FTF 2 semestr.MAVRODI / 5
.pdfГрани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.
Определение
Пусть дано |
, где |
— произвольное множество, а |
— определённая на . |
|
Пусть |
Точка |
называется граничной точкой множества , если для любой |
||
|
|
́ |
́ |
́ |
её окрестности |
|
справедливо: |
|
|
Множество всех граничных точек множества называется границей и обозначается
Свойства
— замкнутое множество;
— открытое множество тогда и только тогда, когда
— замкнутое множество тогда и только тогда, когда
— открытое и одновременно замкнутое множество тогда и только тогда, когда
Примеры
Рассмотрим числовую прямую со стандартной топологией. Тогда: для :
Для :
Множество Е – связное, если любые 2 точки этой прямой можно соединить непрерывной кривой в данное множестве.
Открытое связное множество Е называется областью.
Множество Е – выпуклое, если оно содержит вместе с любыми двумя точками соединяющий их отрезок.