FTF 2 semestr.MAVRODI / 30

Формула для вычисления двойного интеграла в полярных координатах

Пусть область D записывается системой неравенств в полярных координатах

называется правильной областью в полярной системе координат, если каждый луч,

выходящий из полюса, пересекает границу области не более чем в двуx точках (за исключением тех участков границы, которые являются частью луча, идущего из полюса) (Рис. 5). По определению двойного интеграла имеем:

.

Так как значение двойного интеграла не зависит от способа разбиения области D на элементарные части, то сделаем это разбиение координатными линиями полярной системы координат: лучами, выходящими из полюса, и концентрическими окружностями с центрами в полюсе. Тогда элементарная

площадь вычисляется как разность площадей двух круговых секторов:

Фиксированная точка на каждой элементарной части тоже выбирается произвольно, поэтому ее декартовы координаты с учетом известных формул связи декартовых и

полярных координат можно положить равными , (здесь

значение угла можно произвольно зафиксировать на промежутке длиной ). Тогда определение двойного интеграла запишется в следующем виде:

Правило перевода двойного интеграла в систему полярных координат

Переведенный в полярные координаты двойной интеграл сводится к повторному интегралу по имеющейся записи области D неравенствами для переменных и . В результате получается формула для вычисления двойного интеграла в полярных координатах:

(3)

Примеры 3 (вычисление двойных интегралов в полярных координатах)

1. Вычислить , где.

Решение

Строим область D и записываем ее системой неравенств в полярных координатах:

По формуле (3) получим: