3.7. Экстремальные пути в нагруженных ориентированных графах

Ориентированный граф называется нагруженным, если дугам этого графа поставлены в соответствие веса, так что дуге (x_i,x_j) сопоставле­но некоторое числоc(x_i,x_j) =c_ij, называемоедлиной (иливесом, илистоимостью дуги).Длиной (иливесом или стоимостью) путиs, состоящего из некоторой последовательности дуг (x_i,x_j), называется числоl(s), равное сумме длин дуг, входящих в этот путь, т.е.

l(s) =c_ij,

причем суммирование ведется по всем дугам (x_i, x_j)s.

Матрица C = (c_ij) называетсяматрицей длин дуг или матрицей весов.

Рис. 3.10

Для графа, изображенного на рис. 3.10, матрица Cимеет вид:

C =

Длина пути (x₁, x₂, x₅, x₄) равна 1 + 5 + 6 = 12.

Для ненагруженного графа введем понятие кратчайшего пути. Это путь с минимальным общим числом дуг, причем каждая дуга считается столько раз, сколько она содержится в этом пути.

Для нахождения минимального пути между двумя произвольными верши­нами для случая, когда все c_ij ³ 0 можно воспользоваться простым алгоритмом Дейкстры [2]. В общем случае задача решается с помощью ал­горитмов Флойда, Форда, Беллмана и др. [2,3,5].

Алгоритмы нахождения минимального пути могут быть использованы для поиска кратчайших путей в ориентированном графе без контуров. Для этого нужно каждой дуге приписать вес, равный единице.

3.8 Деревья

Неориентированным деревом (или простодеревом) называется связный граф без циклов. Этому определению эквивалентны, как легко показать, следующие определения:

а) дерево есть связный граф, содержащий n вершин и n-1 ребер;

б) дерево есть граф, любые две вершины которого можно соединить простой цепью.

Пример 3.17.

Графы, изображенные на рис. 3.12, являются деревьями.

Рис. 3.12

Если граф несвязный и не имеет циклов, то каждая его связная компонента будет деревом. Такой граф называется лесом. Можно интерпретировать рис. 6.1 как лес, состоящий из трех деревьев.

Остовным деревом связного графаG называется любой его подграф, содержащий все вершины графаGи являющийся деревом.

Пример 3.18.

Для графа, изображенного на рис. 3.13а), графы на рис. 3.13б) и 3.13в) являются остовными деревьями.

Рис. 3.13

Пусть граф Gимеетnвершин иmребер Так как всякое дерево сnвершинами по определению (см. раздел 6.1) имеетn– 1 ребер, то любое остовное дерево графаGполучается из этого графа в результате удаленияm – (n– 1) =m – n+ 1 ребер. Числоg =m – n+ 1 называетсяцикломатическим числом графа.

Теория графов

Краткие сведения о математиках

Арнольд Владимир Игоревич – математик, академик Российской Академии наук.

Беллман Ричард – американский математик.

Буль Джордж (1815 – 1864) – английский математик. Основатель математической логики.

Гильберт Давид (1862 – 1943) – немецкий математик. Его исследования оказали большое влияние на развитие многих разделов математики, особенно на развитие логических основ математики.

Дейкстра Эдсгер (1930 – 2002) – голландский ученый, виднейший специалист в области программирования, лауреат премии Тьюринга.

Декарт Рене (1596 – 1650) – французский математик и философ. Впервые ввел понятия переменной, функции, системы координат на плоскости.

Кантор Георг (1845 – 1918) – немецкий математик. Разработал теорию бесконечных множеств. Идеи Кантора оказали большое влияние на развитие математики.

Колмогоров Андрей Николаевич – советский математик, академике АН СССР. Основополагающее значение имеют работы в области теории вероятностей. Является автором фундаментальных работ по теории множеств, теории меры, конструктивной логике, топологии, механике, теории дифференциальных уравнений, функциональному анализу.

Фибоначчи (Леонардо Пизанский) (1180 – 1240) – итальянский математик. Основные работы – трактаты об арифметике, алгебре и геометрии, которые являются первыми произведениями, содержащими задачи на приложения алгебры и геометрии.

Эйлер Леонард (1707 – 1783) – математик, физик, механик, астроном. Родился в Швейцарии, с 1726 по 1741 г. и с 1776 по 1783 г. работал в России.

44