1.4. Операции с двоичными числами
В основу работы ЭВМ положены арифметические и логические операции с двоичными числами.
Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами можно представить таблицами сложения, вычитания и умножения. Все действия в двоичной арифметике сводятся к поразрядному выполнению трёх указанных в таблице 3 операций.
Таблица 3
Арифметические действия над двоичными числами
|
Сложение |
Вычитание |
Умножение |
|
0 + 0 = 0 |
0 – 0 = 0 |
0 0 = 0 |
|
0 + 1 = 1 |
1 – 0 = 1 |
0 1 = 0 |
|
1 + 0 = 1 |
1 – 1 = 0 |
1 0 = 0 |
|
1 + 1 = 10 |
10 – 1 = 1 |
1 1 = 1 |
Правила арифметики во всех позиционных системах счисления аналогичны. В двоичной системе арифметическое сложение происходит так же, как в десятичной системе с учетом переноса единицы в старший разряд.
Пример 1. Выполнить операцию арифметического сложения (см. рисунок 1.1) в двоичной системе счисления. Точками показаны переносы.
Рис. 1.1. Пример выполнения сложения в 10-ной и 2-ной системах счисления
Следует заметить, что в реальных ЭВМ чаще всего используются 16-, 32-, 64-разрядные сетки (машинные слова). Однако для учебных целей рассматривается простой вариант выполнения операции сложения.
Поскольку для построения цифровых устройств (ЭВМ) была выбрана двоичная система счисления, то основой для построения элементов компьютерной системы и для разработки алгоритмов программ является аппарат алгебры логики или булевой алгебры.
Логические функции «И», «ИЛИ», «НЕ» представляют собой функционально полную систему, с их помощью можно получить любое сложное высказывание из простых.
В
сложных выражениях, сначала выполняется
операция ¬
(отрицание «НЕ»), затем
(конъюнкция «И») и в последнюю очередь
(дизъюнкция «ИЛИ»). На основе этих
логических функций и соответствующих
электронных элементов выполняются
более сложные функциональные узлы.
Отрицание можно представить с помощью следующей таблицы истинности (см. таблицу 4):
Таблица 4
Логическая функция «отрицание»
|
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
0 |
Конъюнкцию можно представить с помощью следующей таблицы истинности (см. таблицу 5):
Таблица 5
Логическая функция «конъюнкция»
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
Поскольку результат конъюнкции похож на результат обычного умножения чисел 0 и 1, эту операцию часто называют логическим умножением.
Дизъюнкцию можно представить с помощью следующей таблицы истинности (см. таблицу 6):
Таблица 6
Логическая функция «дизъюнкция»
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
Дизъюнкцию иногда называют логическим сложением, но здесь аналогия "портится" четвертой строчкой.