FTF 2 semestr.MAVRODI / 25

Критерий интегрируемости функции.

Т е о р е м а 2. Для того, чтобы функция , определённая на отрезке , была интегрируема на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была ограничена и удовлетворяла условию

< . (13)

○ Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть функция интегрируема на отрезке . Тогда она ограничена (теорема 1) и в силу определения интеграла

>0: .

Таким образом, при каждом разбиении отрезка , мелкость которого удовлетворяет условию , неравенство

(14)

Выполняется при любой выборке . Поэтому из левого неравенства (14) и равенства (9) следует, что

Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть функция ограничена на отрезке и удовлетворяет условию (13). Докажем, что функция интегрируема на отрезке , т.е.

>0: . (17)

Воспользуемся свойством 5. Из неравенств (12) следует, что

,

откуда в силу (13) получаем неравенство

,

Справедливое для любого разбиения такого, что . Так как числа и не зависят от , то отсюда следует, что

.

Классы интегрируемых функций

1.Любая функция, ограниченная и непрерывная в некотором промежутке, является интегрируемой на этом промежутке. К классу интегрируемых функций относятся также функции, ограниченные на промежутке интегрирования и имеющие на этом промежутке конечное число точек разрыва первого рода.

2.Если функция f(x) интегрируема на промежутке [a,b], то и функция c f(x), где c – константа, интегрируема на этом промежутке.

3.Если функция f(x) интегрируема на промежутке [a,b], то и функция | f(x) | интегрируема на этом промежутке.

4.Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на промежутке [a,b], то и их сумма, разность и произведение интегрируемы на этом промежутке.

5.Если функция f(x) интегрируема на промежутке [a,b], то она интегрируема и в любой части этого промежутка.

6.Если функция f(x) интегрируема в каждой части некоторого промежутка, то она интегрируема и на всем промежутке.

7.Если значения интегрируемой функции изменить в конечном числе точек на конечные величины, то интегрируемость функции не нарушится.

Применительно к функции f(x) , которая не определена в конечном числе точек промежутка [a,b], это означает, что ни существование интеграла , ни его величина не зависят от значений, приписанных функции f(x) в точках ее разрыва.