3_elektrichesky_tok_bez_oformlenia

Из уравнения видно, что полезная мощность, развиваемая источником, зависит от величины внешнего сопротивления. Меняя внешнее сопротивление, можно получить во внешней цепи максимальную полезную мощность Pm. Значение сопротивления внешней цепи R Rm, соответствующее максимальной мощности, получим дифференцируя выражение для полезной мощности по R и приравнивая производную нулю:

Мощность, выделяемая во внешней цепи, достигает наибольшего значения, если сопротивление R внешней цепи равно внутреннему сопротивлению r источника тока.

Рассмотрим, зависимость полезной мощности от силы тока в цепи. Для этого в формулу P I2R подставим сопротивление внешней цепи, выраженное из закона Ома для замкнутой цепи:

PI2R I2 E r I E Ir EI rI2.

I

Отсюда видно, что полезная мощность P меняется с изменением силы тока I по параболическому закону. Полезная мощность обращается в нуль, если I(E Ir) 0 . Это даёт два значения тока:

I1 0, I2 Er.

Первое решение соответствует разомкнутой цепи (R r ), второе — короткому замыканию (R r ).

Исследуя данную функцию на максимум (беря производную и приравнивая нулю), получаем, что максимальное значение полезной мощности достигается при

Если сравнить полученное выражение с законом Ома для замкнутой цепи, то видно, что это условие аналогично условию для со-

22 Постоянный ток

противлений, т.е. когда сопротивление внешней цепи R равно внутреннему сопротивлению источника r.

Наибольшее возможное значение полезной мощности:

Pm Im (E Imr) 2Er E 2Er r E4r2 .

Зависимость КПД от силы тока выражается следующей формулой:

КПД достигает наибольшего значения 1 в случае, когда внешнее сопротивление на много порядков превышает внутреннее, что соответствует практически разомкнутой цепи I E(R r) 0, и затем, уменьшаясь, обращается в нуль при коротком замыкании: U 0.

Рис. 2.

Графики зависимости полезной мощности P P(I) и КПД от силы тока (I) показаны на рис. 2. Видно, что условия получения наибольшей полезной мощности и наибольшего КПД несовместимы. Когда мощность достигает наибольшего значения Pm КПД m 0.5 или 50%. Когда же КПД близок к единице, полезная мощность мала. В силовых электрических установках важнейшим требованием является получение высокого КПД, а для этого мощность потерь (мощность, выделяемая в источнике тока), как разность полной и полезной мощностей должна быть мала по сравнению с полной или полезной мощностью:

Pпот P0 P IE UI rI2 UI RI2,

т.е. внутреннее сопротивление r источника должно быть мало по сравнению с сопротивлением R нагрузки (сети).

вся мощность выделяется внутри источника, что может привести к перегреву внутренних частей источника и выходу его из строя. По этой причине короткие замыкания мощных источников недопустимы.

Зарядка и разрядка конденсатора

Рассмотренные законы получены для постоянных токов. Но эти законы применимы и для непостоянных, изменяющихся токов, если только изменение силы тока происходит не слишком быстро.

Если изменения тока настолько медленны, что за время установления электростатического равновесия изменения токов и ЭДС малы, то мгновенные значения токов и ЭДС будут подчиняться всем законам постоянного тока. Такие токи называют медленно изме-

няющимися или квазистационарными.

Рассмотрим процессы разрядки и зарядки конденсатора.

Разрядка конденсатора

Рассмотрим цепь содержащую конденсатор и сопротивление. После замыкания ключа, с пластины с положительным зарядом q будет истекать ток

i dtq dtdq ,

где q — заряд, проходящий через поперечное сечение проводника за время dt, dq — изменение заряда данной обкладки за то же время (отрицательное, т.к. заряд обкладки уменьшается). Падение потенциала на сопротивлении будет равно Ri. С другой стороны, оно должно быть равно падению потенциала на обкладках конденсатора qC :

Проинтегрируем левую и правую части от начального момента времени t0 0 до произвольного:

где 1(RC).

24 Постоянный ток

Таким образом заряд и напряжение на конденсаторе (uC qC) экспоненциально уменьшаются, так же как и сила тока:

i q q0 exp t RCq0 exp t UR0 exp t I0 exp t .

Зарядка конденсатора

Рассмотрим цепь содержащую конденсатор, сопротивление и источник тока (ЭДС). После замыкания ключа, конденсатор начнёт заряжаться. При этом, на пластину с положительным зарядом q будет втекать ток

i dtq dqdt .

Теперь dq имеет положительный знак, т.к. заряд обкладки увеличивается. Падение потенциала на сопротивлении равно Ri, а на обкладках конденсатора qC. Сумма данных падений потенциала компенсируется в цепи действием ЭДС:

Ri Cq E.

Внутреннее сопротивление источника тока либо отсутствует (источник постоянного напряжения на клеммах), либо входит в сопротивление R. Разделим переменные в полученном выражении:

Перейдём к новой переменной uR E qC; duR dqC :

duR dt dt. uR CR

Проинтегрируем левую и правую части от начального момента времени t0 0 до произвольного: