3_elektrichesky_tok_bez_oformlenia

Фигурирующая в (12) обратная величина 1 называется

удельной электрической проводимостью материала. Единица, об-

ратная Ому, называется сименсом (См). Соответственно единицей является сименс на метр (См/м).

Проинтегрируем (11) по поверхности поперечного сечения проводника:

jdS I Sdl Edl.

Преобразуем последнее равенство (перенесем дробь в левую часть уравнения) и проинтегрируем по длине проводника:

I Sdl Edl.

Выражение, стоящее справа есть разность потенциалов или напряжение, а интеграл, стоящий слева, есть сопротивление проводника (сравни с формулой (5)). В итоге мы получили известный закон Ома для однородного участка цепи (4б).

Законы Ома для неоднородного участка цепи. ЭДС. Напряжение

Участок цепи, на котором не действуют сторонние силы, называется однородным. Участок, на котором на носители тока действуют сторонние силы, называется неоднородным.

Рассмотрим неоднородный участок цепи, на котором действуют

ности поля сторонних сил, т.е. сторонняя сила, отнесённая к еди-

нице заряда. Тогда в цепи, кроме напряжённости электрического поля, действуют напряжённости сторонних сил Eстор Fст q и формально Eстор ничем не отличается от обычной напряжённости E. Тогда, для обобщения закона Ома (12) на участок содержащий сторонние силы, к обычной напряжённости электростатического поля E в (12) необходимо добавить напряжённость сторонних сил:

12 Постоянный ток

Формула (13) выражает закон Ома для неоднородного участка цепи в дифференциальной форме.

Сумма напряжённостей электростатического поля и поля сторонних сил получила название напряжённости эффективного электрического поля.

Найдём поток вектора плотности тока через поперечное сечение проводника:

Проведя интегрирование по длине проводника, получим:

пи. Разбив контур интегрирования на участки, не содержащие сторонних сил и содержащие их, мы получим, соответственно, сопротивление однородного участка цепи (R) и внутреннее сопротивление

(E12 ) действующая на участке. ЭДС источника тока — это физиче-

ская величина, равная работе сторонних сил по замкнутому кон-

туру (или на участке цепи, что всё равно, так как работа сторонних сил осуществляется только внутри источника тока) над единич-

ным положительным зарядом:

Здесь учтено что

Aстор Fстdl q Eсторdl.

Правая часть уравнения (14) фактически содержит интеграл по траектории от напряжённости эффективного электрического поля (электростатического поля с учётом сторонних сил). Данный

интеграл получил название электрического напряжения или просто напряжения (вдоль определённой траектории):

Для однородных проводников понятия напряжения и разности потенциалов совпадают.

Размерность ЭДС и напряжения совпадает с размерностью по-

получим закон Ома для неоднородного участка цепи в интеграль-

ной форме — электрическое напряжение на участке цепи равно сумме падения потенциала на данном участке цепи и действующего на нём ЭДС:

ЭДС берётся положительным E12 0, когда при переходе от точки 1 к 2 источник тока (или просто ЭДС) повышает потенциал (сначала проходится отрицательный, а потом положительный полюсы источника тока). Как видно из приведённого закона, электрическое напряжение равно произведению силы тока на электрическое сопротивление. Фактически, данный закон Ома для неоднородного участка цепи обобщает понятие электрического напряжения на неоднородные участки цепи.

Формулу (16) можно представить в ином виде:

1 2 IR E12.

14 Постоянный ток

Левая часть равенства 1 2 даёт падение потенциала на участке 1-2. Это падение потенциала есть разность падения потенциала IR на «однородном» участке, обладающем сопротивлением R (здесь подразумевается, что ток направлен от точки 1 к точке 2, а в сопротивление R входит и внутреннее сопротивление) и повышения потенциала осуществляющегося источником E12 .

Напряжение на источнике тока оказывается зависящем от протекающего через него тока. Рассмотрим участок, содержащий только ЭДС, тогда

U12 I r E12.

Для замкнутого участка цепи первый интеграл в правой части (14) даст ноль ( 1 2 в (16)) и тогда это равенство преобразуется в

закон Ома для замкнутой цепи:

Таким образом, в отличии от разности потенциалов, электрическое напряжение зависит от траектории, вдоль которой оно рассматривается. Так как вольтметр измеряет напряжение при отсутствии сторонних сил, т.е. вдоль однородных участков цепи (внутри вольтметра), то фактически для постоянных токов вольтметр измеряет не напряжение, а разность потенциалов.

Разветвлённые цепи. Правила Кирхгофа

Рассмотрим произвольную разветвлённую сеть проводов, в отдельных участках которой включены гальванические элементы или другие источники тока. Электродвижущие силы этих источников постоянны и предполагаются известными. Токи во всех участках цепи и разности потенциалов на них можно рассчитать с помощью закона Ома и закона сохранения электрического заряда. Однако более просто задача решается с помощью двух правил Кирхгофа. Одно из них выражает закон сохранения электрического заряда для линейных проводов, а другое является следствием закона Ома. Сформулируем эти правила.

величинами разных знаков. Например,

менительно к рис. 4 первое правило Кирхгофа запишется так:

I1 I2 I3 0.

Если бы это правило не соблюдалось, то в точках разветвления проводов накапливались бы электрические заряды, меняющиеся во времени. Вместе с ними менялось бы во времени электрическое поле, а потому токи не могли бы оставаться постоянными.

Другая формулировка этого же правила: сумма входящих в узел токов равна сумме выходящих из этого узла токов.

Второе правило Кирхгофа. Выделим в сети произвольный замкнутый контур, состоящий из проводов. Сумма электродвижущих сил, действующих в таком контуре, равна сумме произведений сил токов в отдельных участках этого контура на их сопротивления.

складывая эти равенства, получим

I1R1 I2R2 I3R3 E1 +E2 E3,

т.е. второе правило Кирхгофа.

Другое доказательство. Рассмотрим напряжение (иногда употребляют термин падение напряжения) вдоль замкнутого контура:

Elэффdl Eldl Elсторdl.

Интеграл слева распадается на сумму интегралов по участкам с постоянными токами, каждый из которых равен произведению сопротивления на силу тока: IkRk . Первый интеграл справа равен нулю согласно теоремы о циркуляции электростатического поля. Второй интеграл справа равен сумме ЭДС вдоль замкнутого контура.

Таким образом, сумма падений потенциала вдоль произвольного замкнутого контура равна сумме ЭДС действующих в этом контуре:

IkRk Ek . k k

Правила Кирхгофа в каждом конкретном случае позволяют на-

писать полную систему линейных уравнений, из которой могут быть найдены все неизвестные токи. В неё совсем не входят неизвестные разности потенциалов. В исключении потенциалов из уравнений для токов и состоит упрощение, вносимое правилами Кирхгофа по сравнению с законом Ома. При применении правил Кирхгофа надо поступать следующим образом:

1) Направления токов во всех участках сети следует обозначить стрелками, не задумываясь над тем, куда эти стрелки направить.

Если вычисление покажет, что ток положителен, то его направление указано правильно. Если же ток отрицателен, то его истинное направление противоположно направлению стрелки.

2)Выбрав произвольный замкнутый контур, все его участки следует обойти в одном направлении. Если это направление совпадает с

направлением стрелки, то слагаемое RkIl берётся со знаком плюс. Если же эти направления противоположны, то оно берётся со знаком минус. Если при обходе контура источник тока проходится от отрицательного полюса к положительному, то его электродвижущую силу следует считать положительной, в противоположном случае её надо считать отрицательной.

3)Все электродвижущие силы и все сопротивления проводов должны входить в систему уравнений.

Другая формулировка второго правила: сумма падений потен-

циала на однородных участках вдоль произвольного замкнутого

контура I1R1 I2R2 I3R3 должна равняться сумме повышений потенциала сторонними силами (ЭДС) E1 +E2 E3 . При этом, если направления тока на некотором участке и обхода не совпадают, то на этом участке потенциал будет возрастать и «падение» потенциала будет отрицательным: перед таким слагаемым IR необходимо ставить знак « ». Аналогично, если некоторое ЭДС при обходе понижает потенциал, то его «повышение» будет отрицательным

иперед этим ЭДС тоже надо ставить знак « ».

Простейшая микроскопическая теория тока

Разложим скорости свободных электронов в металлах на две составляющие: скорость хаотического движения и скорость упорядоченного движения

хаот уп .

Если найти средние скорости за продолжительный промежуток

18 Постоянный ток

кристаллической решётки. За время свободного пробега (от удара до удара) электрон приобретает скорость (кинетическую энергию) и можно считать, что a , где — время свободного пробега.

При столкновении с узлом решётки электрон практически полностью передает свою энергию решётке. Амплитуда колебаний узлов решётки увеличивается, температура тоже увеличивается. Следовательно, при прохождении тока образец нагревается.

Выделим в объёме проводника цилиндрическую поверхность с основанием площадью S и линиями длиной l, образующими боковую поверхность направленными вдоль тока. Если q enSl — общий заряд свободных электронов, проходящих за время t l через поперечное сечение проводника, то:

где e2n me .

Время свободного пробега lv . В первом приближении можно считать длину свободного пробега для определённой кристаллической решётки постоянной, т.е. зависящей от типа вещества. Для металлов, скорость хаотического движения при комнатных температурах и небольших напряжениях (напряжённостях) много

больше скорости упорядоченного движения и v хаот T.

или

0 1 t .

При больших напряжениях (напряжённостях) скоростью упорядоченного движения пренебрегать уже нельзя и время свободного пробега (и проводимости) будет дополнительно изменяться, а сопро-

тивление наоборот увеличиваться. Таким образом, зависимость тока от напряжения перестаёт быть линейной. Но, из-за удобства закона Ома, нелинейность учитывается за счёт введения зависимости сопротивления от напряжения.

Недостатками данной теории является:

1)Для получения правильных значений удельной проводимости, необходимо приписывать значению длины свободного пробега очень большие значения, порядка тысяч межатомных расстояний в проводнике, объяснить которые классическая теория не в состоянии.

2)Эксперимент даёт для удельной проводимости зависимость

1T. Классическая теория же дала значение 1T .

Строгая теория электропроводности строится с использованием квантовой механики в рамках физики твёрдого тела.

Закон Джоуля-Ленца. Работа и мощность тока

Работа электрического тока равна работе электростатического поля, совершённой при перемещении свободных зарядов в проводнике.

A UIt.

Если справедлив закон Ома, то

A UIt U2 t I2Rt .

R

Мощность — работа, совершённая за единицу времени:

P A UI U2 I2R. t R

В системе СИ: P Вт Джс .

В общем случае работа тока идёт на нагревание проводников и совершение других видов работ: механической, химической и т.д.

A Q Aмех Aхим ...