Справочник по математике

50

i

j

k

a

1

2 1

3i j 5k .

2

1

1

Запишем канонические уравнения прямой:

x

y 1

z 1

.

3

1

5

Ответ:

x

y 1

z 1

.

3

1

5

Вариант № 2

1. Найти косинус угла между прямыми:

x 2y 1 0,

3x 4y 3 0 .

Ответ:

1

.

5

2. Найти расстояние от точки M0( 5;2)

до прямой, проходящей через

точку M1(0;4) перпендикулярно вектору

n(1; 2) .

Ответ:

9

.

5

3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A 1,7, 2

перпендикулярно вектору

, если B 0,2, 4 ,

C 2,7, 3 .

BC

Ответ:

2x 5y z 35 0.

4. Найти расстояние от точки M0 2, 1,0

до плоскости, проходящей

через три точки M1 2,3,2 ,

M2 2,4,1 ,

M3 2,2,6 .

Ответ:

96

.

473

5. Найти точку пересечения прямой

x 4

y 3

z 6 и плоскости

2

5

1

6x 3y 3z 2 0 .

Ответ:

13

,

23

,

35

.

3

6

6

6. Написать канонические уравнения прямой:

4x y 3z 1 0,

3x y 4z 2 0.

Ответ:

x 1

y 27

z 8

.

1

25

7

51

Вариант № 3

1. Найти косинус угла между прямыми:

x 5y 5 0,

6x y 2 0 .

Ответ:

1

.

942

2. Найти расстояние от точки

M0(7; 1)

до прямой, проходящей через

две точки M1( 3;2) и M2(2;0) .

Ответ:

5

.

29

3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A 1, 1,5

B 0, 2, 1 ,

C 3,1, 1 .

перпендикулярно вектору BC , если

Ответ:

x y 0.

4. Найти расстояние от точки

M0 1, 4,0

до плоскости, проходящей

через три точки

M1 1,4, 2 ,

M2 3,0,9 ,

M3 2, 5,3 .

Ответ:

284

.

8990

5. Найти точку пересечения прямой

x

y 2

z 5

и плоскости

3x 2y z 6 0.

1

4

2

Ответ:

5

,

14

,

5

.

3

3

3

Таблица 21

Основные числовые множества

Обозначение и название

Задание множества

Геометрическое

изображение

1. N – множество нату-

N 1, 2, 3,

, n,

ральных чисел

2. Z – множество целых

Z

2,

1, 0, 1, 2, 3,

чисел

3. Q – множество рацио-

Q ={x : x

p

; p, q Z, q 0}

нальных чисел

q

4. R – множество дейст-

R x : x

вительных чисел

Таблица 22

Подмножества множества R (интервалы)

Название интервала

Обозначение и задание

Геометрическое

интервала

изображение

1. Открытый интервал

a,b x : a x b

2. Замкнутый интервал

a,b x : a x b

(отрезок)

3. Полуоткрытый ин-

1) a,b x : a x b ,

тервал

2) a,b x : a x b

Таблица 23

Логические символы

Понятие

Обозначение

Значение

1. Квантор общности

x

Для любого x

2. Квантор существования

x

Существует x

3. Следствие

A B

Если справедливо А, то спра-

ведливо В

4. Равносильность

A B

А справедливо тогда и только

тогда, когда справедливо В

Таблица 24

Определение функции, основные понятия

Понятие, обозначение

Определение

Аналитическое задание,

геометрический образ

1. Функция y f x

Закон, по которому каж-

y – функция (зависимая

дому элементу множест-

переменная),

ва D ставится в соот-

x – аргумент (независимая

ветствие некоторый

переменная)

элемент множества E

x D, y E

2. Область определения

Множество значений x ,

D y x : y y f (x)

функции D y

при которых функция y

определена

3. Область значений

Множество значений

E y y : x y f x

функции E y

функции y для всех

x D y

4. График функции Г f

Геометрическое место

График – это линия в R2

точек плоскости, коор-

динаты которых удовле-

творяют равенству

y f x , т.е.

f

x, y : y f (x)

5. Частное значение

Значение функции y

функции

при заданном значении

f a или y

аргумента x a

x a

Формула пре-

образования

Преобразование

Геометрическое

графика функ-

изображение

ции y f x

1.

y f x b

Параллельный перенос

вдоль оси Oy на

b

:

вверх, если b 0 ;

вниз, если b 0

2.

y f x a

Параллельный перенос

вдоль оси Ox на

a

:

вправо, если a 0;

влево, если a 0

3.

y kf x

Растяжение вдоль оси Oy в

k раз при k 1;

сжатие вдоль оси Oy в 1 k

раз при k 1

4.

y f kx

Сжатие вдоль оси Ox в k

раз при k 1;

растяжение вдоль оси Ox в

1 k раз при k 1

5.

y f x

Симметричное отображе-

ние относительно оси Ox

6. y f x

Симметричное отображе-

ние относительно оси Oy

Продолжение таблицы 25

Формула пре-

образования

Преобразование

Геометрическое

графика функ-

изображение

ции y f x

7.

y

f x

Часть графика, лежащая

выше оси Ox сохраняется,

а лежащая ниже оси Ox

отображается симметрично

относительно оси Ox

8.

y f

x

При x 0 график сохраня-

ется, а при x 0 график

получается, как отображе-

ние относительно оси Oy

части графика при x 0

Свойство, понятие

Определение

Геометрическое

изображение

1.

Четность функции

x, x D( y)

y f x

f x f x

График симметричен

относительно оси Oy

2.

Нечетность функции

x, x D( y)

y f x

f x f x

График симметричен

относительно начала

координат

3.

Периодичность

Существует такое чис-

функции y f x

лоT 0 (период функ-

ции), что для любого

x D y , для любого

k Z выполняется:

f x f x kT

4.

Знакопостоянство

а) x a,b

f x 0

функции y f x

б) x a,b

f x 0

5.

Нуль функции

Значение аргумента x

y f x

при котором y 0 .

Нуль x x1 – это абс-

цисса точки пересече-

ния графика функции

y f x с осью Ox

6.

Ограниченность

C 0 x

функции y f x

f x

C

Функция

Свойства функции

График

1. Линейная функция y kx b ,

k,b R

а) y kx b ,

Функция выражает прямую

График–прямая, k tg –

k 0

пропорциональную зависи-

угловой коэффициент

мость.

1)

D y R, E y R;

2)

y 0 при x

b

;

k

3)

b 0 y kx – нечетная

функция

б)

y b ,

k 0

y b – постоянная, четная

функция

2. Степенная функция y xn,

n R

а)

y x

2

n 2

Квадратичная функция.

График – парабола

1)

D y R, E y [0, ) ;

2)

y 0 при x 0 ;

3)

четная

n 3

б)

y x

3

Кубическая функция.

График – кубическая па-

1)

D y E y R;

рабола

2)

y 0 при x 0 ;

3)

нечетная

в)

y 1

n 1

Функция выражает обратную

График – гипербола

x

пропорциональную зависи-

мость.

1) D y E y ,0

0, ;

2)

нулей нет;

3)

нечетная

1

1)

D y E y [0, ) ;

График – полупарабола

г)

y

x n

y 0 при x 0

2

2)

Продолжение таблицы 27

Функция

Свойства функции

График

3. Показательная функция

y ax ,

1)

D y R, E y 0, ;

a 0, a 1

2)

нулей нет;

3)

с увеличением а, увеличи-

вается скорость роста функ-

ции, т.е. ax cx при a c

4. Логарифмическая функция

y loga x ,

1)

D y 0, , E y R;

a 0, a 1

2)

y 0

при x 1

5. Тригонометрические функции

а)

y sin x –

1) D y R,

E y 1,1 ;

синус

2) y 0

при

x k , k Z;

3)

нечетная;

4)

периодическая, T 2

б)

y cos x –

1) D y R,

E y 1,1 ;

косинус

2) y 0

при x 2 k , k Z;

3)

четная;

4)

периодическая, T 2

в)

y tg x –

1) D y – множество R, кроме

тангенс

x 2 k , k Z;

2) y 0

при

x k , k Z;

3)нечетная;

4)периодическая, T

г)

y ctg x –

1) D y – множество R, кроме

котангенс

x k ,

k Z;

2) y 0

при x 2 k , k Z;

3)

нечетная;

4)

периодическая, T

Продолжение таблицы 27

Функция

Свойства функции

График

6. Обратные тригонометрические функции

а) y arcsin x –

1) D y 1, 1 ,

арксинус

E y 2, 2 ;

б)

y arccos x –

1) D y 1, 1 ,

арккосинус

E y 0, ;

2) y 0 при x 1;

3) arccos x arccos x

в)

y arctg x –

1) D y , ,

арктангенс

E y 2,

2 ;

2) y 0 при x 0 ;

3) нечетная

г)

y arcctg x –

1) D y , ,

арккотангенс

E y 0, ;

2) нулей нет;

3) arcctg x arcctg x