FTF 2 semestr.MAVRODI / 53

Признак Дирихле сходимости числовых рядов.

Ряд сходится, если последовательность частичных сумм ряда ограниченна,

т.е. M(2), а последовательность монотонно стремится к нулю,

т.е. (3) для всех nN или (3’) для всех nN и .

Покажем, что для ряда (1) выполняется условие Коши. Введем следующие

обозначения (5), nN, pN (6). Преобразуем σ, учитывая,

что при k>1, согласно формуле (5). Получим σ= ,

где =. Поэтому σ=+ (7).

Если справедливо неравенство (3), то из формулы (7) и условия (2) следует, что |σ+

, где ≤ Таким образом, для всех nN и для всех pN выполняется неравенство |σ

(8). Условие (8) остается в силе, если заменить (3) условием (3’). Условие (4) означает,

что (9), а из (6), (8) и (9) следует, что

, т.е. ряд (1) удовлетворяет условию Коши. Следовательно, этот ряд сходится.•

Признак Абеля сходимости числовых рядов

Признак Абеля дает достаточные условия сходимости числового ряда.