FTF 2 semestr.MAVRODI / 55
.pdfТеорема об умножении абсолютно сходящихся рядов.
Если ряды (1) и (2) абсолютно сходятся, то и ряд (3) , составленный из всевозможных попарных произведений членов рядов (1) и (2), абсолютно сходится, причем сумма ряда (3) равна произведению сумм рядов (1) и (2).
а) Докажем, что сходится ряд (4). Пусть - m-я частичная сумма ряда (4), A и B – суммы
рядов и соответственно. Тогда , т.е. частичные суммы ряда (4) ограничены сверху и по теореме из пункта 29 ряд (4) сходится.
б) Докажем, что , где τ, S, σ – суммы рядов (3), (1) и (2) соответственно. Заметим, что все члены ряда (3) содержатся в следующей таблице:
|
1. |
|
|
2. |
|
|
5. |
|
|
10. |
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
3. |
|
|
6. |
|
|
11. |
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
|
|
8. |
|
|
7. |
|
|
12. |
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
|
|
15. |
|
|
14. |
|
|
13. |
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
… |
|
|
… |
|
|
… |
|
… |
Занумеруем элементы этой таблицы, присваивая им номера, указанные в таблице. В этом случае получается
ряд +(++++… (5), образованный из всевозможных попарных произведений членов рядов (1) и (2), т.е. ряд вида (3)
По доказанному выше всякий ряд вида (3) и, в частности, ряд (5) абсолютно сходится и, значит, сходится, а сумма ряда (3) не зависит от порядка расположения его членов. Поэтому ряд (5) сходится, а его сумма равна τ.
Пусть - n-е частичные суммы рядов (1), (2) и (5) соответственно, тогда . Так
как при n, то . C другой стороны, {подпоследовательность сходящейся к числу последовательности , и и поэтому при n. Отсюда следует .•