FTF 2 semestr.MAVRODI / 22

Необходимое условие условного экстремума

Для того, чтобы точка была точкой локального условного максимума (минимума)

функции относительно уравнений

связи задающих -мерную гладкую поверхность F в окрестности данной точки

необходимо, чтобы эта точка удовлетворяла системе уранений Лагранжа

,

где некоторые числа.

Доказательство. Действительно, если точка лежит на поверхности F и градиент не является линейной комбинацией градиентов

, то поверхность

уровня пересекает F трансверсально (под ненулевым углом). Отсюда следует, что точка не может быть точкой минимума или максимума.

Достаточные условия условного экстремума

Рассмотрим кривую , лежащую на поверхности Fи проходящую через точку ,

. Если функция одной переменной в точке 0 будет иметь минимум,

независимо от выбора кривой , то, очевидно, точка будет являтся точкой условного локального минимума функции . .Для того, чтобы точка t = 0 была точкой минимума функции, достаточно, чтобы выполнялись условия

.

Пусть . Тогда имеем

Поскольку кривая лежит на поверхности F , то мы имеем m тождеств

. Используя эти тождества, получаем

Из (1) следует, чтобы выполнялось условие a) достаточно, чтобы являлся линейной

комбинацией градиентов

.

Итак, пусть

, т.е. (3)

Умножим k-oe тождество (2) на и просумvируем по индексу k . В результате, используя (3), получим

, получаем

Следовательно, для того чтобы выполнялось условие б) достаточно, чтобы выполнялось неравенство

для любого ненулевого вектора

, удовлетворяющего системе уравнений

.