FTF 2 semestr.MAVRODI / 50

Радикальный признак Коши

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Предельная форма

Условие радикального признака равносильно следующему:

То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:

Если для ряда

, то

если ряд сходится,

если ряд расходится,

если вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Доказательство

1. Пусть . Очевидно, что существует такое , что . Поскольку существует предел , то подставив в определение предела выбранное получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку , то ряд сходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд тоже сходится.

2. Пусть . Очевидно, что существует такое , что . Поскольку существует предел , то подставив в определение предела выбранное получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Примеры

1. Ряд

сходится, так как выполняется условие предельной формы радикального признака теоремы Коши

2. Рассмотрим ряд

ряд сходится.