Правило перевода дробного числа из десятичной в систему счисления с любым другим основанием

Чтобы перевести дробное число из десятичной системы счисления в другую, необходимо исходную десятичную дробь:

1. умножить на основание новой системы счисления;

2. отдельно выписать целую часть полученного числа;

3. если дробная часть не равна нулю или не достигнута необходимая точность вычислений, то с дробной частью повторить пункты 1) и 2);

4. полученные целые части произведений составляют искомую дробь, в той последовательности, в которой они были получены.

Например, переведем 0,625₁₀ в двоичную систему счисления.

0,625  2 = 1,25; целая часть = 1; дробная часть = 0,25

0,25  2 = 0,5; целая часть = 0; дробная часть = 0,5

0,5  2 = 1; целая часть = 1; дробная часть = 0

Составляем двоичную дробь из целых частей сверху – вниз: 0,101.

Для проверки переведем полученный ответ опять в десятичную систему счисления.

0	-1	-2	-3
0,	1	0	1

1  2^–1 + 0  2^–2 + 1  2^–3 = 1  ½ ⁺ 0  ¼ + 1  ¹/₈ =

= 0,5 + 0 + 0,125 = 0,625

Если в исходном десятичном числе есть и целая, и дробная части, то отдельно надо перевести его целую часть путем последовательного деления на основание новой системы счисления и отдельно дробную путем последовательного умножения на основание новой системы счисления. Затем записать оба результата через запятую.

20,625₁₀= 10100,101₂

Перевод обеих частей см. выше.

1.3.2. Системы счисления, используемые в компьютере

Числа в двоичной системе занимают очень много места, и в процессе их написания человеку легко ошибиться. Но компьютер, напротив, понимает только двоичную систему счисления, при этом перевод из привычной человеку десятичной системы счисления занимает время. Поэтому при работе с компьютером часто используют «промежуточный вариант» – восьми- или шестнадцатеричные системы счисления. Например, для адресации памяти, вызова символа по коду и т. д. Числа в таких системах короче, чем двоичные, а в шестнадцатеричной системе даже короче, чем десятичные. При этом перевод чисел из/в двоичной системы счисления в/из систему счисления с основанием, равным степени двойки, производится очень просто. Для этого не надо производить никаких вычислений, подобных приведенным выше.

Перевод из восьми- и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную

1. Таблицы соответствий двоичных чисел с восьмеричными или шестнадцатеричными цифр представлены в таблице выше.

2. Двоичное число необходимо разложить справа налево на группы цифр по три для перевода в восьмеричную систему счисления или по четыре для перевода в шестнадцатеричную систему счисления. При необходимости число можно дополнить слева нулями, они не влияют на величину числа.

3. Каждой группе цифр по таблице сопоставляется в соответствие нужная цифра восьми- или шестнадцатеричной систем счисления.

Пример

1. Возьмем число 101011111₂.

2. Запишем его в виде 101 011 111 (для ясности между тройками цифр поставлены пробелы);

3. Из таблицы следует:

101 011 111

5 3 7

101011111₂ = 537₈

Теперь записываем то же число, распределив его цифры в группы по 4, начиная справа: 0001 0101 1111. Слева добавили три нуля. Теперь определяем по таблице соответствующие шестнадцатеричные цифры.

0001 0101 1111

1 5 F

В итоге, 101011111₂=537₈=15F₁₆

Для проверки можно перевести все числа в десятичную систему и сравнить их.

8	7	6	5	4	3	2	1	0		2	1	0		2	1	0
1	0	1	0	1	1	1	1	12		5	3	78		1	5	F16

1  2⁸ + 1  2⁶ + 1  2⁴ + 1  2³ + 1  2² + 1  2¹ + 1  2⁰ =

= 256 + 64 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 351

5  8² + 3  8¹ + 7  8⁰ = 5  64+ 3  8 + 7  1 = 320 + 24 + 7 = 351

(F соответствует десятичному числу 15)

1  6² + 5  16¹ + F  16⁰ = 1  256 + 5  16 + 15  1 = 256 + 80 + 15 = 351