Оптическое материаловедение и

261

Лекция 21 Гетеропереходы Квантовые структуры Применение квантовых структур

Теория квантового ограничения

С позиций квантовой механики электрон может быть представлен волной, описываемой соответствующей волновой функцией. Распространение этой волны в наноразмерных твердотельных структурах контролируется эффектами, связанными с квантовым ограничением, интерференцией и возможностью туннелированиячерезпотенциальныебарьеры.

Волна, соответствующая свободному электрону в твердом теле, может беспрепятственно распространяться в любом направлении. Ситуация кардинально меняется, когда электрон попадает в твердотельную структуру, размер которой L, по крайней мере в одном направлении, ограничен и по своей величине сравним с длиной электронной волны. Классическим аналогом такой структуры является струна с жестко закрепленными концами. Колебания струны могут происходить только в режиме стоячих волн с длиной волны λ = 2L/n, n=1,2,3,...

Аналогичные закономерности поведения характерны и для свободного электрона, находящегося в твердотельной структуре ограниченного размера или области твердого тела, ограниченной непроницаемыми потенциальными барьерами. На рис. 21.1 такая ситуация проиллюстрирована на примере квантового шнура, у которого ограничены размеры сеченияа и b.

Рис. 21.1. Возможности для движения электронов в квантовоограниченной наноразмерной структуре

262

В этих направлениях возможно распространение только волн с длиной, кратной геометрическим размерам структуры. Разрешенные значения волнового вектора для одного направле-

равные а или b. Для соответствующих им электронов это означает, что они могут иметь только определенные фиксированные значения энергии, т. е. имеет место дополнительное квантование энергетических уровней. Это явление получило название квантового ограничения. Вдоль же шнура могут двигаться электроны с любой энергией.

Запирание электрона с эффективной массой т*, по крайней мере в одном из направлений, в соответствии с принципом неопределенности приводит к увеличению его импульса на величину ћ/L. Соответственно увеличивается и кинетическая энергия электрона на величину Е = ћ2k2/2т* = = (ћ2/2m*)(π2/L2). Таким образом, квантовое ограничение сопровождается как увеличением минимальной энергии запертого электрона, так и дополнительным квантованием энергетических уровней, соответствующих его возбужденному состоянию. Это приводит к тому, что электронные свойства наноразмерных структур отличаются от известных объемных свойств материала, из которого они сделаны.

Квантовый эффект Холла

Рассмотрим общие черты динамики двумерных электронов в магнитном поле Н, перпендикулярном их плоскости. Это можно было бы сделать строго формально путем решения соответствующего уравнения Шрёдингера. Но мы для простоты и наглядности ограничимся квазиклассическим рассмотрением электронных траекторий.

Как известно, сила F, действующая со стороны магнитного поля на заряженную частицу, всегда перпендикулярна вектору ее скорости u: F = (е/с)[uH]. На рис. 21.2 показаны классические траектории движения двумерных электронов в магнитном поле, перпендикулярном их плоскости. В глубине образца, где другие силы на электрон не действуют, он будут совершать круговое вращение с частотой ωc= еН/тс, называемой циклотронной частотой. Согласно законам квантовой механики,

263

энергия такого периодического движения квантуется, то есть может принимать лишь определенные дискретныезначения EN= ћωc(N+ 1/2), N= О,1, 2,..., называемые уровнями Ландау.

Рис. 21.2. Траектории двумерных электронов в перпендикулярном магнитном поле в глубине образца (а) и вблизи границы (б)

Совсем иначе ведут себя электроны, находящиеся вблизи границы образца. Как видно на рис. 21.2, за счет многократных отражений от границы они получают возможность поступательного движения вдоль края. Это движение может быть охарактеризовано некоторым значением импульса рх и кинетической энергией Е. Таким образом, динамика приграничных двумерных электронов в сильном магнитном поле напоминает динамику в квантовых нитях, где электроны могут свободно двигаться в одном направлении и резко ограничены в своем движении в двух других. Разумеется, зависимость энергии Еот импульса pх не обязана быть и действительно не является квадратичной. Поэтому формула носит универсальный характер и справедлива при любом законе дисперсии:

где s – проводимость, N – число уровней, содержащих электроны.

И еще одно важное замечание. В квантовой нити без магнитного поля ток, параллельный оси нити, создается электрическим полем, имеющим то же самое направление. В магнитном поле сила, действующая на электрон со стороны электрического поля (сила Лоренца), перпендикулярна как электрическому, так и магнитному полю. Поэтому данная формула в

264

этом случае будет связывать между собой х-компоненту электрического поля с у-компонентой тока и наоборот. Итак, можно окончательно утверждать, что в двумерном электронном газе в сильном магнитном поле недиагональная, холловская компонента проводимости дается приведенным выше выражением (21.1), что составляет основное содержание квантового эффекта Холлаx.

Интерференционные эффекты в наноструктурах

Взаимодействие электронных волн в наноразмерных структурах как между собой, так и с неоднородностями в них может сопровождаться интерференцией, аналогичной той, которая наблюдается для световых волн. Отличительная особенность такой интерференции состоит в том, что благодаря наличию у электронов заряда имеется возможность управлять ими с помощью локального электростатического или электромагнитного поля и таким образом влиять на распространение электронных волн .

Туннелирование электронов

Уникальным свойством квантовых частиц, в том числе и электронов, является их способность проникать через преграду даже в случаях, когда их энергия ниже потенциального барьера, соответствующего данной преграде. Это было названо туннелированием. Схематически оно представлено на рис. 21.3. Будь электрон классической частицей, обладающей энергией E, он, встретив на своем пути преграду, требующую для преодоления большей энергии U, должен был бы отразиться от этой преграды. Однако как волна он хотя и с потерей энергии, но проходит через эту преграду. Соответствующая волновая функция, а через нее и вероятность туннелирования, рассчитываются из уравнения Шрёдингера

.

Этавероятностьтемвыше,чемгеометрическитоньшебарьер и меньше разница между энергиейпадающего электрона и высотой барьера.

265

Квантовое ограничение, проявляясь в наноразмерных структурах, накладывает специфическийотпечаток и на туннелирование. Так, квантованиеэнергетических состояний электронов в очень тонких, периодически расположенных потенциальныхямах приводит к тому, что туннелирование черезних приобретает резонансный характер, т. е. туннельно просочиться через такую структуру могут лишь электронысопределеннойэнергией.

Рис. 21.3. Туннелирование электрона с энергией E через потенциальный барьер высотой U,U > Е (а) и траектория его движения(б)

Другим специфическим проявлением квантового ограничения является одноэлектронное туннелирование в условиях кулоновской блокады (рис. 21.4).Чтобы объяснить этот термин, рассмотрим иллюстрируемый рис. 21.4 пример прохождения электроном структуры металл–диэлектрик–металл.

Рис. 21.4. Одноэлектронное туннелирование в условиях кулоновской блокады

В качестве наглядной иллюстрации параллельно проводится аналогия с каплей, отрывающейся от края трубки. Первоначально граница раздела между металлом и диэлектриком электрически нейтральна. При приложении к металлическим обла-

266

стям потенциала на этой границе начинает накапливаться заряд. Это продолжается до тех пор, пока его величина не окажется достаточной для отрыва и туннелирования через диэлектрик одного электрона. После акта туннелирования система возвращается в первоначальное состояние. При сохранении внешнего приложенного напряжения все повторяется вновь. Таким образом, перенос заряда в такой структуре осуществляется порциями, равными заряду одного электрона. Процесс же накопления заряда и отрыва электрона от границы металла с диэлектриком определяется балансом сил кулоновского взаимодействия этого электрона с другими подвижными и неподвижными зарядами в металле.

Рассмотренные квантовые явления уже используются в разработанных к настоящему времени наноэлектронных элементах для информационных систем. Однако следует подчеркнуть, что ими не исчерпываются все возможности приборного применения квантового поведения электрона. Активные поисковые исследования в этом направлении продолжаются и сегодня.

267

Лекция 22 Определениегетероперехода Энергетическая диаграмма идеального гетероперехода

Определениегетероперехода

Полупроводниковые гетероструктуры лежат в основе конструкций современных транзисторов, приборов квантовой электроники, СВЧ-техники, электронной техники для систем связи, телекоммуникаций, вычислительных систем и светотехники.

Основным элементом гетероструктур различного типа является гетеропереход.

Под гетеропереходом понимается контакт двух различных по химическому составу полупроводников, при котором кристаллическая решетка одного материала без нарушения периодичности переходит в решетку другого материала.

Различают изотипные и анизотипные гетеропереходы. Если гетеропереход образован двумя полупроводни-

зуютсяполупроводникамис разным типомпроводимости.

Существует три модели гетероперехода: -идеальный гетеропереход; -неидеальный гетеропереход; -гетеропереход с промежуточнымслоем.

В идеальном гетеропереходе, в отличие от неидеального, на границераздела материалов отсутствуют локальные энергетические состояния для электронов. Гетеропереход с промежуточным слоем формируется через слой конечной толщины и локальные энергетические состояния могут существовать как в самом промежуточном слое, так и на границах его раздела.

Энергетическая диаграмма идеального гетероперехо-

да

Для построения энергетической диаграммы часто при-

268

меняют простое «правило электронного сродства» (в англоязычной литературе – правило Андерсона), согласно которому разрыв зоны проводимости равен разности электронного сродства двух материалов. Но следует иметь в виду, что данный подход далеко не всегда справедлив, так как в разрыв зон зависят еще и от деталей формирования связей на гетерогранице и деформационного потенциала.

Для построения энергетической диаграммы идеального гетероперехода должны быть известны следующие характеристики полупроводников:

-ширина запрещенной зоны (Eg1, Eg2). При построе-

Следует учитывать, что термодинамическая работа выхода зависит от положения уровня Ферми, то есть от уровня легирования материала;

-сродство к электрону (χ1, χ2) – расстояние от дна зоны проводимости до уровня вакуума.

Припостроении диаграммы считаем, что ширина запрещенной зоны и внешняя работа выхода неизменны до плоскости контакта, на которой они скачком изменяют свою величину;

-в приконтактном слое каждого из полупроводников происходит изменение потенциальной энергии электрона.

Полное изменение потенциальной энергии равно разно-

двух полупроводников, как и в случае обычного p-n-перехода, электроны начнут «переходить» из полупроводника с меньшей работой выхода в полупроводник с большей. Это будет происходить до тех пор, пока диффузионный ток не будет скомпенсирован дрейфовым током носителей заряда под

269

воздействием поля, созданным избыточными носителями. При этом возникнет контактная разность потенциалов

ϕ0 =Ф2-Ф1

иобразуется область пространственного заряда шириной d (Рисунок 1).

При таком построении видно, что из-за различия электронного сродства в контактирующихполупроводниках дно зоны проводимости первого полупроводника выходит на плоскость контакта в точке, не совпадающей в общем случае с точкой выхода на эту плоскость дна зоны проводимости второго полупроводника – формируется разрыв зоны проводимости ∆Ec. Он равен

∆Ec = χ1 −χ2 .

Аналогично формируется разрыв валентной зоны

∆Ev =Eg2 − Eg1 −∆Ec.

Следует заметить, что разрывы зон могут быть как положительными так и отрицательными. Можно выделить следующие разновидностигетеропереходов:

1)охватывающий переход возникает, когда разрыв зоны проводимости ∆Ec и разрыв валентной зоны ∆Ev положительны. Такой случай реализуется, например, в гетероперехо- деGaAs-AlGaAs. В литературе данный тип гетероперехода называют гетеропереходомI типа, или стандартным.

2)в случае же, когда разрыв один из разрывов зон

переходе InP-In0,52Al0,48As.

3) также возможен вариант, когда запрещенные зоны вообще не перекрываются по энергии. Данный гетеропереход называет гетеропереходом III типа или разрывным гетеропереходом. Классический пример – гетеропереходInAs-GaSb.

Экспериментально измеренные параметры основных типов гетеропереходов изображены на рисунке2.

270

Рисунок 22.1. Энергетические диаграммы полупроводников (а) и диаграмма идеального гетероперехода (б).

Для характеристики гетероперехода также применяют параметр, называемый разрывом зоны проводимости, показывающий процент разрыва зоны, приходящийся на зону проводимости.

= ∆ ∆

где

∆Eg = Eg2 − Eg1 .

Для построения энергетической диаграммы конкретного гетероперехода, нужно вычислить контактную разность потенциалов φ0. Для этого необходимо сначала рассчитать положение уровня Ферми в каждом из материалов гетеропары.

Для вычисления положения уровня Ферми относительно дна зоны проводимости (µ=F-Ec) потребуется знать температуру, концентрацию основных носителей и плотность состояний в зонах Nc иNv.

Для невырожденного примесного полупроводника n типа положение уровня Ферми относительно зоны проводимости находитсяиз выражения

Рисунок 22.2. Экспериментально определенные разрывы валентной зоны и зоны проводимости двух наиболее близких по параметрам решетки гетеропар: a) In0.53Ga0.47AsIn0.52Al0.48As- In0.53Ga0.47As-InP и б) InAs-GaSb-AlSb .

272

Если приведены поперечная и продольная составляющая эффективных масс, число эквивалентных эллипсоидов M, то плотность состояний в этом случае рассчитывается по формуле

= / ( ┴ ‖) /

В полупроводниках p-типа необходимо также учесть вклад двух подзон от легких и тяжелых дырок:

Далее по формулам вычисляем положение уровня Ферми и контактную разность потенциалов:

Для вычисления распределения потенциала в области пространственного заряда требуется решить совместно уравнение Пуассона и уравнение плотности тока, при условии, чтобы в равновесии диффузионный ток через переход уравновешивался дрейфовым током. В приближении Шоттки в случае равномерного легирования полупроводников для анизотипного гетероперехода получается линейная зависимость поля и параболическая зависимость потенциала: в области –d1 < x < 0

В области 0 < x < d

А размер области пространственного заряда получаются равными:

273

Полная длина ОПЗ:

Распределение поля и потенциала показано на рисунке 3

Рисунок 22.3. Распределение поля и потенциала в резком анизотипном гетеропереходе.

Следует также принимать во внимание, что материалы гетеропары могут иметь минимумы зоны проводимости в разных точках зоны Брюллиена. К примеру, минимум зоны проводимости GaAs находится в точке Г, в то время как наименьший минимум в AlAs близок к точке X. Таким обра-

от прямого расположения (минимум в Г) зон до непрямой зонной структуры (минимум в Х) при содержании Al x≈0.45.

Al, меньше 0.4, чтобы получить прямое расположение зон.

Рисунок 22.4. Расположение валентной зоны и зоны проводимости в AlxGa1-xAs.

требуется построить энергетическую диаграмму p- GaAs - n- Al0.3 Ga07 As. Используя справочные данные (см. Таблица 1), находим ширину запрещенной зоны и электронное сродство для материалов гетеропары. При этом учитываем, что при х=0.3 минимум зоны проводимости твердого раствора AlxGa1-x As лежит в точке Г (см. рисунок 4). Для GaAs получаем

Eg1=1.424 эВ и χ1=4.07 эВ, а для Al0.3 Ga0.7 As – Eg2=1.798 эВ и χ2=3.74эВ.

Построение зонной диаграммы разобьем на несколько этапов. Сначала отдельно нарисуем зонные диаграммы для GaAs и Al0.2 Ga0.8 As в отсутствие контакта. Относительно энергии электрона в вакууме их следует располагать,

используя определение электронного сродства.

Далее нарисуем уровни Ферми в двух полупроводниках в со-

и Ec, Ev в GaAs (рисунок 22.5, в). На последнем этапе нарисуем разрывы зон (рисунок 5, г).

Рисунок 22.5. Пример построения энергетической диаграммы гетероперехода p-GaAs-n-AlGaAs.

276

Лекция 23 Требования к материалам, образующим гетеропереход

Квантовые нити

Требования к материалам, образующим гетеропере-

ход

Для того чтобы в кристаллической решетке двух материалов, составляющих гетеропереход, не было дефектов, необходимо как минимум, чтобы два материала имели одну и ту же кристаллическую структуру и близкие периоды решеток. В этом случае структура получается без напряжений. Ясно, что не все материалы могут быть использованы для создания гетероперехода. На рисунке 23.1 представлены наиболее часто применяемыe материалы для создания гетеропереходов. Руководствуясь приведенным рисунком, можно создавать гетеропереходы «на заказ» с желаемой величиной разрыва зон или квантовую яму с заданной формой потенциала.

При определении свойств тройных и четверных соединений можно пользоваться обобщенным правилом Вегарда. В этом случае тройной состав AxB1-x C можно описать как сочетание двух, а четверной AxB1-x CyD1-y, как сочетание трех или четырех двойных соединений. При этом значения физических параметров (θABC или θABCВ) сложного соединения представляют собой средние значения параметров двойных соединений, взятых с весом, пропорциональным их доле:

создания гетеропереходов. Руководствуясь приведенным рисунком, можно создавать гетеропереходы «на заказ» с желаемой величиной разрыва зон или квантовую яму с заданной формой потенциала.

277

Для согласования эмпирических зависимостей с экспериментальными данными в правую часть этих соотношений вводят члены, квадратичные по x и y.

Рисунок 23.1. График зависимости энергии запрещенной зоны при низкой температуре от постоянной решетки для ряда полупроводников со структурой алмаза и цинковой обманки. Затененные области объединяют группы полупроводников с близкими постоянными решеток. Полупроводники, соединенные сплошными линиями, образуют между собой стабильные твердые растворы. Отрицательное значение, приведенное для энергии запрещенной зоны HgSe, является спорным. Штриховые линии указывают на непрямые запрещенные зоны.

В Таблицах 23.1,2 приведены некоторые параметры полупроводников, наиболее часто использующихся для создания гетероструктур. Здесь применены следующие обозначения:

a - период кристаллической решетки ħωL0 - энергия продольного фонона ħωT0 - энергия поперечного фонона

278

Г- прямой разрыв зон в точке Г

-прямой разрыв зон в точке Х

-прямой разрыв зон в точке L

∆- величина спин-орбитального отщепления валентной

зоны

χ - сродство к электрону

mГ - эффективная масса электронов в Г-долине

- поперечная эффективная масса электронов в Г-

долине

- продольная эффективная масса электронов в Х-

долине

mlh - эффективная масса легких дырок mhh - эффективная масса тяжелых дырок

mso - эффективная масса спин-отщепленных дырок ε(ω = 0) - относительная диэлектрическая проницае-

мость

Эффективные массы электронов и дырок приведены в m/m0, где m0 - масса покоя электрона.

В Таблице 23.1 приведены некоторые параметры наиболее распространенного тройного соединения AlGaAs.

279

Таблица 23.1. Некоторые параметры твердого раствора AlGaAs при комнатной температуре.

280

Таблица 23.2. Некоторые параметры наиболее часто используемых для создания гетеропереходов материалов.

Из правила Вегарда следует, что можно подобрать такой состав тройного соединения, при котором будут совпадать параметры решеток, но зонные параметры будут различные. Таким образом, можно получать гетеропереходы с заданными зонными параметрами. Так на подложке GaAs может быть выращен без значительных напряжений AlAs, а также твердый раствор AlX Ga1-X As практически любого состава. Как видно из графика у твердого раствора Ax Ga1-x As период решетки меняется менее чем на 0.15% при изменении х 0 до 1. Существует очень мало материалов, которые образуют гетеропереход с GaAs без напряжений.

Альтернативой подложки арсенида галлия является InP. Но на данной подложке могут быть без напряжений выращены только два твердых раствора: Al0,48In0,52As и Ga0,47In0,53As.