Тема 4. Булевы функции

4.1. Определение булевой функции

Определение 4.1.Булевой функциейf(x₁,x₂, ... ,x_n) называется произвольная функцияnпеременных, аргументы которойx₁,x₂, ... ,x_n и сама функцияfпринимают значения 0 или 1, т. е.x_i{0, 1},i= 1, 2, ... ,n;f(x₁,x₂, ... ,x_n){0, 1}.

Одной из важнейших интерпретаций теории булевых функций является теория переключательных функций. Первоначально математический аппарат теории булевых функций был применен для анализа и синтеза релейно-контактных схем с операциями последовательного и параллельного соединения контактов. Подробнее это приложение теории булевых функций будет рассмотрено в разделе 4.9.

Любая булева функция может быть представлена таблицей, в левой части которой перечислены все наборы переменных (их 2ⁿ), а в правой части – значения функции. Пример такого задания представлен в таблице 4.1.

Таблица 4.1

x1 x2 x3	f(x1, x2, x3)
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1	0 0 0 1 0 1 1 1

Для формирования столбца значений переменных удобен лексико-графический порядок, в соответствии с которым каждый последующий набор значений получается из предыдущего прибавлением 1 в двоичной системе счисления, например, 100 = 011+ 1.

Всего существует 2²различных булевых функцийnпеременных.

Функций одной переменной – 4. Из них выделим функцию “отрицание x”(обозначаетсяx). Эта функция представлена в таблице 4.2.

Таблица 4.2

x	x
0 1	1 0

Булевых функций двух переменных – 16 (2²приn= 2). Те из них, которые имеют специальные названия, представлены в таблице 4.3.

Таблица 4.3

x1 x2	x1Vx2	x1& x2	x1x2	x1~x2	x1  x2	x1¯ x2	x1ï x2
0 0 0 1 1 0 1 1	0 1 1 1	0 0 0 1	1 1 0 1	1 0 0 1	0 1 1 0	1 0 0 0	1 1 1 0

В таблице 4.3 представлены следующие функции двух переменных:

x₁Vx₂ –дизъюнкция;

x₁& x₂ – конъюнкция;

x₁x₂ – импликация;

x₁~x₂ –эквивалентность;

x₁ x₂ –сложение по модулю 2;

x₁¯x₂ – стрелка Пирса;

x₁ï x₂ – штрих Шеффера.

Остальные функции специальных названий не имеют и могут быть выражены через перечисленные выше функции.

4.2. Формулы логики булевых функций

Определение 4.2.Формула логики булевых функцийопределяется индуктивно следующим образом:

1. Любая переменная, а также константы 0 и 1 есть формула.

2. Если AиB– формулы, тоA,AVB,A&B,A B,A ~B есть формулы.

3. Ничто, кроме указанного в пунктах 1–2, не есть формула.

Пример 4.1.

Выражение (xVy)&((y z)~x) является формулой.

Выражение x&y z~xне является формулой.

Часть формулы, которая сама является формулой, называется подформулой.

Пример 4.2.

x&(yz) – формула;yz– ее подформула.

Определение 4.3. Функцияfесть суперпозицияфункцийf₁,f₂, ... ,f_nеслиfполучается с помощью подстановок этих формул друг в друга и переименованием переменных.

Пример 4.3.

f₁=x₁&x₂ (конъюнкция)_; f₂ =x(отрицание).

Возможны две суперпозиции:

1) f=f₁(f₂) = (x₁)&(x₂) – конъюнкция отрицаний;

2) f=f₂(f₁) =(x₁&x₂) – отрицание конъюнкции.

Порядок подстановки задается формулой.

Всякая формула задает способ вычисления функции, если известны значения переменных.

Пример 4.4.

Построим таблицу значений функции f(x₁,x₂,x₃) =(x₂ x₃)~(x₁Vx₂).

Таблица 4.4 представляет последовательное вычисление этой функции.

Таблица 4.4

x1 x2 x3	x3	x2 x3	(x2 x3)	x1	x1Vx2	f(x1, x2, x3)
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1	1 0 1 0 1 0 1 0	1 1 1 0 1 1 1 0	0 0 0 1 0 0 0 1	1 1 1 1 0 0 0 0	1 1 1 1 0 0 1 1	0 0 0 1 1 1 0 1

Таким образом, формула каждому набору аргументов ставит в соответствие значение функции. Следовательно, формула так же, как и таблица, может служить способом задания функции. В дальнейшем формулу будем отождествлять с функцией, которую она реализует. Последовательность вычислений функции задается скобками. Принято соглашение об опускании скобок в соответствии со следующей приоритетностью операций: , &, V,и~.