4.3. Равносильные преобразования формул

В отличие от табличного задания представление функции формулой не единственно. Например, две различные формулы

x₁Vx₂и(x₁&x₂)

реализуют одну функцию – штрих Шеффера.

Две формулы, реализующие одну и ту же функцию, называются равносильными.

Равносильность формул AиBбудем обозначать следующтм образом:AB.

Для того, чтобы установить равносильность формул, можно составить таблицы значений функции для каждой формулы и сравнить их. Для равносильных формул эти таблицы совпадают. Другой способ установления равносильности формул заключается в использовании некоторых установленных равносильностей булевых формул.

Основные равносильности булевых формул.

Для любых формул A,B,Cсправедливы следующие равносильности:

1. Коммутативность.

а) A&BB&A(для конъюнкции);

б) AVBBVA(для дизъюнкции).

2. Ассоциативность.

а) A&(B&C)(A&C)&C(для конъюнкции);

б) AV(BVC)(AVB)VC(для дизъюнкции).

3. Дистрибутивность.

а) A&(BVC)A&BVA&C(для конъюнкции относительно дизъюнкции);

б) AV(B&C)(AVB)&(AVC) (для дизъюнкции относительно конъюнкции).

4. Закон де Моргана.

а) (A&B)AVB(отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний);

б) (AVB)A&B(отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний).

5. Идемпотентность.

а) A&AA(для конъюнкции);

б) AVAA(для дизъюнкции).

6. Поглощение.

а) A&(AVB)A(1– ый закон поглощения);

б) AVA&BA(2– ой закон поглощения).

7. Расщепление(склеивание).

а)A&BVA&(B)A(1–ый закон расщепления);

б) (AVB) & (AVB)A(2–ой закон расщепления).

8. Двойное отрицание.

(A)A.

9. Свойства констант.

а)A&1A; б)A&00; в)AV11; г)AV0A; д)01; е)10.

10. Закон противоречия.

A&A0.

11. Закон “исключенного третьего”.

AVA1.

Каждая из перечисленных равносильностей может быть доказана с помощью таблиц значений функций, составленных для выражений, стоящих слева и справа от символа “”. Докажем, например, равносильность 4а. Для этого составим таблицу 4.5.

Таблица 4.5

A	B	A&B	(A&B)	A	B	AVB
0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1	1 1 1 0	1 1 0 0	1 0 1 0	1 1 1 0

Из таблицы 4.5 видно, что (A&B)AVB, что и требовалось доказать.

Следующие важные равносильности показывают, что все логические операции могут быть выражены через операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания:

12. ABAVB(A&B).

13. A~B(AB)&(BA)(A&B)V(A&B)АVB)&(AVB).

14. AAVB)V(A&B).

15. A¯B(AVB)A&B.

16. AïB(A&B)AVB.

Используя равносильности 3а и 3б и метод математической индукции, нетрудно получить также следующие равносильности (обобщенные законы дистрибутивности):

17. (A₁VA₂V...VA_n)&(B₁VB₂V...VB_m)

A₁&B₁VA₁&B₂V...VA₁&B_mV...VA_n&B₁VA_n&B₂V...VA_n&B_m.

18. (A₁&A₂&...&A_n)V(B₁&B₂&...&B_m) 

(A₁VB₁)&(A₁VB₂)&...&(A₁VB_m)&...&(A_nVB₁)&(A_nVB₂)&...&(A_nVB_m).

Используя равносильности 4а и 4б и метод математической индукции, можно получить также следующие равносильности (обобщенные законы де Моргана):

19. (A₁&A₂&...&A_n) A₁VA₂V...VA_n.

20. (A₁VA₂V...VA_n)A₁&A₂&...&A_n

В равносильностях 1 – 20 в качестве A,B,A_i,B_i могут быть подставлены любые формулы и, в частности, переменные. Приведем правило, с помощью которого можно переходить от одних равносильностей к другим.

Правило равносильных преобразований

Пусть для формул AиBсправедливо утверждениеAB. ПустьC_A– формула, содержащаяAв качестве своей подформулы. ПустьC_Bполучается изC_AзаменойAнаB. ТогдаC_A C_B.

Пример 4.5.

Пусть A=xy,B=xVy.

Равносильность 12 позволяет утверждать, что AB.

Пусть C_A = (xy) &z, т.е.Aесть подформулаC_A. ТогдаC_B= (xVy) &zиC_A C_B, т.е. (xy) &z(xVy) &z.