICIONALXNOJ FORMULY, TO DLQ PRIWEDENIQ EE K dnf MOVNO POSTROITX ISTINNOSTNU@ TABLICU I DALEE PRIMENITX PRAWILO SKLEIWANIQ. oDNAKO, ESLI FUNKCIQ ZAWISIT OT BOLX[OGO ^ISLA PEREMENNYH, TO ISTINNOSTNAQ TABLICA MOVET OKAZATXSQ GROMOZDKOJ. w \TOM SLU^AE MOVNO PRIWODITX pf K dnf METODOM PREOBRAZOWANIJ.

dLQ PRIWEDENIQ pf K dnf DOSTATO^NO 1) ISKL@^ITX OPERACII !; ;

a ! b = a _ b , a b = ab _ ab , a b = ab _ ab ;

2) PRIMENQQ ZAKONY DE mORGANA DOBITXSQ, ^TOBY OTRICANIQ BYLI LI[X OT PEREMENNYH I KONSTANT;

3) RASKRYTX SKOBKI I PRIWESTI PODOBNYE ^LENY PO FORMULAM: a(b _ c) = ab _ ac , a a = a , a 0 = 0 , a 1 = a , aa = 0 ,

a _ a = 1 , a _ 0 = a , a _ 1 = 1 , a _ a = a .

eSLI NEOBHODIMO POLU^ITX SOWER[ENNU@ dnf, TO W NEPOLNYH \LEMENTARNYH KON_@NKCIQH IME@]EJSQ dnf WMESTO OTSUTSTWU@- ]EGO SOMNOVITELQ xi WSTAWLQ@T (xi _ xi) I E]E RAZ RASKRYWA@T SKOBKI.

11

pRIMER 2. dLQ FUNKCII f(a; b; c) = (a b)(b ! (a c)) _ a ! c NAJTI SOWER[ENNU@ dnf.

rE[ENIE. iSKL@^AQ OPERACII !; ; POLU^AEM, ^TO

f(a; b; c) = (ab _ ab)(b _ ac _ ac) _ a _ c .

dALEE PRIMENQEM ZAKONY DE mORGANA, RASKRYWAEM SKOBKI I POSLE UPRO]ENIJ POLU^AEM DIZ_@NKTIWNU@ FORMU:

f(a; b; c) = (ab _ ab)(b _ ac _ ac) _ ac = ab _ abc _ abc _ ac .

dLQ POLU^ENIQ SOWER[ENNOJ dnf WSTAWIM SOMNOVITELI (c _ c) I (b _ b) W PERWU@ I ^ETWERTU@ \LEMENTARNU@ KON_@NKCI@; POSLE RASKRYTIQ SKOBOK, POLU^IM: f(a; b; c) = abc _ abc _ abc _ abc _ abc .

x6. tEOREMA O SOKRA]ENNOJ dnf. mINIMIZACIQ dnf

sWOJSTWO 1. pRI UDALENII L@BOGO SOMNOVITELQ IZ \LEMENTARNOJ KON_@NKCII EE OBLASTX ISTINNOSTI RAS[IRQETSQ W DWA RAZA.

dOKAZATELXSTWO. eSLI \LEMENTARNAQ KON_@NKCIQ K0 POLU^AETSQ IZ KON_@NKCII K UDALENIEM SOMNOVITELQ xi i , TO K ISTINNA TOLXKO PRI ODNOM ZNA^ENII xi = i , A K0 ISTINNA PRI DWUH ZNA^E- NIQH xi = 0 I xi = 1 . sWOJSTWO DOKAZANO.

oPREDELENIE 1. kON_@NKTOM (IMPLIKANTOJ) BULEWOJ FUNKCII f NAZYWAETSQ \LEMENTARNAQ KON_@NKCIQ K , OBLASTX ISTINNOSTI KOTOROJ QWLQETSQ PODMNOVESTWOM OBLASTI ISTINNOSTI f .

tAKIM OBRAZOM KON_@NKT FUNKCII f QWLQETSQ ISTINNYM NA NEKOTORYH IZ TEH STRO^EK TABLICY ISTINNOSTI, GDE ISTINNA f , I PRINIMAET ZNA^ENIE LOVX NA WSEH STRO^KAH, GDE LOVNA FUNKCIQ f . wOZXMEM NEKOTORYJ KON_@NKT K0 FUNKCII f I UDALIM IZ NEGO TAKOJ SOMNOVITELX, ^TOBY POLU^ILASX \LEMENTARNAQ KON_@NKCIQ K1 , OSTA@]AQSQ KON_@NKTOM \TOJ FUNKCII. tAKIM VE OBRAZOM IZ K1 POLU^IM KON_@NKT K2 I T.D. pOSKOLXKU PRI KAVDOM UDALENII SOMNOVITELQ OBLASTX ISTINNOSTI KON_@NKCII RAS[IRQETSQ W DWA RAZA, TO NA NEKOTOROM \TAPE POLU^ITSQ KON_@NKT Ki TAKOJ, ^TO UDALENIE L@BOGO EGO SOMNOVITELQ PRIWEDET K \LEMENTARNOJ KON_-

@NKCII, NE QWLQ@]EJSQ KON_@NKTOM FUNKCII f .

oPREDELENIE 2. kON_@NKT K FUNKCII f NAZYWAETSQ PROSTYM, ESLI IZ NEGO NELXZQ UDALENIEM KAKOGO-LIBO SOMNOVITELQ POLU^ITX

12

BOLEE KOROTKIJ KON_@NKT K0 DLQ TOJ VE FUNKCII f .

tEOREMA O MINIMALXNOJ dnf. mINIMALXNAQ dnf SOSTOIT TOLXKO IZ PROSTYH KON_@NKTOW.

dOKAZATELXSTWO. pUSTX K1 _ K2 _ : : : _ Ks MINIMALXNAQ dnf FUNKCII f . eSLI BY, NAPRIMER, KON_@NKT K1 NE BYL PROSTYM, TO UDALENIEM SOMNOVITELEJ IZ NEGO MOVNO BYLO BY POLU^ITX PROSTOJ KON_@NKT K10 . tOGDA K10 _K2_: : :_Ks { dnf FUNKCII f , IME@]AQ MENX[EE ^ISLO BUKW, ^TO PROTIWORE^IT MINIMALXNOSTI ISHODNOJ dnf. tEOREMA DOKAZANA.

oPREDELENIE 3. sOKRA]ENNOJ dnf FUNKCII f NAZYWAETSQ DIZ_- @NKCIQ WSEH EE PROSTYH KON_@NKTOW.

tEOREMA O SOKRA]ENNOJ dnf. l@BAQ BULEWA FUNKCIQ NAQ TOVDESTWENNO NUL@, RAWNA SWOEJ SOKRA]ENNOJ dnf.

dOKAZATELXSTWO. pUSTX P1; P2; : : : ; Pk WSE PROSTYE KON_@NKTY

FUNKCII f . dOKAVEM RAWENSTWO f(x1; : : : ; xn) = P1(x1; : : : ; xn)_ _P2(x1; : : : ; xn) _ : : : _ Pk(x1; : : : ; xn) . rASSMOTRIM PROIZWOLXNYJ NABOR (a1; : : : ; an) I RAZBEREM 2 SLU^AQ.

1) f(a1; : : : ; an) = 0 , TOGDA WSE Pi(a1; : : : ; an) = 0 , T.K. ONI QWLQ- @TSQ KON_@NKTAMI FUNKCII f . oTS@DA SLEDUET, ^TO DIZ_@NKCIQ

Pi(a1; : : : ; an) PO WSEM ZNA^ENIQM i = 1; 2; : : : ; k TOVE RAWNA 0 I ISKOMOE RAWENSTWO WERNO.

2) f(a1; : : : ; an) = 1 , TOGDA KON_@NKT K = x1a1 xa22 : : : xann RAWEN 1 NA \TOM NABORE. eSLI KON_@NKT K QWLQETSQ PROSTYM, TO ON IME-

ETSQ SREDI P1; P2; : : : ; Pk I, SLEDOWATELXNO, IH DIZ_@NKCIQ RAWNA 1 NA NABORE (a1; : : : ; an) . eSLI K NE QWLQETSQ PROSTYM, TO UDALENIEM NEKOTORYH SOMNOVITELEJ IZ NEGO POLU^AETSQ ODIN IZ PROSTYH KON_- @NKTOW, KOTORYJ I RAWEN 1 NA NABORE (a1; : : : ; an) I, ZNA^IT, SNOWA DIZ_@NKCIQ WSEH PROSTYH KON_@NKTOW RAWNA 1. tEOREMA DOKAZANA.

sLEDSTWIE. mINIMALXNAQ dnf POLU^AETSQ IZ SOKRA]ENNOJ UDALENIEM NEKOTORYH PROSTYH KON_@NKTOW (LIBO RAWNA EJ).

kAKIE IMENNO PROSTYE KON_@NKTY NADO UDALITX IZ SOKRA]ENNOJ dnf DLQ POLU^ENIQ MINIMALXNOJ dnf MOVNO UZNATX IZ TABLICY ISTINNOSTI DLQ PROSTYH KON_@NKTOW, SM. NIVE.

pRIMER 1. nAJTI SOKRA]ENNU@ I MINIMALXNU@ dnf FUNKCII f(x; y; z) = (1100 0111)T = (0; 1; 5; 6; 7) .

13

rE[ENIE. wYPI[EM STRO^KI 0; 1; 5;6; 7 , NA KOTORYH FUNKCIQ ISTINNA, TOGDA EE SOWER[ENNAQ dnf WYGLQDIT TAK:

f(x; y; z) = x0y0z0 _ x0y0z1 _ x1y0z1 _ x1y1z0 _ x1y1z1 .

nAHOVDENIE WSEH PROSTYH KON_@NKTOW BUDEM PROWODITX UDALQQ PEREMENNYE PO PRAWILU SKLEIWANIQ AB _ AB = A OTTALKIWAQSX OT SOWER[ENNOJ dnf FUNKCII f . wMESTO KON_@NKTA K = x y z BUDEM PISATX SAMU STROKU ( ; ; ) , PO KOTOROJ K OBRAZOWAN. pROCEDURA SKLEIWANIQ BUDET WYGLQDETX TAK: 110 _ 010 = ;10 WMESTO

nABORY 0;1; 5; 6; 7 NA KOTORYH f RAWNA 1 ZAPI[EM, SORTIRUQ IH W GRUPPY PO KOLI^ESTWU EDINIC, I NAHODIM WSE WARIANTY DLQ PRIMENENIQ PRAWILA SKLEIWANIQ (SKLEIWA@]IESQ STRO^KI NAHODQTSQ W SOSEDNIH GRUPPAH). w REZULXTATE, SKLEIWANIEM KON_@NKTOW (0) I (1), (1) I (5), (5) I (7), (6) I (7), POLU^IM ZAMENQ@]IE IH KON_@NKTY

(0; 1) = 00; , (1; 5) = ;01 , (5; 7) = 1 ;1 , (6; 7) = 11; . kON_@NKTY

(0), (1), (5), (6) I (7) W REZULXTATE SKLEIWANIQ PROPALI. w ITOGE, OSTALISX ^ETYRE KON_@NKTA: 00; , ;01 , 1 ; 1 I 11; . pRAWILO SKLEIWANIQ PRIMENITX K NIM NEWOZMOVNO I W REZULXTATE POLU^I-

LASX SOKRA]ENNAQ dnf: f(x; y; z) = (00;)_(;01)_(1;1)_(11;) =

= x y _ yz _ xz _ xy .

pO TABLICE ISTINNOSTI DLQ PROSTYH KON_@NKTOW WIDNO (SM. TABL. 8), ^TO KON_@NKTY x y I xy NELXZQ UDALITX, A IZ DWUH OSTAW- [IHSQ KON_@NKTOW MOVNO ODNOGO UDALITX, T.E. f(x; y; z) IMEET DWE

MINIMALXNYE dnf: f(x; y; z) = x y _ yz _ xy = x y _ xz _ xy .

14

x7. rELEJNO-KONTAKTNYE SHEMY

oPREDELENIE 1. kONTAKTOM (PEREKL@^ATELEM, DWUHPOL@SNIKOM) NAZYWAETSQ USTROJSTWO, KOTOROE MOVET IMETX DWA SOSTOQNIQ: 0 I 1. eSLI K IME@]IMSQ U USTROJSTWA DWUM POL@SAM PODATX NAPRQVENIE, TO W SOSTOQNII 1 WOZNIKAET TOK, A W SOSTOQNII 0 USTROJSTWO TOK NE PROPUSKAET.

fIZI^ESKI KONTAKTY MOVNO REALIZOWATX S POMO]X@ RELE ILI SOOTWETSTWU@]IH TRANZISTORNYH SHEM.

iZ KONTAKTOW, SOEDINQQ IH W POL@SAH, MOVNO SOBRATX KONTAKTNU@ SHEMU, W KOTOROJ WYDELQ@TSQ DWA POL@SA I PODAETSQ NA NIH NAPRQVENIE. w ZAWISIMOSTI OT SOSTOQNIJ KONTAKTOW WSQ SHEMA LIBO PROPUSKAET TOK (SOSTOQNIE 1), LIBO NE PROPUSKAET (SOSTOQNIE 0). eSLI SOSTOQNIQ KONTAKTOW PRINADLEVAT fx1; x1; x2; x2; : : : ; xn; xng , TO SOSTOQNIE SHEMY QWLQETSQ BULEWOJ FUNKCIEJ y = f(x1; x2; : : : ; xn) , KOTORAQ NAZYWAETSQ FUNKCIEJ PROWODIMOSTI SHEMY.

sWOJSTWO 1. eSLI SHEMA SOSTOIT IZ KONTAKTOW x1 I x2 , SOEDINENNYH POSLEDOWATELXNO (SM. RIS. 1), TO ONA IMEET FUNKCI@ PROWODIMOSTI y = x1 x2 ; ESLI VE SHEMU SOSTAWITX IZ KONTAKTOW x1 I x2 , SOEDINENNYH MEVDU SOBOJ PARALLELXNO (SM. RIS. 2), TO EE FUNKCIEJ PROWODIMOSTI BUDET y = x1 _ x2 .

tEOREMA 1. pO L@BOJ BULEWOJ FUNKCII f MOVNO POSTROITX KONTAKTNU@ SHEMU, DLQ KOTOROJ f QWLQETSQ FUNKCIEJ PROWODIMOSTI. dOKAZATELXSTWO. eSLI f(x1; x2; : : : ; xn) 0 , TO EJ SOOTWETSTWUET SHEMA NE IME@]AQ KONTAKTOW. eSLI VE f(x1; x2; : : : ; xn) 60 , TO EE MOVNO REALIZOWATX W dnf. kAVDU@ \LEMENTARNU@ KON_@NKCI@, IZ KOTORYH SOSTOIT dnf, REALIZUEM POSLEDOWATELXNOJ CEPO^- KOJ KONTAKTOW, MEVDU SOBOJ \TI CEPO^KI SOEDINIM PARALLELXNO. pOLU^ENNAQ SHEMA IMEET f SWOEJ FUNKCIEJ PROWODIMOSTI. tEORE-

MA DOKAZANA.

oDNU I TU VE FUNKCI@ PROWODIMOSTI MOGUT IMETX NESKOLXKO KONTAKTNYH SHEM. dLQ POSTROENIQ SHEMY S WOZMOVNO MENX[IM ^ISLOM KONTAKTOW OBY^NO ISPOLXZU@T MINIMALXNU@ dnf.

pRIMER 1. pOSTROITX KONTAKTNU@ SHEMU, FUNKCIEJ PROWODIMOS-

TI KOTOROJ QWLQETSQ f(x; y; z) = (1100 0111)T = (0;1; 5; 6; 7) .

15

rE[ENIE. w PREDYDU]EM PARAGRAFE DLQ \TOJ FUNKCII BYLI NAJDENY DWE MINIMALXNYE dnf. wOZXMEM ODNU IZ NIH, NAPRIMER, f(x; y; z) = x y_xz _xy . eSLI PO \TOJ dnf POSTROITX SHEMU, TO ONA BUDET SOSTOQTX IZ 6 KONTAKTOW, ESLI VE \TU dnf PREDWARITELXNO PREOBRAZOWATX TAK: f(x; y; z) = x y _ x(z _ y) , TO MOVNO POSTROITX SHEMU IZ 5 KONTAKTOW, IZOBRAVENNU@ NA RIS. 3.

RAWNOSILXNYMI.

w x1 I x2 BYLI PRIWEDENY SWOJSTWA LOGI^ESKIH OPERACIJ S WYSKAZYWANIQMI. |TI SWOJSTWA OSTA@TSQ SPRAWEDLIWYMI I DLQ PREDIKATOW, PRI^EM ONI WERNY DLQ L@BYH PREDIKATOW I IH OBLASTEJ OPREDELENIQ. tAKIE SWOJSTWA NAZYWA@TSQ OB]EZNA^IMYMI.

x9. kWANTORY I IH SWOJSTWA

NIEM KWANTORA SU]ESTWOWANIQ NA P (x) , ANALOGI^NO OBSTOIT DELO I S NAWE[IWANIEM KWANTORA WSEOB]NOSTI.

WSEGO MNOVESTWA M ; TAKAQ PEREMENNAQ x NAZYWAETSQ SWQZANNOJ.

eSLI DAN PREDIKAT P (x1; x2 ; : : : ; xn) , TO POSLE NAWE[IWANIQ NA NEGO KWANTORA SU]ESTWOWANIQ ILI WSEOB]NOSTI PO PEREMENNOJ xi

17

ab x

18

B(y) = 9x P(x; y) | ISTINNYJ DLQ y 2 [c; q] .

pRIMER 3. dLQ x 2 [;1; 2] , y 2 [;1; 2] NAJTI OBLASTX ISTINNOSTI PREDIKATA P (y) = 9x((y > x2) ^ (x > 0)) .

rE[ENIE. pREDIKAT A(x; y) = (y > x2) ^ (x > 0) QWLQETSQ ISTINNYM W OBLASTI, I(A) (SM. RIS. 5), TOGDA P (y) | ISTINNYJ DLQ

y 2 [0; 2] .

uPRAVNENIQ PO ALGEBRE LOGIKI

1.dOKAVITE METODOM ISTINNOSTNYH TABLIC:

A) a(b _ c) = ab _ ac ;

B) xy _ xz = xy _ xz _ yz | PRAWILO OBRAZOWANIQ SO@ZA;

W)o (x _ y)(x _ z) = (x _ y)(x _ z)(y _ z) | PRAWILO REZOL@CIJ.

2.dOKAVITE, ^TO

A) a(b1 _ b2 _ : : : _ bn) = ab1 _ ab2 _ : : : _ abn ; B)o a _ b1b2 : : : bn = (a _ b1)(a _ b2) : : : (a _ bn) ;

W) a1 _ a2 _ : : : _ an = a1 a2 : : : an .

3. dOKAVITE PRAWILA POGLO]ENIQ I SKLEIWANIQ:

4. pRIMENQQ ZAKONY DE mORGANA, DOBEJTESX ^TOBY OTRICANIQ BYLI LI[X OT \LEMENTARNYH WYSKAZYWANIJ:

8. s POMO]X@ PRAWILA ISKL@^ENIQ IMPLIKACII DOKAVITE, ^TO

10. s POMO]X@ PRAWILA ISKL@^ENIQ \KWIWALENCII DOKAVITE, ^TO

A) a b = b a ; B) (a b) c = a (b c) ;

W)o a(b c) = ab ac a .

o pRIWEDITE PRIMER, KOGDA ( ) = .

11. a b c 6 ab ac

12. s POMO]X@ PRAWILA ISKL@^ENIQ SUMMY PO MODUL@ 2 DOKAVITE:

14.uKAVITE SU]ESTWENNYE I FIKTIWNYE PEREMENNYE DLQ FUNKCIJ, ZADANNYH W TABL. 6.

15.nAJDITE MNOGO^LEN vEGALKINA DLQ BULEWOJ FUNKCII

A) f(x; y) = (1010)T ;

B) g(x; y; z) = (1010 0110)T ;

W) h(x; y; z; t) = (1111 1011 1101 0001)T = (0 ; 4; 6 ; 9; 11; 15) .

o nAJDITE MNOGO^LEN vEGALKINA DLQ BULEWOJ FUNKCII

16.

A) f(x; y) = (1000)T ;

B) g(x; y; z) = (0110 1000)T ; W) h(x; y; z; t) = (0; 1;8 ; 15) .

17. nAJDITE MNOGO^LEN vEGALKINA DLQ FORMULY