FTF 2 semestr.MAVRODI / 24

Мера Жордана

Мера Жордана — один из способов формализации понятия длины, площади и -мерного объёма в -

мерном евклидовом пространстве.

Построение

Множество измеримо по Жордану если внутренняя мера Жордана равна внешней мере

Жордана.

Мера Жордана параллелепипеда в определяется как произведение

Для ограниченного множества определяются:

внешняя мера Жордана

внутренняя мера Жордана

, если здесь — параллелепипеды описанного выше вида.

Множество называется измеримым по Жордану (квадрируемым при , кубируемым при ),

если . В этом случае мера Жордана равна .

Свойства

Мера Жордана инвариантна относительно движений евклидова пространства.

Ограниченное множество измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет меру Жордана нуль.

В частности, все множества, граница которых состоит из конечного числа гладких кривых и точек,

измеримы по Жордану. Тем не менее, существуют множества, ограниченные простой замкнутой кривой Жордана,

которые не измеримы по Жордану.

Измеримые по Жордану множества образуют кольцо, на котором мера Жордана конечная аддитивная функция.

Кратный интеграл

В математическом анализе кратным или многократным интегралом называют множество интегралов, взятых от переменных. Например:

Замечание: кратный интеграл − это определенный интеграл, при его вычислении всегда получается число.

Определение кратного интеграла

Пусть — измеримое множество n-мерного вещественного пространства, — функция на

Разбиение множества — это набор попарно непересекающихся подмножеств , такое что .

Мелкость разбиения — это наибольший диаметр множеств .

Разбиение называется конечным, если является конечным множеством, и измеримым, если все его элементы — измеримые (в данном случае — по Жордану) множества.

Кратным (n-кратным) интегралом функции на множестве называется число (если оно существует), такое что, какой бы малой -окрестностью числа мы ни задались, всегда найдется такое разбиение множества и набор промежуточных точек, что сумма произведений значения функции в промежуточной точке разбиения на меру разбиения будет попадать в эту окрестность. Формально:

: :

Здесь — мера множества .

Это определение можно сформулировать в другой форме с использованием интегральных сумм. А именно, для данного разбиения и множества точек рассмотрим интегральную сумму

Кратным интегралом функции называют предел

если он существует. Предел берётся по множеству всех последовательностей разбиений, с мелкостью стремящейся к 0. Разумеется, это определение отличается от предыдущего, по сути, лишь используемым языком.

Интеграл обозначается следующим образом:

В векторном виде: ,

Либо ставят значок интеграла раз, записывают функцию