FTF 1 semestr.MAVRODI / 72
.pdf
Вычисление объемов. Нахождение объемов некоторых тел можно свести к вычислению определенных интегралов.
4.1. Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений. Если известны площади сечений тела плоскостями, перпендикулярными оси OX, т. е., зная х, мы можем вычислить площадь
сечения S = S (x). Тогда объем тела |
в предположении, что S(x) интегрируемая функция. |
4.2. Вычисление объема тела вращения: |
|
а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью OX и двумя
прямыми x = a и x = b(a < b) вокруг оси OX, то объем тела ;
б) а если тело образовано вращением фигуры, ограниченной кривой 
, прямыми y=c, y=d (c<d) и
осью OY, вокруг оси OY, то его объем 
;
в) если тело образовано вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной
линией y = f (x), прямыми x = a, x = b 
и осью OX, то его объем можно вычислить по
формуле 
;
г) если вращается вокруг полярной оси криволинейный сектор, ограниченный дугой 
, двумя полярными радиусами 
и 
, то объем полученного тела может быть вычислен по
формуле .
П р и м е р 21. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
и 
вокруг оси OX.
Решение. Найдем точки пересечения параболы 
и прямой 
. Решим систему:
Получим две точки пересечения:
х1 = 1, у1 = 1; х2 = 2, у2 = 0.
Сделаем чертеж (рис. 19).
.
П р и м е р 22. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
; |
z = 0; z = 3. |
Решение. |
однополостной |
гиперболоид. При пересечении его плоскостями z = h в сечении
получаем эллип-сы (рис. 20) с
полуосями 
, 
. Как известно, площадь
Рис. 20 |
эллипса |
куб. ед.