Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский государственный энергетический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Справочник по математике

.pdf

Скачиваний:

219

Добавлен:

10.06.2015

Размер:

4.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 213 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Продолжение таблицы 6

Понятие

Определение, формула

Замечания

7. Ортого-

Преобразование, сохраняющее скалярное

Оно сохраняет так же

нальное пре-

произведение векторов, т.е.

длины векторов и уг-

образование

(Ах, Ау) = (х, у)

лы между векторами

Матрица ортогонального преобразования

Ортогональные мат-

– ортогональная матрица: S

Т S Е или

рицы являются мат-

S 1 SТ

рицами перехода ме-

жду ортонормиро-

ванными базисами

8. Приведе-

1) Метод Лагранжа: идея заключается в

ние квадра-

выделении полного квадрата по каждому

тичной фор-

аргументу квадратичной формы

мы к кано-

2) Метод собственных векторов:

Другое название –

ническому

а) записать матрицу В данной квадра-

метод ортогональ-

виду

тичной формы и найти ее собственные

ных преобразований

значения 1, , n ,

б) найти линейно независимую систему

собственных векторов e1,

,en и норми-

ровать их: e

, e

в) записать канонический вид квадра-

тичной формы k(x) y2

y2 ,

1 1

n n

где каждое k

взято с учетом кратности,

г) записать ортогональную матрицу S

перехода к базису из собственных векто-

ров, столбцы которой состоят из коорди-

натных столбцов векторов

e1,

,en ,

д) найти преобразование координат с

помощью формулы:

x S y .

Варианты самостоятельной работы по теме «Линейная алгебра»

Вариант № 1

1. Решить систему методом Крамера:

Решение: Вычислим

x y 3z 3,4x y 2z 5,

2x y 3z 0.

	1				1	3	1				1			2		1				4				2		3			4			1


	4 1					2
	2				1	3					1			3						2				3					2			1
	2				1	3			1( 3 2) 1( 12 4) 3( 4 2) 1 16 18 3,
									1( 3 2) 1( 12 4) 3( 4 2) 1 16 18 3,
			3		1	3				3		1		2			1						5	2			3				5	1


		5 1				2
1												1		3									0	3							0	1
		0			1	3						1		3									0	3							0	1
		0			1	3				3( 3 2) 1( 15 0) 3( 5 0) 3 15 15 3,
										3( 3 2) 1( 15 0) 3( 5 0) 3 15 15 3,
2				1	3	3				1			5	2		3					4			2		3				4		5


				4 5		2
				2	0	3							0	3							2			3						2		0
				2	0	3
									1( 15 0) 3( 12 4) 3(0 10) 15 48 30 3,
3				1	1	3		1				1		5		1			4					5	3			4				1


			4 1			5
			2		1	0						1		0					2					0				2			1
			2		1	0			1(0 5) 1(0 10) 3( 4 2) 5 10 18 3.
									1(0 5) 1(0 10) 3( 4 2) 5 10 18 3.
По теореме Крамера:													x	1				3				1,			y 2							3 1,	z 3		3	1.
По теореме Крамера:													x	1								1,			y 2							3 1,	z 3			1.
															3																	3		3
				Ответ:		x 1, y 1,									z 1.

x 3y 8z 3,

2. Решить систему методом Гаусса: 2x 5y z 1,

5x 13y 10z 1.

Решение: Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:

1		3	8	3	1 3			8	3	1 3			8	3
1		3	8	3	1 3			8	3	1 3			8	3

	2	5	1	1		0	1	15	7		0	1	15	7	.
	5	13	10	1		0	2	30	14		0	0	0	0
	5	13	10	1		0	2	30	14		0	0	0	0

В первом случае мы умножили первую строку матрицы на 2 и прибавили ее ко второй строке, а также, умножив первую строку на –5, прибавили ее к третьей строке. Во втором случае вторую строку умножили на 2 и прибавили ее к третьей строке. Получили ступенчатую матрицу. Выпишем по полученной матрице систему:

x 3y 8z 3,
	y 15z 7.

Эта система совместна. Из второго уравнения находим y 7 15z . Из пер-

вого уравнения находим	x 3 3y 8z 3 3( 7 15z) 8z 18 37z .
Ответ: x 18 37z,	y 7 15z .
3. Вычислить определитель четвертого порядка:
			1	4	0
		0	1	4	0
	D	2	3	1	5	.
		4	0	1	1
		0	4	1	2

Решение: Выполним следующее преобразование: умножим второй столбец на (–4) и прибавим его к третьему столбцу. Затем разложим полученный определитель по первой строке. Получим:

	0	1	0	0		2	13	5

	2	3	13	5
D					( 1)1 2	4	1	1	.
	4	0	1	1		0	15	2
	0	4	15	2

Умножая первую строку на (–2) и прибавляя ее ко второй строке, затем, раскладывая полученный определитель по первому столбцу, вычисляем:

		13	5				( 1)1 1 2					27		9
	2
	2
D ( 1)	0	27	9	( 1)											378.
	0	15	2									15		2
	0	15	2
Ответ: D 378 .
				1		2				2	1		0
4. Вычислить АВ, где					3			,		2	1		0
4. Вычислить АВ, где			A		3	1		,	B	0		1	5	.
					0	4				0		1	5
					0	4

								23
	1	2			2	1	0
Решение:	3				2	1	0
Решение:	3	1			0	1	5
	0	4			0	1	5
	0	4
1 2 2 0	1 1 2 ( 1)						1 0 2 5		2		1	10

3 2 ( 1) 0 3	1 ( 1)				( 1)		3 0 ( 1) 5			6	4 5		.
0 2 4 0	0 1		4 ( 1)				0 0 4 5			0	4	20
0 2 4 0	0 1		4 ( 1)				0 0 4 5			0	4	20
		2	1			10
Ответ: АВ = 6				4		5 .
		0	4			20
		0	4			20

5. Найти ранг матрицы:

	0	2	4
	1	4
	1	4	5
A	3	1	7	.
			10
	0	5	10
	2	3	0
	2	3	0

Решение: Воспользуемся методом элементарных преобразований.

	1		0	2	1 0			2	1 0			2
		4 1		5		0	1	3		0	1	3
		4 1		5		0	1	3		0	1	3
A
A		1	3	7		0	3	9		0	0	0	.
		5	0	10		0	0	0		0	0	0
		3	2	0		0	2	6		0	0	0
		3	2	0		0	2	6		0	0	0

Первая матрица получена перестановкой в матрице А первого и второго столбцов и умножением первой строки на 0,5. Вторая матрица получена следующим образом: ко второй строке прибавлена первая строка, умноженная на 4, из третьей строки вычтена первая строка, из четвертой строки вычтена первая, умноженная на 5, из пятой строки вычтена первая, умноженная на 3. С помощью проделанных действий обнулились элементы первого столбца ниже диагонали. Аналогичными действиями по отношению к элементам второго столбца получена третья матрица. Ранг последней равен двум.

Ответ: rangA 2 .

	3	1	0

6. Найти обратную матрицу к матрице A	2	1	1	.
	2	1	4
	2	1	4

Решение: Вычислим определитель этой матрицы.

					24
		1	0
	3	1	0
det A	2	1	1	5. Так как	detA 0, то обратная матрица существует.
	2	1	4

Найдем алгебраические дополнения всех элементов:

				1				2			1								2
A		1		1	5,		A	2			1		10,			A			2
11		1		4			12	2			4					13				2
		1		4				2			4									2
A			1		0	4,	A			3	0	12,				A							3
A			1		0	4,	A			3	0	12,				A							3
21			1		4		22			2	4					23							2
			1		4					2	4												2
A	1 0
A	1 0				1,		A		3		0			3,		A					3
31	1			1			32			2	1						33					2
	1			1						2	1											2
															5	4		1

Составим присоединенную матрицу AV														10 12				3 .

															0	1		1
															0	1		1

1 0,

1 1,

1 1. 1

Находим обратную матрицу, поделив каждый элемент присоединенной мат-

				4				1
			1
			1	5				5
				5				5
рицы на определитель матрицы А:	A	1	2	12				3	.
рицы на определитель матрицы А:	A		2		5			5	.


				1		1
			0	1		1

				5			5

				4				1
			1
			1	5				5
				5				5
Ответ:	A	1	2	12				3	.
Ответ:	A		2		5			5	.


				1		1
			0	1		1

				5			5

Вариант № 2

1. Решить систему методом Крамера:

Ответ: x 1, y 1, z 1.

3x y z 3,2x 2 y 4z 0,x 3y z 5.

2x 3y z 4,

2. Решить систему методом Гаусса: x 4 y 2z 2,

3x y z 6.

Ответ: x 2 2z /11, y 5z /11.

3. Вычислить определитель четвертого порядка:

												3	2			1
								1				3	2			1
						D		5				5	3			5	.
								3				3	5			2
								1				3	5			0
Ответ: D 98 .
										2		3	1						6	8	2
4. Вычислить АВ, где										1		0	1			B			2	5	1
4. Вычислить АВ, где							A			1		0	1	,		B			2	5	1	.
										2 5			4						4	3 8
										2 5			4						4	3 8
		10			34	15
Ответ: АВ = 2					5	6		.
					21	33
		6			21	33
											3	5	7
											1	2	3
5. Найти ранг матрицы: A											1	2	3		.
											1	3	5
											1	3	5
Ответ:	rangA 2 .
																		3	2	2
6. Найти обратную матрицу к матрице																A		1	3	1
6. Найти обратную матрицу к матрице																A		1	3	1	.
																		5	3	4
																		5	3	4
			9				2			4

			5			5				5
			5			5				5
	1		1			2				1
Ответ:	A										.
Ответ:	A		5			5				5	.
			12			1		7
			12			1		7
				5		5			5
				5		5			5

Вариант № 3

4x y z 6,

1. Решить систему методом Крамера: 2x 2 y 3z 3,

x y 4z 4.

Ответ: x 1, y 1, z 1.

x y 4z 1,

2. Решить систему методом Гаусса: 2x 4 y z 1,

3x 3y 5z 2.

Ответ: x ( 5 17z) / 6,		y (1 7z) / 6 .
3. Вычислить определитель четвертого порядка:
				1		2	4		1
				1		2	4		1
	D			3		6	1		0	.
				2		3	2		1
			1			4	5		1
Ответ: D 265 .
				1		1 2				0		2	1
4. Вычислить АВ, где		A			5	1	6	,			4	8	2
4. Вычислить АВ, где		A			5	1	6	,	B		4	8	2	.
					7	1 0					2 3		1
					7	1 0					2 3		1
0	4	1
Ответ: АВ = 16	16	3 .
	22	9
4	22	9

		4	3	2
5. Найти ранг матрицы:		0	2	1
	A
		0	0	3

Ответ: rangA 3.

6. Найти обратную матрицу к матрице


		7			5		13
				3		6		6
				3		6		6
	1	5			2				4
Ответ:	A									.
Ответ:	A	3			3				3	.
			1			1			1
			1			1			1
		3				6			6
		3				6			6

2
1 .
3
3
	2	3	2

A	1	2	3	.
	3	4	1
	3	4	1

2. Векторная алгебра

Таблица 7

Вектор на оси, плоскости и в пространстве

Понятие

Обозначение

Определение

Ось

Прямая линия с указанным на ней направлени-

ем.

Указанное направление – положительное, а

противоположное указанному – отрицатель-

ное

Вектор на

Направленный отрезок оси с начальной точкой

оси

А и конечной точкой В

Длина (мо-

Расстояние между началом и концом вектора

дуль) вектора

Алгебраи-

АВ

Число, равное его длине, взятой со знаком

ческая вели-

плюс, если направление вектора совпадает с

чина вектора

направлением оси, и со знаком минус, если на-

на оси

правление противоположно направлению оси

Вектор на

Направленный отрезок на плоскости или в

плоскости и в

a ,

пространстве

Коллинеар-

a || b

Векторы, лежащие на одной прямой или на па-

ные векторы

раллельных прямых

Компланар-

Векторы, лежащие в параллельных плоскостях;

ные векторы

если их привести к общему началу, то они ока-

жутся в одной плоскости

Равные век-

a = b

Коллинеарные векторы, имеющие одинаковые

торы

длины и одинаковые направления

Проекция

A1B1

прu

Алгебраическая величина вектора A1B1 на

вектора на ось

оси и, где A1

и B1 –

проекции точек А и В

на ось u .

прu

Здесь – угол между вектором

и поло-

cos

жительным направлением оси и.

10. Проекция

пр

A B

Вектор A B

, где A

и B – проекции точек

вектора на

А и В на плоскость α

плоскость

Таблица 8

Декартова система координат

Понятие

На плоскости

В пространстве

1. Декар-

Оху – две перпендикулярные оси,

Охуz – три взаимно перпенди-

това сис-

занумерованные в каком-нибудь

кулярные оси, занумерованные

тема ко-

порядке, и единая масштабная

в каком-нибудь порядке, и еди-

ординат

единица

ная масштабная единица

Оси называются координатными осями, причем

Ох – ось абсцисс,

Оу – ось ординат, Оz

– ось аппликат.

Точка пересечения осей – начало координат

2. Декар-

товы ко-

ординаты

точки М

М(х, у)

М(х, у, z)

x OM x – абсцисса, y OM y – ордината,

z OM z –

аппликата

3. Декар-

а( ax , a y ),

а (ax , ay , az ) ,

товы ко-

где ax прOxa ,

ay прOya

где ax прOxa ,

ay прOya ,

ординаты

az прOza

вектора а

Если а = M1M 2

M1(x1, y1), M 2 (x2 , y2 ) , то

M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) , то

ax x2 x1,

ay y2 y1

ax x2 x1,

ay y2 y1 ,

az z2 z1

4. Ради-

ус-вектор

Если М(х, у), то r(х, у)

Если М(х, у, z),

то r(х, у, z)

точки М

5. Длина

вектора а

6. Рас-

M1M2

стояние

(x2 x1)2 ( y2 y1)2

M1M 2

(x x )2

( y y )2 (z

z )2

между

точками

Продолжение таблицы 8

Понятие

На плоскости

В пространстве

7. Базис

Любые два неколлинеарных век-

Любые три некомпланарных

тора e1,e2

вектора e1,e2 ,e3

8. Орто-

Векторы, лежащие на координатных осях, имеющие длину, рав-

нормиро-

ную единице, и направленные в положительную сторону

ванный

Векторы i, j

Векторы i, j, k

базис

9. Разло-

1) a 1e1 2e2 ,

1) a 1e1 2e2 3e3 ,

жение

2) по ортонормированному:

вектора

a axi ay j ,

a axi ay j azk ,

по базису

где ax , ay

декартовы координа-

где

ax , ay ,az декартовы коор-

ты вектора а

динаты вектора а

10. На-

cos ,

cos и

cos , где ,

–

углы наклона вектора а к ко-

правляю-

ординатным осям Ох, Оу и Оz;

щие ко-

cos

cos2 cos2 cos2 1

синусы

| a |

вектора а

| a |

11. Деле-

Пусть М(х, у, z) делит отрезок

M M

пополам, тогда

ние от-

x1 x2

y1 y2

z1 z2

резка по-

полам

где M1(x1, y1, z1) , M 2 (x2 , y2 , z2 )

12. Деле-

Пусть М(х, у, z) делит отрезок

M M

в отношении , т.е.

ние от-

M1M

; если M1(x1, y1, z1) ,

резка в

M 2 (x2 , y2 , z2 ) , то

MM 2

отноше-

x1 x2

y1 y2

z1 z2

нии

13. Еди-

Вектор единичной длины,

т.е.

|a| = 1.

ничный

Направляющие косинусы являются координатами такого вектора:

вектор

a i cos j cos k cos

<<< < Предыдущая 1 23 / 213 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.03.201666.05 Кб19Социология_Лекция № 3.doc
#
13.08.20191.09 Mб88Сочинения_Рахман.doc
#
01.04.2025287.74 Кб0СПАУ р1.doc
#
10.06.201525.26 Кб14СПН 11-20.docx
#
10.06.20151.4 Mб33Справочник для поступающих на 2015 год.pdf
#
10.06.20154.57 Mб219Справочник по математике.pdf
#
10.06.20151.16 Mб77справочник по физике.pdf
#
01.04.20251.33 Mб1Справочник.doc
#
01.04.20251.14 Mб10Сравочник по ПиРЭЭ.doc
#
07.09.2019253.95 Кб10средние-студ.doc
#
10.06.2015253.27 Кб1433СТАНДАРТЫ.docx

1		3	8	3	1 3			8	3	1 3			8	3
1		3	8	3	1 3			8	3	1 3			8	3

	2	5	1	1		0	1	15	7		0	1	15	7	.
	5	13	10	1		0	2	30	14		0	0	0	0
	5	13	10	1		0	2	30	14		0	0	0	0

	1		0	2	1 0			2	1 0			2
		4 1		5		0	1	3		0	1	3
		4 1		5		0	1	3		0	1	3
A
A		1	3	7		0	3	9		0	0	0	.
		5	0	10		0	0	0		0	0	0
		3	2	0		0	2	6		0	0	0
		3	2	0		0	2	6		0	0	0

1		3	8	3	1 3			8	3	1 3			8	3
1		3	8	3	1 3			8	3	1 3			8	3

	2	5	1	1		0	1	15	7		0	1	15	7	.
	5	13	10	1		0	2	30	14		0	0	0	0
	5	13	10	1		0	2	30	14		0	0	0	0

	1		0	2	1 0			2	1 0			2
		4 1		5		0	1	3		0	1	3
		4 1		5		0	1	3		0	1	3
A
A		1	3	7		0	3	9		0	0	0	.
		5	0	10		0	0	0		0	0	0
		3	2	0		0	2	6		0	0	0
		3	2	0		0	2	6		0	0	0

1		3	8	3	1 3			8	3	1 3			8	3
1		3	8	3	1 3			8	3	1 3			8	3

	2	5	1	1		0	1	15	7		0	1	15	7	.
	5	13	10	1		0	2	30	14		0	0	0	0
	5	13	10	1		0	2	30	14		0	0	0	0

	1		0	2	1 0			2	1 0			2
		4 1		5		0	1	3		0	1	3
		4 1		5		0	1	3		0	1	3
A
A		1	3	7		0	3	9		0	0	0	.
		5	0	10		0	0	0		0	0	0
		3	2	0		0	2	6		0	0	0
		3	2	0		0	2	6		0	0	0