Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский государственный энергетический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Справочник по математике

.pdf

Скачиваний:

220

Добавлен:

10.06.2015

Размер:

4.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2118 19 20 21 > Следующая >>>

170

Окончание таблицы 83

б) Сведе-

P(x( y, z), y, z)dydz Q(x, y(x, z), z)dxdz

ние к сум-

Dyz

Dxz

Меняет

ме трех

свой знак

двойных

R(x, y, z(x, y))dxdy,

на обрат-

интегралов

Dxy

ный при

где Dyz ,

Dxz , Dxy – проекции поверхности S на

переходе

плоскости Оуz,

Oxz и Oxy,

соответственно;

выра-

на дру-

гую сто-

жения x( y, z), y(x, z), z(x, y) получены из уравнения

рону по-

поверхности S разрешением относительно соответ-

верхно-

ствующих координат; знак «+» берется, если угол

сти

между нормалью и осью Ох, Оу и Оz, соответст-

венно, острый,

и «–» – в противном случае

3. Формула

Пусть L – замкнутый контур, ограничивающий поверхность S,

Стокса

P(x, y, z),

Q(x, y, z),

R(x, y, z) – непрерывно диференцируемы,

тогда

J4 Pdx Qdy Rdz

dydz

dxdz

dxdy,

где направление нормали к поверхности S выбирается так, что-

бы со стороны нормали обход контура L совершался бы против

часовой стрелки.

В векторном виде:

Fdl

rotF

nds

4.Формула Пусть S – замкнутая гладкая поверхность, ограничивающая Остроградтрехмерную область Т, P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) – непре-

ского-

рывно дифференцируемы в Т + S, тогда

Гаусса

J6 Pdydz Qdxdz Rdxdy

dxdydz .

В векторном виде:

nds divFdxdydz

171

Варианты самостоятельной работы по теме «Криволинейные и поверхностные интегралы»

Вариант № 1

1. Вычислить криволинейный																				интеграл						(4x2 3							)dl	от	точки
1. Вычислить криволинейный																				интеграл						(4x2 3				y			)dl	от	точки
																										AB
A( 1,0) до точки B(0,1) по прямой.
Решение. Напомним, что уравнение прямой, проходящей через две
точки A(x , y ) и							B(x , y )							имеет вид							x x1			y y1				.
точки A(x , y ) и							B(x , y )							имеет вид														.
1	1				2							2									x2 x1			y2 y1
																					x2 x1			y2 y1
Составим					уравнение										прямой,						проходящей через								заданные						точки
A( 1,0) и	B(0,1) :
													x 1						y 0	, или y x 1.
													0 1						1 0	, или y x 1.
													0 1						1 0
Тогда
					0																			0					0
					0																			0					0
(4x2 3			)dl (4x2 3
(4x2 3		y	)dl (4x2 3													x 1) 1 12 dx 4 2 x2dx 3 2																		x 1d (x 1)
AB								1																		1					1
									x3									(x 1)3 / 2
		4									\|01 3											\|01	4 2		2				2 2			.
						2									2								4 2				2		2 2
						2									2												2
					3												3/ 2			3									3

Ответ.				2	2					.
Ответ.										.
					3

2. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода (x2 y2 z2 )dl по

кривой L : x t cost sin t, y t sin t cost, z t2, t [0,2 ] .

Решение. Данная кривая задана в пространстве параметрическими уравнениями. Предварительно вычислим


	x t sint, y t cost, z 2t ,
	t	t		t

отсюда dl	(t sin t)2 (t cost)2 (2t)2 dt
отсюда dl	(t sin t)2 (t cost)2 (2t)2 dt		5tdt . Тогда

															172
(x2	y2 z2 )dl							2		(t cost sin t)2 (t sin t cost)2 t4 tdt
(x2	y2 z2 )dl						5			(t cost sin t)2 (t sin t cost)2 t4 tdt
L									0
												2		(1 t2 t4 )tdt
										5				(1 t2 t4 )tdt
													0
	2		3		5						t		2		t	4	t	6			2		2		4	32	6
5		(t t	3	t	5	)dt					t				t		t				2	5(2	2	4	4	32	6
									5(										)								)
									5(										)								)
	0										2				4		6			0						3
	0

Ответ. 5(22 44 323 6) .

3. Найти массу кривой L : y ln x, x [1,e], если линейная плотность в

каждой точке равна (x, y) kx2, k const .

Решение. Для вычисления массы используем формулу m (x, y)dl .

Получим

1 x

m kx2dl k x2 1 (ln x) 2 dx k x2

dx k x2

(1 x

2 3 / 2

(1 e2)3 / 2 2

k x 1 x2 dx

1 x2 d (1 x2)

)

|1e

3/ 2

(1 e2 )3 / 2 2

Ответ.

4. Вычислить криволинейный интеграл

(4x y)dx xdy

по кривой

L : y x3, 0 x 1.

Решение. Имеем

						1	1
(4x y)dx xdy (4x x3)dx xdx3						(4x x3	3x3)dx (4x 2x3)dx
L	L					0	0
	(4	x2	2	x4	) 1	2 1/ 2 5/ 2 .
	(4		2		) 1	2 1/ 2 5/ 2 .
	2		4		\|0
	2		4

Ответ. 5/ 2 .

			173
5.	Вычислить		криволинейный интеграл		ydx xdy по кривой
					L
L : x2	y2	1 с положительным направлением обхода.
L : x2	4	1 с положительным направлением обхода.
	4
Решение. Заданная кривая является эллипсом, запишем параметриче-
ские уравнения: x cost, y 2sin t, t [0,2 ]. Тогда
				2	2sin2 tdt 2cos2 tdt
ydx xdy 2sin td (cost) costd (2sin t)					2sin2 tdt 2cos2 tdt
L		L		0
		2	2
		2	(sin2 t cos2 t)dt 2 dt 2t\|02 4 .
	0		0
Ответ. 4 .
6. Вычислить криволинейный интеграл				( y2 z2 )dx 2 yzdy x2dz по
				L
кривой L : x t, y t2, z t3 от точки A(0,0,0)				до точки B(1,1,1) .

Решение. Подставив в уравнения кривой вместо x, y, z координаты точки A(0,0,0) , получим t 0, t2 0, t3 0, отсюда t 0. Аналогично, под-

ставив координаты точки B(1,1,1) , найдем t 1, t2 1, t3 1, отсюда t 1. Находим

( y2 z2 )dx 2 yzdy x2dz (t4 t6 )dt 2t2t3dt2 t2dt3

L						L
	1
			(t4 t6 4t6 3t4 )dt
	0
1	(2t4 3t6)dt (2			t5	3	t7	)	1		2	3		14 15	1	.
1	(2t4 3t6)dt (2				3		)								.
	5					7	\|		5		7	35		35
0	5					7		0	5		7	35		35
0
Ответ.		1	.
Ответ.	35		.
	35
7. Найти площадь плоской						области,					ограниченной			кардиоидой
x 2cost cos2t, y 2sin t sin 2t .
Решение. Воспользуемся формулой									S dxdy xdy . Получим
										G			L

174

S xdy (2cost cos 2t)d (2sin t sin 2t)

L		L
	2
		(2cost cos 2t)(2cost 2cos 2t)dt
	0
2		(4cos2 t 6cost cos 2t 2cos2 2t)dt
		(4cos2 t 6cost cos 2t 2cos2 2t)dt
	0

(2 2cos 2t 3cost 3cos3t 1 cos 4t)dt

(2t sin 2t 3sin t sin 3t t sin 4t / 4)|02 6 .

Ответ. 6 .

8. Вычислить интеграл y2dx (x y)2 dy по контуру треугольника с

вершинами A(2,0) , B(2,2) , C(0,2) с помощью формулы Грина. Решение. Сопоставив наш интеграл с формулой Грина


	Q	P
			dxdy P(x, y)dx Q(x, y)dy ,
G	x	y		L
определим, что P(x, y) y2,			Q(x, y) (x y)2 .

Отсюда Q P 2(x y) 2 y 2x . Тогда

x y

	y2dx (x y)2 dy		2xdxdy 22 xdx	2	dy	2 x2dx (x3	/ 3) 2	8/ 3
							\|0
L		G	0	2 x		0

Ответ. 8/3.

9. Вычислить, если это возможно, интеграл

(x4 4xy3)dx (6x2 y2 5y4 )dy , где A( 2, 1) , B(3,0) .

				175
	Решение.	Пусть	P x4 4xy3,Q 6x2 y2 5y4 , тогда			P 12xy2	,
						y
Q	12xy2 , то есть P		Q	. Таким образом, интеграл не зависит то пути
x		y	x
интегрирования		и		можно	воспользоваться	формулой
	P(x, y)dx Q(x, y)dy U (x2, y2) U (x1, y1) . Найдем функцию U (x, y) :
AB
	x		y	x	y
	U (x, y) P(x,0)dx Q(x, y)dy c x4dx (6x2 y2 5y4)dy c
	0		0	0	0

x5 / 5 2x2 y3 y5 c .

Тогда

(x4 4xy3)dx (6x2 y2 5y4)dy U (x2, y2) U (x1, y1)

243/ 5 32/ 5 8 1 55 7 62.

Ответ. 62.

10. Вычислить массу материальной полусферы x2 y2 z2

a2 ,

z 0 ,

плотность которой M

Решение. Пусть m – искомая масса поверхности, обозначим ее буквой

« ». По формуле массы поверхности имеем:

zd .

Поверхность

, которую

можно

задать

явно

уравнением

a2 x2 y2 ,

взаимно однозначно

проектируется

на

круг

D x, y | x2 y2 a2 . Найдем частные производные:

z	x	, z	y	.


x	a2 x2 y2	y	a2 x2 y2
	a2 x2 y2		a2 x2 y2

176

С использованием полученных преобразований, вычислим массу поверхности:

a2 x2 y2

dxdy

a2 x2 y2

a D

a2 x2 y2

dxdy dxdy a2 .

a2 x2 y2

a D

Ответ. a2 .

11. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

xydydz ,

где

- нижняя сторона параболоида

z 4 x2 y2 , расположенная в первом ок-

танте.

Решение. Вычислим единичный вектор нормали, определяющий нижнюю сторону поверхности. Нижняя сторона поверхности определяется усло-

вием cos M 0 .

x, y

4 y

zx x, y 2x ,

zy x, y 2 y ,

1 zx

x, y zy

Тогда единичным вектором будет вектор

2xi 2 yj k

n0 M

zx x, y i

zy x, y j k

1 z 2 x, y z

x, y

1 4x2

4 y2

E
i	y

2 x

177

Получаем:

cos M

при

x 0 и приэтом

1 4x2 4 y2

cos M

0 .

1 4x2 4 y2

Поверхность Σ имеет явное задание x 4 y 2 z

и взаимно однознач-

но проектируется на область E y, z | 0 y 2, 0 z 4 y2 .

Поскольку cos M 0 , то выбирая знак минус перед двойным инте-

гралом, по формуле для вычисления поверхностных интегралов второго рода для случая явного задания поверхности запишем:

														2			4 y2
														2			4 y2			4 y2 z ydz .
		I xydydz							4 y2 z ydydz dy											4 y2 z ydz .
							E							0			0
Отдельно вычислим внутренний интеграл:
4 y2						4 y2						1														3	4 y	2

									4 y2 z 2d 4 y2 z														2	4 y2 z
		4 y2
					z ydz y													y								2
					z ydz y													y								2
0							0											3
0							0																				0
													3					3


							2	y			4 y2				2	y 4 y2					.
							2						2		2				2
													2						2
							3							3

Окончательно имеем:
				2	3							2		3										5	2
					3									3										5	2

	I		2		y 4 y2 2 dy						2	y 4 y2 2 d 4 y2										2		4 y2 2
	I				y 4 y2 2 dy					3 2		y 4 y2 2 d 4 y2										3 5		4 y2 2
	3			0						3 2		0										3 5
				0								0													0

152 0 42 152 32 1564 .

Ответ. 1564 .

Вариант № 2

1. y2dl , где L – циклоида x a(t sint), y a(t cost),0 t 2 .

			178
2.	x2dl , где L – верхняя половина окружности				x2 y2 4 между
	AB
точками A(2,0) , B( 2,0) .
3.	ydl ,	где L –	дуга параболы y2 2x от точки		A(2, 2) до точки
	L
B(8,4) .
4.	(x2 y2 z2 )dl		, где L: x a(t sin t), y a(1 cost), z 4a sin			t	ме-
4.	(x2 y2 z2 )dl		, где L: x a(t sin t), y a(1 cost), z 4a sin				ме-
	L				2
	L
жду точками A(0,0,0) , B(2a,0,0) .
5.	(x3 y3)dl , где L: (x2 y2)2 2xy, x 0, y 0.
	L
6.	(x2 2xy)dx ( y2 2xy)dy , где L – дуга параболы y x2, 1 x 1.
	L
7.	(x y)dx xdy , где ABC – ломаная, A(0,0) , B(2,0) , C(4,2) .
	ABC
8.	(2 y)dx xdy ,		где L: x t sint, y 1 cost, 0 t 2.
	L
9.	Найти	работу силового поля F (x y)i xj вдоль окружности
x cost, y sint		в направлении по часовой стрелки.
10. Найти работу силового поля F zi xj yk				вдоль винтовой линии
x acost , y bsint, z ct от точки A(a,0,0) до точки				B(a,0,2 ) .

11. Применив формулу Грина вычислить интеграл xy2dy x2dx , где L

–окружность x2 y2 a2 .

12.Вычислить площадь области, ограниченной гиперболой y 1/ x , осью oX и прямыми x 1, x 2.

13. Вычислить интеграл

xdx ydy , где A(0,1) ,

B(3, 4) .

14. Вычислить интеграл

xdx ydy

, где точка

A(0,1)

лежит на ок-

x2 y2

ружности x2 y2 1, а точка

B(1,1) лежит на окружности x2 y2

2 .

Ответы.

8a3(3 3)

1. 256a3 /15 ; 2. 4; 3.

173

; 4.

; 5. 2;

; 7.

4 ;

8. 2 ; 9. 2; 10. a(2c b) ; 11. а4 / 2 ; 12. ln 2 ; 13. 3 ; 14. 2 1.

179

15. Теория поля

Таблица 84

Скалярные поля

Понятие

Определение, формула

Свойства

1. Скалярное

Если каждой точке М области

1) Плоское скалярное поле

поле

Q поставлено в соответствие

u f (x, y) ,

некоторое число f (M ) , то го-

2) пространственное ска-

ворят, что в области Q задано

лярное поле u f (x, y, z)

скалярное поле

2. Поверхно-

Поверхность уровня – это гео-

1) В плоском скалярном

сти уровня

метрическое место точек,

поле – линии уровня:

скалярного

в которых поле

f (M ) имеет

f (x, y) C ,

поля

фиксированное значение С

2) в пространственном ска-

u f (x, y, z)

лярном поле:

f (x, y, z) C

3. Производ-

1) Если направление за-

ная скаляр-

дано вектором

ного поля

l ( X ,Y , Z ) , то

u f (x, y, z)

cos

, cos

по направле-

нию

u(P ) u(P)

lim

cos

, где

l 0

;

X 2 Y 2 Z 2 ;

u u cos u cos

Пр grad u ;

u cos ,

3) max

gradu

( ,Ox) ,

( ,Oy) ,

если направление вектора

(

,Oz)

l совпадает с направлени-

4. Градиент

Градиент – это вектор

ем вектора gradu ;

скалярного

4) u

поля

gradu

x i

y j

z k

0 ,

u f (x, y, z)

если вектор l

перпендику-

лярен вектору gradu .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2118 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.202532.3 Кб0соч китап.docx
#
13.08.20191.09 Mб91Сочинения_Рахман.doc
#
01.04.2025287.74 Кб0СПАУ р1.doc
#
10.06.201525.26 Кб15СПН 11-20.docx
#
10.06.20151.4 Mб34Справочник для поступающих на 2015 год.pdf
#
10.06.20154.57 Mб220Справочник по математике.pdf
#
10.06.20151.16 Mб78справочник по физике.pdf
#
01.04.20251.14 Mб11Сравочник по ПиРЭЭ.doc
#
07.09.2019253.95 Кб12средние-студ.doc
#
10.06.2015253.27 Кб1459СТАНДАРТЫ.docx
#
07.09.2019221.7 Кб16Стат-наблюд-студ.doc