Лекция 5 кинематика точки

Кинематика изучает движение тел по отношению к системам координат, связанных с другими телами (например, с Землей) с геометрической стороны, без учета причин, вызывающих это движение. При этом движение тел предполагается совершающимся во времени.

Для простоты изучения, в кинематике изучается сначала движение одной точки, а затем – движение твердых тел.

Но прежде чем приступить к изучению кинематики точки, рассмотрим понятие производной вектора по скалярному аргументу.

Переменный вектор и его производная по скалярному аргументу

Если каждому значению независимого скалярного переменного u в интервале b < u < c соответствует определенный вектор , то будем говорить, что векторесть непрерывная функция скалярного переменногоu:

. (5.1)

Если вектор при своем изменении сохраняет одно и тоже начало (пусть точкаО ) (рис. 5.1), то уравнение (5.1) определяет движение его конца. Кривая, которую описывает конец вектора называется годографом переменного вектора.

Пустьu некоторое фиксированное значение аргумента вектора ,u – его приращение, тогда при значении

u +u – будем иметь другой вектор .

Разность называется приращением вектора.

Предел отношения

при u 0, если он существует, называется производной вектора по скалярному аргументуu и обозначается

.

Вектор всегда направлен по секущей (рис.5.1). При0 секущая займет предельное положение, совпадающее с касательной к годографу вектора . Следовательно, производная вектора по скалярному аргументу всегда направлена по касательной к годографу этого вектора.

Свойства производной вектора по скалярному аргументу

1. , если.

2. , если, т.е. изменяется только направление вектора в пространстве. Годограф при этом находится на поверхности сферы, а касательная к сфере перпендикулярна ее радиусу.

3. .

4. ,

где  - скалярный коэффициент.

5. .

6. .

Пусть векторзадан в неподвижной прямоугольной системе координат, (рис.5.2).

Тогда

, (5.2)

где - проекции векторана координатные оси, а- орты этих осей.

Так как - постоянные векторы

. (5.3)

С другой стороны, вектор можно также записать через его проекции

. (5.4)

Сравнивая формулы (5.3) и (5.4), получим:

, ,. (5.5)

Таким образом, доказали:

Проекция производной вектора на неподвижное направление равна производной от проекции вектора на соответствующее направление.

Перейдем к изучению кинематики точки.

Основные задачи кинематики точки

Кинематика точки рассматривает две основные задачи.

А). Задача задания движения точки. Движение точки в пространстве считается заданным, если найден способ, при помощи которого каждому моменту времени t однозначно ставится в соответствие положение точки в пространстве.

Б). Задача определения кинематических характеристик движения точки – скорости точки и ускорения точки.

Существует три способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный.