Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

4_magnetizm

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
10.06.2015
Размер:
262.06 Кб
Скачать

Лекции по физике

1 семестр

4 Магнетизм

2 Магнитное поле в вукууме

Магнитное поле в вукууме

Закон взаимодействия элементарных токов

Закон взаимодействия токов гораздо сложнее закона Кулона, поэтому неудивительно, что в его исследовании и открытии приняло участие много учёных. Существенный вклад в эти исследования внесли Био1, Савар2, Ампер3, Лаплас4.

В 1820 году копенгагенский профессор физики Эрстед5 открыл, что проводник с током вызывает появление сил, действующих на магнитную стрелку. При помещении провода с током вдоль магнитной стрелки поверх неё, северный конец стрелки отклоняется в сторону, определяемую по следующему правилу: при расположении правой руки ладонью вниз, четырьмя пальцами по направлению тока, большой палец, отогнутый на 90 , покажет направление отклонения стрелки. При помещении провода с током под магнитной стрелкой, последняя отклоняется в противоположную сторону.

Также в 1820 году Био и Савар сформулировали закон для силы dF действия элемента тока I dl на магнитный полюс, удалённый на некоторое расстояние r:

1Био Жан Батист (21.04.1774-3.02.1862) — французский физик, член Парижской АН (1803). Родился в Париже. Окончил Политехническую школу (1797). С 1800 — профессор Колледж де Франс, в 1808-49 — Парижского университета.

2Савар Феликс (30.06.1791-16.03.1841) — французский физик, член Парижской АН (1827). Родился в Мезьере. Окончил Страсбургский университет (1816), получив медицинское образование. Работал военным хирургом. С 1816 занялся физикой, с 1828

профессор экспериментальной физики в Колледж де Франс.

3Ампер Андре Мари (22.01.1775-10.06.1836) — французский физик, математик и химик, член Парижской АН (1814). Родился в Лионе. Получил домашнее образование. В 1805-24 работал в Политехнической школе в Париже (с 1809 — профессор), с 1824

профессор Колледж де Франс.

4Лаплас Пьер Симон (28.03.1749-5.03.1827) — французский астроном, физик и математик, член Парижской АН (1785). Родился в Бомон-ан-Оже. учился в школе бенедиктинцев. В 1771 стал профессором Военной школы в Париже, в 1790 — председателем Палаты мер и весов.

5Эрстед Ханс Кристиан (14.08.1777-9.03.1851) — датский физик, непременный секретарь Датского королевского общества (с 1815). Родился в Рудкёбинге (о. Лангелани). Окончил Копенгагенский Университет (1797). С 1806 — профессор этого университета, с 1829 одновременно директор Копенгагенской политехнической школы.

Закон взаимодействия элементарных токов

3

dF I dl ( )f(r),

 

где — угол, описывающий взаимную ориентацию элемента тока и магнитного полюса, Функция ( ) была найдена экспериментально,

аf(r) выведена теоретически Лапласом: f(r) r 2.

Вокончательном виде закон Био-Савара-Лапласа был сформулирован в 1826г. в виде формулы для силы, действующей на магнитный полюс, поскольку понятия напряжённости и магнитной индукции магнитного поля ещё не существовало.

В1820г. Ампер открыл взаимодействие токов — притяжение или лтталкивание параллельных токов. Так сонаправленные или текущие в одном направлении токи притягиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Также Ампер доказал эквивалентность соленоида (катушки индуктивности) и постоянного магнита. Таким образом, задача о магнитном взаимодействии свелась к задаче о взаимодействии элементов тока. Данный закон должен был стать аналогом закона Кулона. В настоящее время для взаимодействия токов используется формула полученная не Ампером, а Грассманом в 1844г.:

 

 

I

2

dl

2

 

I dl r

 

 

I dl

, I dl ,r

 

 

dF

k

 

 

 

1 1 12

k

2

2

1

1 12

 

,

(1.1)

 

 

 

 

 

r3

 

 

 

r3

 

 

12

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

12

 

 

 

 

где dF12 — сила, с которой элемент тока I1 dl1

действует на элемент

тока I2 dl2 ; r12

радиус-вектор,

проведённый от

элемента

тока

I1 dl1 к элементу тока I2 dl2 .

Сила dF21 , с которой второй элемент тока действует на первый, определяется той же формулой, но со взаимной заменой индексов 1 и 2. Вообще, силы dF12 и dF21 не коллинеарны друг другу, следова-

тельно, взаимодействие элементов тока не удовлетворяет III за-

кону Ньютона: dF12 dF21 0. Дело в том, что реально на любой элемент тока действует не элемент другого тока, а весь замкнутый ток, к которому принадлежит тот элемент. Поэтому III закону Нью-

тона удовлетворяют силы взаимодействия замкнутых токов.

4 Магнитное поле в вукууме

Закон Био-Савара-Лапласа. Сила Ампера

Взаимодействие элементов тока представляется следующим образом: элемент тока I1 dl1 создаёт в точке нахождения элемента тока I2 dl2 магнитное поле, которое действует непосредственно на этот элемент с силой dF12 . Таким образом, магнитное поле элемента тока описывается вектором магнитной индукции:

dB

k

I1 dl1 r12

k

I1 dl1,r12

,

(1.2)

r3

r3

12

2

2

 

 

 

 

12

 

12

 

 

а сила, действующая на второй элемент тока, выражается через магнитную индукцию:

dF12 k3I2 dl2 dB12 k3 I2 dl2,dB12 .

(1.3)

Для силы, действующей со стороны замкнутого тока, а, следовательно, и для магнитной индукции выполняется принцип суперпо-

зиции: различные участки проводника создают каждый свое магнитное поле. Все вместе создают общее магнитное поле, при этом индукция полей векторно складывается и даёт индукцию В результирующего магнитного поля.

В формуле (1.1) коэффициент пропорциональности k1 определяется произведением коэффициентов пропорциональности k2 в формуле (1.2) и k3 в (1.3): k1 k2 k3. Таким образом, выбор единицы измерения вектора магнитной индукции определяется одним из коэффициентов k2 или k3 , если введена единица измерения силы тока и обоими, если единица силы тока тоже определяется из данных уравнений. При построении магнитной системы единиц СГСМ, основанной на системе СГС, оба последних коэффициента выбираются равными единице. В СГСМ единица силы тока определяется из равенства единице коэффициента в уравнении (1.1): k1 1. Поэтому, единица измерения силы тока и заряда, входящих как в электрические, так и в магнитные явления в системах СГСЕ и СГСМ различны.:

1 СГСМ 29979245800 СГСЕ

I

3 1010

СГСЕ 10 А.

I

СГСМ

I

СГСЕ

c.

I

 

 

I

 

 

 

1 СГСМ 29979245800 СГСЕ

q

 

3 1010

СГСЕ 10 Кл.

q

СГСМ

q

c.

q

 

 

q

 

 

 

СГСЕ

 

Так как такое положение дел не является удовлетворительным, то была введена система единиц Гаусса (в дальнейшем просто система СГС), в которой все формулы и единицы измерения физических величин связанных с электрическими явлениями и с электрическим током совпадают с системой СГСЕ, а единицы измерения физических величин, связанным с магнитными явлениями, совпадают с единицами измерения СГСМ системы единиц. Значения коэффициентов пропорциональности в формулах

(1.1)-(1.3) в различных системах единиц приведены

в нижеследующей таблице

( c 299 792 458 м с — скорость света в вакууме;

 

4 10 7 Гн м — магнитная

 

0

 

постоянная):

 

 

 

Закон Био-Савара-Лапласа. Сила Ампера

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица коэффициентов в формулах (1.1)-(1.3)

 

Коэффициент

 

Система СИ

 

 

 

Система

 

Система

 

Система

 

 

 

пропорциональности

 

 

 

Гаусса (СГС)

 

 

СГСМ

 

СГСЕ

 

 

 

 

k2

 

 

 

0 4

 

 

 

 

 

1 c

 

 

 

1

 

1 c2

 

 

 

 

k3

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1 c

 

 

 

1

 

1

 

 

 

k1 k2 k3

 

 

 

0 4

 

 

 

 

 

1 c2

 

 

 

1

 

1 c2

 

 

 

Так как в систему Гаусса вошли токи и заряды определённые в системе СГСЕ

(1 СГСI

1 СГСЕI; 1 СГСq

1 СГСЕq ),

то

в уравнениях

магнитных

явлений токи

и

заряды

СГСМ

системы

выражаются через

СГСЕ

величины:

 

IСГСМ IСГСЕ

c,

 

qСГСМ qСГСЕ c,

что

выглядит

в

уравнениях

магнитных явлений

 

как добавление

множителей 1 c

к каждому току и заряду.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В качестве единицы измерения вектора магнитной индукции в системе СИ вы-

ступает 1 Тл (Тесла), а в гауссовой системе единиц: 1 СГСB 1 СГСМB 1 Гс (Гаусс).

 

1Тл 104 Гс; 1Гс 10 4 Тл.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С учётом вышеизложенного запишем закон взаимодействия

элементарных токов6:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I2 dl2, I1 dl1,r12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dF

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

(1.1 )

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

r3

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

где

4 10 7 Гн м — магнитная постоянная.

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Также запишем выражение для индукции магнитного поля соз-

данного элементом тока I dr

закон Био-Савара-Лапласа7:

 

 

 

 

 

 

 

 

dB(r )

 

 

0

I dr,(r0 r)

,

 

 

(1.2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

4

 

 

r r

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где r — радиус-вектор элемента тока, r0 — радиус-вектор точки, в которой рассматривается поле.

Сила действующая на элемент тока I dl со стороны магнитного поля с индукцией B получила название силы Ампера8:

dF I dl,B

(1.3 )

6

Закон взаимодействия элементарных токов в системе Гаусса (СГС) (с — ско-

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рость света в вакууме): dF

 

 

I2

dl2, I1 dl1,r12

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

c2

r3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

Закон Био-Савара-Лапласа в системе Гаусса (СГС):

dB(r )

1

Idr,(r0 r)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

c

 

 

r r

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

8

Сила Ампера в системе Гаусса (СГС): dF

1 I dl,B .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

6 Магнитное поле в вукууме

Закон Био-Савара-Лапласа сформулированный для элемента тока не может быть проверен, поэтому чаще его формулируют для поля замкнутого тока:

B(r )

0

 

I dr,(r0 r)

.

 

 

(1.4)

4

 

 

 

0

 

r0 r

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая, что Idr jS dl jdV

(dl

 

dr

 

;

вектора j и dr со-

 

 

направлены), получим выражение для индукции магнитного поля объёмных токов:

B(r )

0

 

j(r),(r0 r)

dV.

(1.5)

4 V

 

0

 

r0 r

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сила Лоренца. Движение заряда в магнитном поле

 

Учитём, что Idl jS dl jdV qnvdV qvdN (вектора

j и

dl сонаправлены; n — концентрация зарядов q), положим число частиц dN 1. Тогда сила, действующая на точечный заряд:

F qv,B .

Учитывая, что на заряд помимо магнитного поля действует и электрическое, которые неразрывно связаны друг с другом, получим выражение для силы Лоренца9:

F qE q v,B .

При попадании заряда в магнитное поле, на него начинает действовать сила, перпендикулярная скорости заряда. Т.е. траектория движения заряда является криволинейной. Рассмотрим частный случай нерелятивистского движения заряда в постоянном однородном магнитном поле. В случае, когда скорость заряда перпендикулярна магнитной индукции v B, заряд движется по окружности, радиус которой можно найти из II закона Ньютона, в котором необходимо учесть для ускорения его значение для движения по окружности, а для силы выражение для силы Лоренца:

m

v2

qvB

 

R

mv

.

R

 

 

 

 

 

qB

9 В СГС: F qE q v,B c.

Взаимодействие прямых токов. 1 Ампер

7

Если угол между скоростью заряда и вектором магнитной индукции отличен от нуля, то для кривизны траектории (!) получим:

m

v2

qvBsin

 

R

mv

.

R

qBsin

 

 

 

кр

 

 

кр

 

 

 

 

 

Однако, в этом случае траекторией заряда будет спираль радиусом R (радиус цилиндрической поверхности на которой находится спиральная траектория) и шагом h (расстояние между двумя ближайшими точками траектории вдоль образующей цилиндрической поверхности). Для нахождения параметров спиральной траектории разложим движение на две составляющие: поступательное движение вдоль поля со скоростью v vcos и вращения по окружности со скоростью v vsin в плоскости, перпендикулярной полю. Во втором случае радиус окружности:

R mv mvsin . qB qB

Период обращения:

T

2 R

 

2

 

mv

 

2 m

 

 

 

 

.

v

v

qB

qB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шаг винтовой траектории:

h v T 2 m vcos .

 

qB

 

Следует заметить, что при уменьшении угла между полем и скоростью (при условии 2) радиус винтовой траектории уменьшается, а радиус кривизны траектории увеличивается.

Взаимодействие прямых токов. 1 Ампер

Рассмотрим поле прямого тока идущего из бесконечности и уходящего в бесконечность10. Пусть провод с током расположен вдоль оси Oz и течёт в положительном направлении данной оси, а точка наблюдения находится на расстоянии r от провода в точке (r,0,0).

10 Подразумевается что данный ток в бесконечности замыкается, но так как это происходит в бесконечно далёкой области, то интегрирование по данному пути даёт пренебрежимо малый вклад в закон Био-Савара-Лапласа.

8 Магнитное поле в вукууме

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, r zez;

dr ez dz;

r0 r ex;

dr,(r0 r)

 

ex

ey

ez

 

eyrdz.

 

 

 

0

0

dz

 

 

 

 

r

0

z

 

 

Вектор магнитной индукции лежит в плоскости, перпендикулярной проводнику и перпендикулярен линии, опущенной из рассматриваемой точку поля на провод с током. На рисунке ось Oz направлена вверх, ось Ox — вправо, Oy — «от нас». Таким образом в искомой точке вектор магнитной индукции направлен «от нас». Значение магнитной индукции:

 

 

 

dz

 

0

By

 

Ir

 

.

4

r2 z2 3 2

Учитывая R r2 z2 rcos и dz Rd cos , получим

 

 

2

Rd

 

 

 

 

 

2

cos2 d

 

 

 

 

I 2

 

By

0

Ir

 

 

 

 

 

0

Ir

 

 

 

 

0

 

 

 

 

cos d

4

R3 cos

4

r2 cos

4 r

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

2I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

sin

 

 

 

 

 

0

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 r

2

sin

 

4

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Если поместить параллельно первому проводнику второй на расстоянии r, то в каждой точке второго проводника вектор магнитной индукции будет перпендикулярен ему и постоянен. Таким образом, сила, с которой первый проводник воздействует на второй равна:

F I lB

0

 

2lI1I2

.

(1.6)

 

 

2

4

 

r

 

 

 

 

В случае равных значений сил токов из данной формулы можно определить единицу измерения силы тока (в СИ). Так сила тока в

1 Ампер11 сила неизменного тока, который проходя по двум

11

В СГС: F

1 2lI I

 

F

2lI2

 

I

 

rF

 

 

 

 

1 2

.

В СГСМ:

 

 

 

и сила тока

 

2

 

 

r

2l

 

 

c

 

r

 

 

 

 

 

 

 

100см 2 10 7 105 дин 0.1дин12 0.1СГСМ-ед. силы тока.

200см

Напряжённость магнитного поля

9

параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенного на расстоянии 1 м друг от друга в вакууме, вызывает на каждом участке проводника длины 1 м силу взаимодействия 2 10 7 Н.

Из определения 1 Ампера и (1.6) следует выражение для 0 :

 

 

4 rF

 

4 1м 2 10 7

Н

7

Гн

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 10

 

.

(1.6)

2lI I

 

2

1м 1А2

 

м

0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Единица измерения 0 будет введена позднее.

Напряжённость магнитного поля

Для описания магнитного поля наряду с вектором магнитной индукции используется другая векторная физическая величина — напряжённость магнитного поля. Если B — магнитная индукция в какой-либо точке поля в вакууме, то напряжённостью магнитного поля в той же точке является величина12:

H B 0 .

Единицей измерения напряжённости магнитного поля служит Ампер делённый на метр: [H]СИ м.

Выразим закон Био-Савара-Лапласа для напряжённости магнитного поля через токи:

H(r)

 

I

 

dr r r

(1.7)

 

4

 

 

r r

 

3

 

 

 

 

 

и через объёмные токи13:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H(r)

j(r ) r

r

 

dV.

(1.7 )

 

r r

3

 

 

V

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зная напряжённость магнитного поля созданного токами, можно найти индукцию умножением на размерный коэффициент 0 и на

12

В СГСМ

— безразмерная величина, равная единице. Тогда H B. Едини-

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

цей измерения напряжённости магнитного поля является 1 Эрстед:

[H]

 

1

 

103 А м 79.6А м;

[H]

 

1А м 4 10 3 Э 12.6 10 3 Э.

 

 

СГС

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

СИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

В СГС: H(r)

I

 

dr r r

; H(r)

1

 

 

j(r

 

) r

r

dV.

 

c

 

 

r r

 

3

c

 

 

r r

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10 Магнитное поле в вукууме

величину магнитной проницаемости среды , в которой находится рассматриваемая точка поля14:

B 0H.

(1.8)

Магнитная проницаемость среды есть величина безразмерная и показывающая во сколько раз увеличивается магнитное поле за счёт присутствия среды. Более подробно напряжённости магнитного поля и магнитная проницаемость среды будет рассмотрена в теме «магнетики».

Применение закона Био-Савара-Лапласа

Магнитное поле в центре кругового витка

Рассмотрим круговой проводник в форме окруж-

ности с

током I и радиусом R. Все элементы тока

dl dr

перпендикулярны радиус вектору r r .

Поместим начало координат в центр кругового проводника r 0. Определим вектор нормали в начале координат как единичный вектор, перпендикулярный плоскости кругового витка и составляющий с направлением тока правило правого винта. Из закона Био-

Савара-Лапласа (1.7) получим значение напряжённости магнитного поля в центре кругового проводника15:

H

I

 

dr r

 

I

 

dl

n

I 2 R

n

I

n.

(1.9)

4

 

r

3

4

2

4

 

R

2

2R

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

Магнитное поле на оси кругового витка

Все элементы тока dl dr кругового проводника с током I и радиусом R перпендикулярны радиус вектору r r . Так же поместим начало координат в центр кругового проводника. Определим значение вектора напряжённости магнитного поля на оси кругового проводника (на прямой проходящей через центр окружности и перпендикулярной ей) на расстоянии h от плоскости витка r hn. Рассмотрим поле созданное двумя одинаковыми элементами тока

14

В СГС: B H.

 

 

 

 

 

 

 

 

15

В СГС: H

1

I

dr r

 

2 I

n.

 

c

 

r

 

3

cR

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.