Операция импликации

Позволяет получить сложное высказывание из двух простых высказываний и грамматической конструкции «если..., то...».

Такое сложное высказывание называют условное высказывание. Слово «то», можно заменить словом «следовательно». Часть импликации, идущая после слова «если», называется основанием, посылкой или антецедентом. Часть импликации, идущая после слова «то» называется следствием, заключением или консеквентом.

Импликация ложна тогда и только тогда, когда посылка истинна, а заключение – ложно. В остальных случаях импликация истинна.

Импликация обозначается знаками «  », «  ».

Таблица истинности для операции «импликация»

(А и В – исходные высказывания, 1 – истина, 0 – ложь):

А	B	АB
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Пример

Возьмем два высказывания «Сегодня идет дождь» и «На улице мокро». Построим сложное высказывание с импликацией: «Если сегодня идет дождь, то на улице мокро». Полученное сложное высказывание ложно, только если одновременно истинно «Сегодня идет дождь» и ложно «На улице мокро». Или, иными словами, когда истинны такие высказывания: «Сегодня идет дождь» и «На улице НЕ мокро». В остальных случаях сложное высказывание истинно. Когда истинны оба простых высказывания, истинно и сложное: «Сегодня идет дождь» – истинно, и «На улице мокро» – истинно, следовательно, «Если сегодня идет дождь, то на улице мокро» тоже – истинно. Сложнее понять, почему сложное высказывание с импликацией истинно, если ложна посылка (в нашем случае, когда ложно высказывание «Сегодня идет дождь»). На самом деле должно быть очевидно, что если «Сегодня НЕ идет дождь», то мы ничего не можем сказать о том, мокрые улицы или нет. Таким образом, из истины «Сегодня НЕ идет дождь» может следовать как «На улице мокро», тик и «На улице не мокро».

Такой случай называется истинностью в силу ложной посылки, или говорит, что из лжи может следовать все что угодно.

Операция эквиваленция

Это сложное высказывание содержит слова «если и только если», или «в том и только в том случай, когда», или «тогда и только тогда, когда». В общем виде такое высказывание выглядит так: «А, если и только если В». Оно получено из двух импликаций: «Если А, то В» и «Если В, то А».

Эквиваленция истинна, если оба исходных высказывания имеют одинаковые истинностные значения. С ее помощью можно получить сложное высказывание из двух импликаций.

Эквиваленция обозначается знаком «  ».

Таблица истинности для операции «эквиваленция»

(А и В – исходные высказывания, 1 – истина, 0 – ложь):

А	B	АB
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Пример

«Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда он является равноугольным». Если истинны оба высказывания «треугольник является равносторонним» и «треугольник является равноугольным», то полученное сложное высказывание истинно. Если оба простых высказывания ложны, т. е. истинны их отрицания «треугольник НЕ является равносторонним» и «треугольник НЕ является равноугольным», то полученное сложное высказывание «Треугольник НЕ является равносторонним тогда и только тогда, когда он НЕ является равноугольным» опять же истинно. В остальных случаях оно ложно.