Распределение скоростей при плоском движении

Вернемся к рис. 9.4. Определим скорость произвольной точкиМ плоской фигуры относительно осей в заданный момент времени.

Введем векторы ,,(рис. 9.6). Очевидно, что.

Рассмотрим движение точки М как сложное, состоящее из переносного поступательного движения плоской фигуры вместе с осями и относительного движения точки, которое будет происходить так, как двигаются точки тела, вращающегося вокруг оси, направленной перпендикулярной плоскости рисунка на читателя. Тогда скорость точкиМ относительно неподвижной системы координат является абсолютной скоростью и определяется по теореме сложения скоростей

.

Пусть (m) – точка подвижной плоскости , с которой совпадает в заданный момент времени точка плоской фигурыМ. Тогда, так как переносное движение поступательное, то

.

Относительная скорость точки от вращательного движения плоской фигуры вокруг оси ( или относительно полюсаО) по формуле Эйлера равна и следовательно,

или

. (9.4)

В формуле (9.4) символическая запись означает «скорость точкиМ от вращательного движения вокруг точки О».

Таким образом, скорость произвольной точки плоской фигуры в некоторый момент времени равна геометрической сумме скорости полюса и скорости рассматриваемой точки в относительном вращательном движении плоской фигуры вокруг полюса.

Покажем, как найти скорость точки тела в заданный момент времени по формуле (9.4), если задан закон плоского движения:

, ,. (9.5)

По первым формулам (9.5), определяющим закон движения полюса О, определим векторпо величине и направлению (рис. 9.7). По третьей формуле (9.5) определим угловую скорость плоской фигуры. Пусть вращение происходит по часовой стрелке. По модулю. Направим векторперпендикулярноОМ в сторону вращения плоской фигуры. Вектор скорости точки М получим, сложив векторы ипо правилу параллелограмма.

Мгновенный центр скоростей

Формула (9.4) существенно упрощается, если в качестве полюса выбрать в рассматриваемый момент времени такую точку подвижной плоскости жестко связанной с плоской фигурой, скорость которой равна нулю. Такая точка носит названиемгновенного центра скоростей. Обозначим ее – Р. Точка Р не обязательно принадлежит плоской фигуре. Она принадлежит подвижной плоскости .

Теорема: Если в некоторый момент времени плоское движение тела таково, что , то

1. Мгновенный центр скоростей существует и он единственный.

2. Распределение скоростей в данный момент времени таково, как если бы тело совершало вращательное движение вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей.

Доказательство:

Пусть для определенности и существует точкаА, скорость которой не равна нулю в заданный момент времени (иначе точкаА – мгновенный центр скоростей) (рис. 9.8). Повернем вектор на 90 в направлении дуговой стрелки () и отложим на этом луче отрезок

.

Так как , тоАР – конечное число. Возьмем точку А в качестве полюса и вычислим скорость точки Р по формуле (13.4): ,

где.

А так как , то.

Итак, и точкаР – мгновенный центр скоростей. Из построения видно, что эта точка единственная.

2. Примем точку Р за полюс. Тогда

формула (9.4) будет иметь вид

.

Следовательно, .

Теорема доказана.