1.4. Алгебра множеств. Основные тождества алгебры множеств
Множества вместе с определенными на
них операциями образуют алгебру
множеств. Последовательность выполнения
операций задается с помощью формулы
алгебры множеств. Например,
(ВC), (А\В) + C– формулы алгебры множеств.
Для любых множеств A,B,Cсправедливы следующие тождества:
1. Коммутативность.
а) AB =BA(для объединения);
б) AB=BA(для пересечения).
2. Ассоциативность.
а) A(BC) = (AC)C(для объединения);
б) A(BC) = (AB)C(для пересечения).
3. Дистрибутивность.
а) A(BC) = (AB)(AC) (для объединения относительно пересечения);
б) A(BC) = (AB)(AC) (для пересечения относительно объединения).
4. Закон де Моргана.
а)
=
(дополнение к объединению есть пересечение
дополнений);
б)
=
(дополнение
к пересечению есть объединение
дополнений).
5. Идемпотентность.
а) AA=A(для объединения);
б) AA=A(для пересечения).
6. Поглощение.
а) A (A B) = A;
б) A (A B) = A.
7. Расщепление(склеивание).
а) (AB)(A
)
=A;
б) (AB)(A
)
=A.
8. Двойное дополнение.
=A.
9. Закон исключенного третьего.
A
=U.
10. Операции с пустым и универсальным множествами.
а) A U = U;
б) A = A;
в) A
U
= A;
г) A=;
д)
=U;
е)
=.
11. А\В=A
.
Чтобы доказать некоторое тождество A=B, нужно доказать, что, во-первых, еслиx А, то xВи, во-вторых, еслиxВ, то x А. Докажем таким образом, например, свойство дистрибутивности для объединения (тождество 3а)):
A(BC) = (AB)(AC).
1. Сначала предположим, что некоторый элемент x принадлежит левой части тождества, т.е.xA(BC), и докажем, чтоxпринадлежит правой части, т.е. x(AB)(AC).
Действительно, пусть xA(BC). Тогда либоxA, либоxBC. Рассмотрим каждую из этих возможностей.
Пусть xA. ТогдаxAB иxAC(это верно для любых множествB иC). Следовательно,x(AB)(AC).
2. Предположим, что некоторый элемент x принадлежит правой части тождества, т.е.x(AB)(AC), и докажем, чтоxпринадлежит левой части, т.е. x A(BC) .
Действительно, пусть x(AB)(AC). ТогдаxAB, и одновременноxAC. ЕслиxAB, то либоxA, либоxB, если .xAC, то либоxA, либоxC. ПустьxA, ТогдаxA(BC) и утверждение доказано. ЕслиxA, то одновременно должны выполняться условияxBиxC, т.е.xBC. Но тогдаxBCиxA(BC), что также доказывает наше утверждение.
Доказательство тождеств можно проиллюстрировать с помощью диаграмм Венна.
Основные тождества алгебры множеств можно использовать для доказательства других тождеств.
Пример 1.14.
Доказать тождество (AB)
\В=A
.
Преобразуем левую часть тождества, используя тождество 11:
(AB)
\В= (AB)
.
Затем используем закон дистрибутивности (тождество 3б):
(AB)
=A
B
.
Используем закон исключенного третьего (тождество 9):
B 
=
.
Получим
A 
B
=
A 
.
Используем свойство пустого множества (тождество 10б):
A
=A
.
Тождество доказано.
Пример 1.15. Доказать тождество:A\ (В \ C) = (A\В) (A C).
Множества, стоящие в левой и правой частях тождества, изобразим с помощью диаграмм Эйлера – Венна (рис. 1.2).
Рис. 1.2
Рис. 1.2б) и рис. 1.2д) иллюстрируют равенство множествA\ (В \ C) и (A\В) (A C).
Докажем тождество из нашего примера, воспользовавшись тождествами:
А \ В =
A 
,
=
,
=A,
A(BC)
= (AB)(AC).
Получим:
A \ (В
\ C)
= A
= A 
= A
(
)
=A
(
C)
= (A 
) (A
C)
= (A \ В)
(A
C).
Основные тождества алгебры множеств можно также использовать для упрощения формул алгебры логики.
Пример 1.16.
Упростить выражение:
(AB)(
B)(A
).
Используя закон коммутативности (тождество 1б), поменяем местами вторую и третью скобки:
(AB)(
B)(A
)
= (AB)(A
)(
B).
Применим закон расщепления (тождество 7а) для первой и второй скобок:
(AB)(A
)(
B)
=A(
B).
Воспользуемся законом дистрибутивности (тождество 3б):
A(
B)
=A
AB.
Используем закон исключенного третьего (тождество 9):
A 
=
.
Получим
A 
A
B
=
A
B.
Используем свойство пустого множества (тождество 10б):
A B = A B.
Итак,
(AB)
(
B)
(A
)
= A
B.