1.2. Операции над множествами

Рассмотрим основные операции над множествами.

ОбъединениеммножествА иВназывается множествоАВ, все элементы которого являются элементами хотя бы одного из множествАилиВ:

АВ= {x x А или xВ}.

Из определения следует, что ААВиВАВ.

Аналогично определяется объединение нескольких множеств

Пример 1.8.

а) Пусть А= {4, 5, 6},В= {2, 4, 6}.

Тогда АВ= {2, 4, 5, 6}.

б) Пусть А– множество чисел, которые делятся на 2, аВ– множество чисел, которые делятся на 3:

А= {2, 4, 6, …},В= {3, 6, 9, …}.

Тогда АВмножество чисел, которые делятся на 2 или на 3:

АВ= {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, …}.

ПересечениеммножествА иВназывается множествоАВ, все элементы которого являются элементами обоих множествАиВ:

АВ = {x x А и xВ}.

Из определения следует, что АВ А,АВ Ви АВ АВ.

Аналогично определяется пересечение нескольких множеств.

Пример 1.9.

Рассмотрим данные из примера 1.8.

а) Пусть А= {4, 5, 6},В= {2, 4, 6}.

Тогда АВ = {4, 6}.

б) Пусть А– множество чисел, которые делятся на 2, аВ– множество чисел, которые делятся на 3:

А= {2, 4, 6, …},В= {3, 6, 9, …}.

Тогда АВ множество чисел, которые делятся и на 2 и на 3:

АВ= {6, 12, 18, …}.

Может оказаться, что множества не имеют ни одного общего элемента. Тогда говорят, что множества не пересекаются или что их пересечение – пустое множество.

Пример 1.10.

Пусть А= {1, 2},В= {2, 3},C= {3, 4}.

Тогда АВC =.

Относительным дополнениеммножестваВ до множестваА называется множествоА\В, все элементы которого являются элементами множестваА, но не являются элементами множестваВ:

А\В = {x x А и xВ}.

Пример 1.11.

Рассмотрим данные из примера 1.8.

а) А= {4, 5, 6},В= {2, 4, 6}.

А\В = {4, 5},В\А= {2}.

б) А= {2, 4, 6, …},В= {3, 6, 9, …}.

Тогда А\В – множество чисел, которые делятся на 2, но не делятся на 3, аВ\А– множество чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2:

А\В= {2, 4, 8, 10, 14, …}.

В\А= {3, 9, 15, 21, 27, …}.

Симметрической разностьюмножествА иВ называется множествоА+В:

А+В = (А\В)(В\А).

Пример 1.12.

Рассмотрим данные из примера 1.11.

а) А= {4, 5, 6},В= {2, 4, 6}.

А\В = {4, 5},В\А= {2},А+В = {2, 4, 5}.

б) А= {2, 4, 6, …},В= {3, 6, 9, …},А\В= {2, 4, 8, 10, 14, …}.

В\А= {3, 9, 15, 21, 27, …},А+В = {2, 3, 4, 8, 9, …}.

Универсальным множеством называется такое множествоU, что все рассматриваемые в данной задаче множества являются его подмножествами.

Абсолютным дополнениеммножестваА называется множествовсех таких элементовx U, которые не принадлежат множествуА:=U \A.

Пример 1.13.

Пусть А – множество положительных четных чисел.

Тогда U – множество всех натуральных чисел и- множество положительных нечетных чисел.

1.3. Геометрическое моделирование множеств. Диаграммы Венна

Для наглядного представления множеств и отношений между ними используется диаграммы Венна (иногда их называют кругами Эйлера или диаграммами Эйлера – Венна).

Универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а множества, входящие в универсальное множество, – в виде кругов внутри прямоугольника; элементу множества соответствует точка внутри круга (рис 1.1а)).

С помощью диаграмм Венна удобно иллюстрировать операции над множествами.

Рис.1.1